22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习 2022-2023学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1.关于x的方程x2﹣2mx+4=0有两个不同的实根,并且有一个根小于1,另一个根大于3,则实数m的取值范围为( )
A.m> B.m<﹣
C.m<﹣2 或 m>2 D.m>
2.已知抛物线y=x2+(2a-1)x+1-2a与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且-1 x1 0,0 x2 ,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
3.在二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表,则方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是( )
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 …
A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4
4.小李同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的近似根时,先在直角坐标系中使用软件绘制了二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象(如图),接着观察图象与x轴的交点A和B的位置,然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1<x1<0,2<x2<3,小李同学的这种方法主要运用的数学思想是( )
A.公理化 B.类比思想 C.数形结合 D.模型思想
5.二次函数 的部分图象如图所示,对称轴为直线 ,与x轴的一个交点为 ,与y轴的交点为 ,则方程 的解为( )
A. B.
C. , D. ,
6.已知一元二次方程2x2+bx 1=0的一个根是1,若二次函数y=2x2+bx 1的图象上有三个点(0,y1)、( 1,y2)、( y3),则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y1<y3<y2 D.y3<y1<y2
7.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6,x2=( )
A.﹣1.6 B.3.2
C.4.4 D.以上都不对
8.已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论:①;②;③;④;⑤方程的两个根的和为2,其中正确的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题
9.二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(-1,0),B(3,0),那么一元二次方程ax2+bx=0的根是 .
10.当x取任意实数时,二次函数 y=x2-(2m+1)x+m2的值始终为正数,则m的取值范围是 .
11.关于 的一元二次方程 的一个解是 ,则抛物线 与 轴的交点坐标是 .
12.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)、B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是
13.二次函数的部分图像如图所示,由图像可知,方程的解为 .
三、解答题
14.已知二次函数 试证明:不论m取何值,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点
15.已知抛物线y=﹣2x2+4x+c.
(1)若抛物线与x轴有两个交点,求c的取值范围;
(2)若抛物线经过点(﹣1,0),求方程﹣2x2+4x+c=0的根.
16.已知二次函数的图象经过最高点(2,5)和点(0,4).
(1)试确定此二次函数的解析式;
(2)请你用图象法判断方程 的根的情况.(画出简图)
17.已知二次函数y=x2﹣4x.
(1)在给出的直角坐标系内用描点法画出该二次函数的图象;
(2)根据所画的函数图象写出当x在什么范围内时,y≤0?
(3)根据所画的函数图象写出方程:x2﹣4x=5的解.
18.已知二次函数 .
(1)求此二次函数图象的对称轴;
(2)设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点 , (其中 ),且满足 ,求a的取值范围.
19.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出b、c的值,并写出此二次函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围;
(3)当﹣1≤x≤2时,求y的取值范围.
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.C
6.C
7.C
8.C
9.x=0或x=2
10.m<-
11.(3,0),(-1,0)
12. 或5
13.
14.证明:由题意,知二次函数对应的方程 的判别式为 .
因为 ,所以 ,即 ,
所以不论m取何值,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.
15.(1)解:∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
即16+8c>0,
解得c>﹣2
(2)解:由y=﹣2x2+4x+c得抛物线的对称轴为直线x=1,
∵抛物线经过点(﹣1,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),
∴方程﹣2x2+4x+c=0的根为x1=﹣1,x2=3.
16.(1)解;∵二次函数最高点也是函数的顶点(2,5),
∴函数的表达式为y=a(x-2)2+5,
把(0,4)代入上式,解得:a=- ,
∴二次函数的解析式为:y=- x2+x+4
(2)解:原方程变形为:- x2+x+4=3,
∴上述问题转化为- x2+x+1=0根的情况,
∴函数值为3的点有2个,
则方程- x2+x+1=0由两个不相等的实数根.
17.解:(1)y=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4,则抛物线的对称轴为直线x=﹣2,顶点坐标为(2,﹣4),
如图,
(2)当0≤x≤4时,y≤0.
(3)由图象可知,x2﹣4x=5的解为x1=﹣1,x2=5.
18.(1)解:∵ ,
∴ , ,
∴
(2)解:∵由(1)得对称轴为 ,
∴ ,即
又∵ ,即 ,
∴
若 时,当 时,
若 时,当 时,
所以 或
19.(1)解:∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),与y轴的交点坐标为(0,3),
∴x=﹣1,y=0代入y=﹣x2+bx+c得:﹣1﹣b+c=0①,
把x=0,y=3代入y=﹣x2+bx+c得:c=3,
把c=3代入①,解得b=2,
则二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)解:令二次函数解析式中的y=0得:﹣x2+2x+3=0,
可化为:(x﹣3)(x+1)=0,
解得:x1=3,x2=﹣1,
由函数图象可知:当﹣1<x<3时,y>0;
(3)解:由抛物线的表达式知,抛物线的对称轴为直线x=1,
当﹣1≤x≤2时,y在x=﹣1和顶点处取得最小和最大值,
当x=﹣1时,y=0,
当x=1时,y=﹣x2+2x+3=4,
故当﹣1≤x≤2时,求y的取值范围0≤y≤4