第一章 专题强化3 弹簧—小球模型　滑块—光滑斜(曲)面模型 学案（含答案 学生版+教师版）

专题强化3　弹簧—小球模型　滑块—光滑斜(曲)面模型
[学习目标]　1.进一步掌握用动量守恒定律、能量守恒定律解决碰撞问题的技巧(重点)。2.掌握两类碰撞问题的解题方法(重难点)。
一、弹簧—小球模型
如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球B，左端与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球A以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：
(1)弹簧的弹性势能什么情况下最大？最大为多少？
(2)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧长度如何变化？
(3)小球B的速度什么情况下最大？最大为多少？
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拓展延伸　(1)系统动能何时最小？求系统的动能的最小值。
(2)从小球与弹簧相互作用至弹簧恢复原状的过程，系统动能何时最大？求系统的动能的最大值。
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对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则系统动量守恒。若接触面光滑，弹簧和物体组成的系统机械能守恒。
1．弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
2．弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
例1　(2022·江苏常熟市高二期中)如图所示，足够长的光滑水平直轨道上有物块A、B、C，质量分别为2m、m、m，B的左侧固定一轻弹簧(不与A固定)，A、B共同以速度v0向C运动，弹簧处于原长，C静止，B、C间发生弹性碰撞。求：
(1)B、C第一次碰撞后，C的速度大小vC；
(2)弹簧具有的最大弹性势能Ep；
(3)整个运动过程中，B的动量变化量的大小Δp。
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针对训练　(2022·江苏省阜宁中学高二期中)如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1、m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑水平面上。现使A获得水平向右、大小为3 m/s的瞬时速度，从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像提供的信息可得(　　)
A．在t1和t3时刻，两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧分别处于压缩和拉伸状态
B．在t1～t2时间内，A、B的距离逐渐增大，t2时刻弹簧的弹性势能最大
C．两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1
D．在t2时刻，A、B两物块的动能之比为Ek1∶Ek2＝1∶6
二、滑块—光滑斜(曲)面模型
如图所示，有一质量为m的小球，以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道。已知圆弧轨道的质量为2m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，试分析：
(1)在相互作用的过程中，小球和轨道组成的系统机械能是否守恒？总动量是否守恒？
(2)小球到达最高点时，小球与轨道的速度有什么关系？最大高度为多少？
(3)小球与轨道分离时两者的速度分别是多少？
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在滑块—光滑斜(曲)面模型中，若滑块始终未脱离斜(曲)面
1．当滑块上升到最大高度时，滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共。此时滑块的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，有mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。
2．当滑块返回最低点时，滑块与斜(曲)面分离。水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，有mv02＝mv12＋Mv22(相当于完成了弹性碰撞)。
例2　如图所示，在光滑的水平地面上停放着质量为m的装有弧形槽的小车。现有一质量也为m的小球以v0的水平速度沿与切线水平的槽口向小车滑去，不计一切摩擦，则(　　)
A．在相互作用的过程中，小车和小球组成的系统总动量守恒
B．小球从右侧离开车后，对地将向右做平抛运动
C．小球从右侧离开车后，对地将做自由落体运动
D．小球从右侧离开车后，小车的速度有可能大于v0
例3　如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝30 kg，冰块的质量为m2＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。
(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
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专题强化3　弹簧—小球模型　滑块—光滑斜(曲)面模型
[学习目标]　1.进一步掌握用动量守恒定律、能量守恒定律解决碰撞问题的技巧(重点)。2.掌握两类碰撞问题的解题方法(重难点)。
一、弹簧—小球模型
如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球B，左端与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球A以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：
(1)弹簧的弹性势能什么情况下最大？最大为多少？
(2)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧长度如何变化？
(3)小球B的速度什么情况下最大？最大为多少？
答案　(1)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。
由动量守恒定律得m1v0＝(m1＋m2)v
由能量守恒定律得
m1v02＝(m1＋m2)v2＋Epmax
解得Epmax＝
(2)如图所示，两球共速后，A减速，B加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。
(3)当弹簧恢复原长时，小球B的速度最大，
由动量守恒定律得m1v0＝m1v1＋m2v2
由能量守恒定律得m1v02＝m1v12＋m2v22
解得v2＝。
拓展延伸　(1)系统动能何时最小？求系统的动能的最小值。
(2)从小球与弹簧相互作用至弹簧恢复原状的过程，系统动能何时最大？求系统的动能的最大值。
答案　(1)弹簧和小球组成的系统机械能守恒，两球共速时，弹簧的弹性势能最大，系统的动能最小。
Ekmin＝(m1＋m2)v2＝v02
(2)弹簧和小球组成系统机械能守恒，当弹簧恢复原长时，弹簧的弹性势能最小，系统的动能最大，Ekmax＝m1v02。
对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则系统动量守恒。若接触面光滑，弹簧和物体组成的系统机械能守恒。
1．弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
2．弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
例1　(2022·江苏常熟市高二期中)如图所示，足够长的光滑水平直轨道上有物块A、B、C，质量分别为2m、m、m，B的左侧固定一轻弹簧(不与A固定)，A、B共同以速度v0向C运动，弹簧处于原长，C静止，B、C间发生弹性碰撞。求：
(1)B、C第一次碰撞后，C的速度大小vC；
(2)弹簧具有的最大弹性势能Ep；
(3)整个运动过程中，B的动量变化量的大小Δp。
答案　(1)v0　(2)mv02　(3)0
解析　(1)B、C发生弹性碰撞，则有mv0＝mvB＋mvC，mv02＝mvB2＋mvC2，可得vC＝v0
(2)A、B速度相同时，弹簧具有最大弹性势能，对A、B，由动量守恒可知2mv0＝3mv，
解得v＝
由能量守恒可知Ep＝×2mv02－×3mv2，
解得Ep＝mv02
(3)对A、B，由动量守恒可知2mv0＝2mv1′＋mv2′，
由能量守恒可知×2mv02＝×2mv1′2＋mv2′2，
解得v1′＝v0 ，v2′＝v0
B、C会再次碰撞，由于B、C质量相等，速度交换，B最终的动量pB＝mv0，B的动量变化量的大小Δp＝mv0－mv0＝0。
针对训练　(2022·江苏省阜宁中学高二期中)如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1、m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑水平面上。现使A获得水平向右、大小为3 m/s的瞬时速度，从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像提供的信息可得(　　)
A．在t1和t3时刻，两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧分别处于压缩和拉伸状态
B．在t1～t2时间内，A、B的距离逐渐增大，t2时刻弹簧的弹性势能最大
C．两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1
D．在t2时刻，A、B两物块的动能之比为Ek1∶Ek2＝1∶6
答案　A
解析　根据图像可得开始时A的速度大，弹簧被压缩，t1时A、B速度相同，此时弹簧压缩量达到最大，之后B的速度大，压缩量开始变小，t2时弹簧恢复原长，之后弹簧开始被拉伸，t3时刻A、B速度相同，此时拉伸量达到最大，之后A速度又大于B，拉伸量开始变小，所以t2时刻弹簧处于原长状态，此时的弹性势能最小，A正确，B错误；根据系统动量守恒，取向右为正方向，在0～t1时间内，有m1×3 m/s＝(m1＋m2)×1 m/s，解得＝，C错误；t2时刻，A、B两物块的动能之比为＝＝×＝，D错误。
二、滑块—光滑斜(曲)面模型
如图所示，有一质量为m的小球，以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道。已知圆弧轨道的质量为2m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，试分析：
(1)在相互作用的过程中，小球和轨道组成的系统机械能是否守恒？总动量是否守恒？
(2)小球到达最高点时，小球与轨道的速度有什么关系？最大高度为多少？
(3)小球与轨道分离时两者的速度分别是多少？
答案　(1)整个过程中系统的机械能守恒，系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。
(2)当小球上升到最高点时，小球和轨道的速度相同。
由动量守恒定律得mv0＝3mv
由能量守恒定律得mv02＝×3mv2＋mgh
解得h＝
(3)设小球离开轨道时的速度为v1，轨道的速度为v2，由动量守恒定律有mv0＝mv1＋2mv2
根据机械能守恒定律有
mv02＝mv12＋×2mv22
联立以上两式可得：v1＝－v0，v2＝v0。
在滑块—光滑斜(曲)面模型中，若滑块始终未脱离斜(曲)面
1．当滑块上升到最大高度时，滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共。此时滑块的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，有mv02＝(M＋m)
v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。
2．当滑块返回最低点时，滑块与斜(曲)面分离。水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，有mv02＝mv12＋Mv22(相当于完成了弹性碰撞)。
例2　
如图所示，在光滑的水平地面上停放着质量为m的装有弧形槽的小车。现有一质量也为m的小球以v0的水平速度沿与切线水平的槽口向小车滑去，不计一切摩擦，则(　　)
A．在相互作用的过程中，小车和小球组成的系统总动量守恒
B．小球从右侧离开车后，对地将向右做平抛运动
C．小球从右侧离开车后，对地将做自由落体运动
D．小球从右侧离开车后，小车的速度有可能大于v0
答案　C
解析　整个过程中系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，故A错误；设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，整个过程中水平方向动量守恒，则有mv0＝mv1＋mv2，由机械能守恒定律得mv02＝mv12＋mv22，联立解得v1＝0，v2＝v0，即小球与小车分离时二者交换速度，所以小球从小车右侧离开后将做自由落体运动，故B、D错误，C正确。
例3　如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝30 kg，冰块的质量为m2＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。
(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
答案　(1)20 kg　(2)见解析
解析　(1)选向左为正方向，冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3。在水平方向上由动量守恒定律和机械能守恒定律得m2v0＝(m2＋m3)v
m2v02＝(m2＋m3)v2＋m2gh
式中v0＝3 m/s为冰块被推出时的速度，联立两式并代入题给数据得m3＝20 kg。
(2)选向右为正方向，设小孩推出冰块后小孩的速度为v1，由动量守恒定律有m1v1－m2v0＝0，
代入数据得v1＝1 m/s
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒定律和机械能守恒定律有－m2v0＝m2v2＋m3v3
m2v02＝m2v22＋m3v32
联立两式并代入数据得v2＝1 m/s
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩。