【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章综合测试卷
一、选择题(共24分)
1．如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，CB2=82+12=65，
∵AC2+AB2=13+52=65=CB2，
∴△ABC 为直角三角形.
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出AC2、AB2、CB2，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
2．如图所示，在△ABC中，∠A+∠B=∠C， BC=7，AB=4则AC的长是（ ）
A．9 B．4 C．5 D．3
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】 在△ABC中，∠A+∠B+∠C =180°， ∠A+∠B=∠C，
∴∠C=90°，
∴AC2=AB2-BC2=42-7=9，
∴AC=3.
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的内角和及已知，求出∠C=90°，即得△ABC为直角三角形，然后利用勾股定理求出解即可.
3．如图所示，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，由题得AD=BC=×10=5，
设BD=x尺，则AB=（x-1）尺，
在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2，
即（x-1）2+52=x2，
解得x=13，
∴这根芦苇的长度为13尺.
故答案为：D.
【分析】直接利用勾股定理进行解答即可.
4．如图所示，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿着最长边AB翻折180°后得到△ABC＇，则CC＇的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接CC'交AB于点O，
∵BC=4，AC=3，AB=5，∴△ABC是直角三角形且∠ACB=90°，
由翻折的性质可得CC'⊥AB，CO=C'O，
△ABC的面积=×AB×CO=AC×BC，即5CO=3×4
∴CO=，
∴CC'=2CO=.
故答案为：D.
【分析】如图，连接CC'交AB于点O， 利用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形且∠ACB=90°，由翻折的性质可得CC'⊥AB，CO=C'O，利用△ABC的面积=×AB×CO=AC×BC，可求出CO，从而求出CC'=2CO，据此即得结论.
5．如图所示，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90° ，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．60 C．76 D．80．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】∵∠AEB=90° ，AE=6，BE=8，
∴AB==10，
∴阴影部分的面积 =S正方形ABCD-S△AEB=102-×6×8=76.
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出正方形边长AB，再利用阴影部分的面积 =S正方形ABCD-S△AEB进行计算即可.
6．（2018·泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】
故答案为：D.
【分析】根据题意可知：小正方形的边长为（a-b），根据小正方形的面积+四个直角三角形的面积=大正方形的面积建立方程求解即可得出答案。
7．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB．上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离的平方为（ ）
A．10 B．8 C．9 D．20
【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】连接BD，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3 ，
∴AB==5，
由旋转的性质得DE=BC=3，AE=AC=4，
∴BE=AB-AE=1，
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2=32+12=10.
故答案为：A.
【分析】连接BD，利用勾股定理求出AB=5，由旋转的性质得DE=BC=3，AE=AC=4，从而求出BE=AB-AE=1，在Rt△BDE中，由勾股定理得出BD2=DE2+BE2，据此计算即可.
8．如图所示，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C＇处，BC＇交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设DE=x，则AE=6-x，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB=CD =3，
∴∠EDB=∠DBC，
由翻折得∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x，
在△ABE中，BE2=AB2+AE2，
即x2=9+(6-x）2，解得x=，
∴DE=.
【分析】设DE=x，则AE=6-x，利用矩形的性质及翻折的性质，可求出∠EDB=∠EBD，可得到EB=ED=x，利用勾股定理得出BE2=AB2+AE2，即x2=9+(6-x）2，求出x值即可.
二、填空题(共32分)
9．如图所示，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，0M=4，则点C到射线OA的距离为
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】过点C作CF⊥OA于点F，
∵CM⊥OB，OC=5，OM=4 ，
∴CM=，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB ，
∴CF=OM=3，
即点C到射线OA的距离为3.
【分析】过点C作CF⊥OA于点F，先利用勾股定理求出CM，再根据角平分线的性质得出CF=OM，即得结论.
10．如图所示，有一个直角三角形纸板，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长度为
cm．
【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设CD=xcm，则BD=（8-x）cm，
由折叠知：CD=DE=xcm，DE⊥AB，AC=AE=6cm，
在Rt△ABC中， AC=6 cm，BC=8 cm ，
∴AB==10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4cm，
在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，
即16+x2=（8-x）2，解得x=3，
∴CD=3cm.
【分析】设CD=xcm，则BD=（8-x）cm，由折叠知CD=DE=xcm，DE⊥AB，AC=AE=6cm，先由勾股定理求出AB，从而求出BE，在Rt△BED中，由BE2+DE2=BD2可得方程，求出x值即可.
11．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD的长为正整数，则点D的个数共有
【答案】3个
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，∴EC=BE=BC=4，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，
∴3≤AD＜5，
∵AD的长为正整数，∴AD=3或4，
∴点D的个数共有3个.
【分析】过A作AE⊥BC，当点D与E重合时，AD最短，先利用等腰三角形的性质可得EC=BE=BC=4，然后利用勾股定理求出AE，从而得出AD的范围，据此分析即得结论.
12．如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别为AB=5 km，BC=12 km，AC=13 km．要从B修一条公路BD直达AC．已知公路的造价为26万元/km，求修这条公路的最低造价是 万元．
【答案】120
【知识点】垂线段最短；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】当BD⊥AC时BD最短，造价最低，
∵BC2+AB2=122+52=169，AC2=132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∵S△ABC=×AB×BC=×AC×BD，
∴5×12=13BD，解得BD=，
∴修这条公路的最低造价为×26万元=120万元.
【分析】当BD⊥AC时BD最短，造价最低.根据勾股定理的逆定理求出∠ABC=90°，再由S△ABC=×AB×BC=×AC×BD求出BD的长，然后乘以26万元/km即得结论.
13．已知，在△ABC中，∠C=90° ，BC= 60 cm，CA=80
cm，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20 cm的速度沿CA→AB-→BC的路径再回到C点，需要的时间是 分钟．
【答案】12
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】 在△ABC中，∠C=90° ，BC= 60 cm，CA=80 cm ，
∴AB==100cm，
∴需要的时间为（60+80+100）÷20=12（分）.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后利用蜗牛所走的总路程除以蜗牛所走的速度，即得所需的时间.
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】 ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线 ，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴BD==4，
∴BC=2BD=8.
【分析】根据等腰三角形的性质，可得BD=CD，AD⊥BC，然后利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即得结论.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ，AC=2BC，分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE=3，设BE=x，则可列关于x的方程为
【答案】x2=32+[ (x+ 3)]2
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】设BE=x，
由作图知MN垂直平分AB，可得AE=BE=x，
∴AC=AE+CE=x+3，
∵AC=2BC，∴BC=AC=（x+3），
在Rt△ECB中，BE2=BC2+CE2，
即x2=[（x+3）]2+32.
【分析】设BE=x，由作图知MN垂直平分AB，可得AE=BE=x，从而求出AC=AE+CE=x+3，由AC=2BC，∴BC=AC=（x+3），在Rt△ECB中，由BE2=BC2+CE2，即可列出方程.
16．如图所示，一圆柱体的底面周长为30cm，高AB为8cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C吃到蜂蜜后，再原路返回，则蚂蚁爬行的最短路程是
【答案】34cm
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】圆柱侧面展开图如图，AC的长即蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程，
由题意得BC=×30=15cm，AB=8cm，
∴AC==17cm，
∴蚂蚁爬行的最短路程为2AC=2×17=34cm.
【分析】将圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理求出去时的最短路程，然后再乘以2即得结论.
三、解答题(共44分)
17．如图所示，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12 m，CD=13 m，DA=4 m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投人多少资金买草皮？
【答案】解：如图所示，连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，
CD2=132 ，BC2=122，
而122+52=132 ，即BC2+ BD2=CD2，
所以∠DBC=90°．
S四边形ABCD = S△BAD+ S△DBC = AD·AB+ DB·BC= ×4×3+ ×12×5= 36．
所以需费用36×200=7200(元)．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 连接BD， 先利用勾股定理求出BD2，再利用勾股定理的逆定理判断出∠DBC=90°， 由S四边形ABCD = S△BAD+ S△DBC 求出四边形ABCD的面积，然后乘以200即得结论.
18．如图所示，在△ABC中，∠ACB= 90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；
（2）设BC=3，AC=4，求AD的长．
【答案】（1）解：因为∠ACB=90°，∠A= 28°，
所以∠B=62°．
因为BD= BC，
所以∠BCD=∠BDC= 59°．
所以∠ACD=90°-∠BCD=31°
（2）解：由勾股定理得：AB= =5．
因为AB=AD+ BD，BD= BC=3，
所以AD=5-3=2
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和求出∠B=62°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和，可得 ∠BCD=∠BDC= 59°，根据∠ACD=∠ACB-∠BCD即可求出结论；
（2）由勾股定理求出AB=5，利用AD=AB-BD即可求出结论.
19．在等边△ABC中，点D，E分别在边．BC，AC上，若CD=2，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EFR的值．
【答案】解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠B=∠ACB= 60°．
因为DE∥AB，
所以∠EDC=∠B= 60°．
所以△EDC是等边三角形．
所以DE= DC=2．
在Rt△DEF中，
因为∠DEF=90°，DE=2，
所以DF=2DE=4．
所以EF2=DF2-DE2=42-22= 12．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】由△ABC是等边三角形可得∠B=∠ACB= 60°， 再证△EDC是等边三角形，可得DE= DC=2，利用含30°角的直角三角形的性质可得DF=2DE=4， 由勾股定理可得EF2=DF2-DE2，从而求出结论.
1 / 1【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章综合测试卷
一、选择题(共24分)
1．如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
2．如图所示，在△ABC中，∠A+∠B=∠C， BC=7，AB=4则AC的长是（ ）
A．9 B．4 C．5 D．3
3．如图所示，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
4．如图所示，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿着最长边AB翻折180°后得到△ABC＇，则CC＇的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90° ，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．60 C．76 D．80．
6．（2018·泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
7．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB．上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离的平方为（ ）
A．10 B．8 C．9 D．20
8．如图所示，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C＇处，BC＇交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
二、填空题(共32分)
9．如图所示，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，0M=4，则点C到射线OA的距离为
10．如图所示，有一个直角三角形纸板，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长度为
cm．
11．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD的长为正整数，则点D的个数共有
12．如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别为AB=5 km，BC=12 km，AC=13 km．要从B修一条公路BD直达AC．已知公路的造价为26万元/km，求修这条公路的最低造价是 万元．
13．已知，在△ABC中，∠C=90° ，BC= 60 cm，CA=80
cm，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20 cm的速度沿CA→AB-→BC的路径再回到C点，需要的时间是 分钟．
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ，AC=2BC，分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE=3，设BE=x，则可列关于x的方程为
16．如图所示，一圆柱体的底面周长为30cm，高AB为8cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C吃到蜂蜜后，再原路返回，则蚂蚁爬行的最短路程是
三、解答题(共44分)
17．如图所示，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12 m，CD=13 m，DA=4 m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投人多少资金买草皮？
18．如图所示，在△ABC中，∠ACB= 90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；
（2）设BC=3，AC=4，求AD的长．
19．在等边△ABC中，点D，E分别在边．BC，AC上，若CD=2，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EFR的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，CB2=82+12=65，
∵AC2+AB2=13+52=65=CB2，
∴△ABC 为直角三角形.
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出AC2、AB2、CB2，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】 在△ABC中，∠A+∠B+∠C =180°， ∠A+∠B=∠C，
∴∠C=90°，
∴AC2=AB2-BC2=42-7=9，
∴AC=3.
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的内角和及已知，求出∠C=90°，即得△ABC为直角三角形，然后利用勾股定理求出解即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，由题得AD=BC=×10=5，
设BD=x尺，则AB=（x-1）尺，
在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2，
即（x-1）2+52=x2，
解得x=13，
∴这根芦苇的长度为13尺.
故答案为：D.
【分析】直接利用勾股定理进行解答即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接CC'交AB于点O，
∵BC=4，AC=3，AB=5，∴△ABC是直角三角形且∠ACB=90°，
由翻折的性质可得CC'⊥AB，CO=C'O，
△ABC的面积=×AB×CO=AC×BC，即5CO=3×4
∴CO=，
∴CC'=2CO=.
故答案为：D.
【分析】如图，连接CC'交AB于点O， 利用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形且∠ACB=90°，由翻折的性质可得CC'⊥AB，CO=C'O，利用△ABC的面积=×AB×CO=AC×BC，可求出CO，从而求出CC'=2CO，据此即得结论.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】∵∠AEB=90° ，AE=6，BE=8，
∴AB==10，
∴阴影部分的面积 =S正方形ABCD-S△AEB=102-×6×8=76.
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出正方形边长AB，再利用阴影部分的面积 =S正方形ABCD-S△AEB进行计算即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】
故答案为：D.
【分析】根据题意可知：小正方形的边长为（a-b），根据小正方形的面积+四个直角三角形的面积=大正方形的面积建立方程求解即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】连接BD，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3 ，
∴AB==5，
由旋转的性质得DE=BC=3，AE=AC=4，
∴BE=AB-AE=1，
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2=32+12=10.
故答案为：A.
【分析】连接BD，利用勾股定理求出AB=5，由旋转的性质得DE=BC=3，AE=AC=4，从而求出BE=AB-AE=1，在Rt△BDE中，由勾股定理得出BD2=DE2+BE2，据此计算即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设DE=x，则AE=6-x，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB=CD =3，
∴∠EDB=∠DBC，
由翻折得∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x，
在△ABE中，BE2=AB2+AE2，
即x2=9+(6-x）2，解得x=，
∴DE=.
【分析】设DE=x，则AE=6-x，利用矩形的性质及翻折的性质，可求出∠EDB=∠EBD，可得到EB=ED=x，利用勾股定理得出BE2=AB2+AE2，即x2=9+(6-x）2，求出x值即可.
9．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】过点C作CF⊥OA于点F，
∵CM⊥OB，OC=5，OM=4 ，
∴CM=，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB ，
∴CF=OM=3，
即点C到射线OA的距离为3.
【分析】过点C作CF⊥OA于点F，先利用勾股定理求出CM，再根据角平分线的性质得出CF=OM，即得结论.
10．【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设CD=xcm，则BD=（8-x）cm，
由折叠知：CD=DE=xcm，DE⊥AB，AC=AE=6cm，
在Rt△ABC中， AC=6 cm，BC=8 cm ，
∴AB==10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4cm，
在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，
即16+x2=（8-x）2，解得x=3，
∴CD=3cm.
【分析】设CD=xcm，则BD=（8-x）cm，由折叠知CD=DE=xcm，DE⊥AB，AC=AE=6cm，先由勾股定理求出AB，从而求出BE，在Rt△BED中，由BE2+DE2=BD2可得方程，求出x值即可.
11．【答案】3个
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，∴EC=BE=BC=4，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，
∴3≤AD＜5，
∵AD的长为正整数，∴AD=3或4，
∴点D的个数共有3个.
【分析】过A作AE⊥BC，当点D与E重合时，AD最短，先利用等腰三角形的性质可得EC=BE=BC=4，然后利用勾股定理求出AE，从而得出AD的范围，据此分析即得结论.
12．【答案】120
【知识点】垂线段最短；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】当BD⊥AC时BD最短，造价最低，
∵BC2+AB2=122+52=169，AC2=132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∵S△ABC=×AB×BC=×AC×BD，
∴5×12=13BD，解得BD=，
∴修这条公路的最低造价为×26万元=120万元.
【分析】当BD⊥AC时BD最短，造价最低.根据勾股定理的逆定理求出∠ABC=90°，再由S△ABC=×AB×BC=×AC×BD求出BD的长，然后乘以26万元/km即得结论.
13．【答案】12
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】 在△ABC中，∠C=90° ，BC= 60 cm，CA=80 cm ，
∴AB==100cm，
∴需要的时间为（60+80+100）÷20=12（分）.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后利用蜗牛所走的总路程除以蜗牛所走的速度，即得所需的时间.
14．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】 ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线 ，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴BD==4，
∴BC=2BD=8.
【分析】根据等腰三角形的性质，可得BD=CD，AD⊥BC，然后利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即得结论.
15．【答案】x2=32+[ (x+ 3)]2
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】设BE=x，
由作图知MN垂直平分AB，可得AE=BE=x，
∴AC=AE+CE=x+3，
∵AC=2BC，∴BC=AC=（x+3），
在Rt△ECB中，BE2=BC2+CE2，
即x2=[（x+3）]2+32.
【分析】设BE=x，由作图知MN垂直平分AB，可得AE=BE=x，从而求出AC=AE+CE=x+3，由AC=2BC，∴BC=AC=（x+3），在Rt△ECB中，由BE2=BC2+CE2，即可列出方程.
16．【答案】34cm
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】圆柱侧面展开图如图，AC的长即蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程，
由题意得BC=×30=15cm，AB=8cm，
∴AC==17cm，
∴蚂蚁爬行的最短路程为2AC=2×17=34cm.
【分析】将圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理求出去时的最短路程，然后再乘以2即得结论.
17．【答案】解：如图所示，连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，
CD2=132 ，BC2=122，
而122+52=132 ，即BC2+ BD2=CD2，
所以∠DBC=90°．
S四边形ABCD = S△BAD+ S△DBC = AD·AB+ DB·BC= ×4×3+ ×12×5= 36．
所以需费用36×200=7200(元)．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 连接BD， 先利用勾股定理求出BD2，再利用勾股定理的逆定理判断出∠DBC=90°， 由S四边形ABCD = S△BAD+ S△DBC 求出四边形ABCD的面积，然后乘以200即得结论.
18．【答案】（1）解：因为∠ACB=90°，∠A= 28°，
所以∠B=62°．
因为BD= BC，
所以∠BCD=∠BDC= 59°．
所以∠ACD=90°-∠BCD=31°
（2）解：由勾股定理得：AB= =5．
因为AB=AD+ BD，BD= BC=3，
所以AD=5-3=2
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和求出∠B=62°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和，可得 ∠BCD=∠BDC= 59°，根据∠ACD=∠ACB-∠BCD即可求出结论；
（2）由勾股定理求出AB=5，利用AD=AB-BD即可求出结论.
19．【答案】解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠B=∠ACB= 60°．
因为DE∥AB，
所以∠EDC=∠B= 60°．
所以△EDC是等边三角形．
所以DE= DC=2．
在Rt△DEF中，
因为∠DEF=90°，DE=2，
所以DF=2DE=4．
所以EF2=DF2-DE2=42-22= 12．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】由△ABC是等边三角形可得∠B=∠ACB= 60°， 再证△EDC是等边三角形，可得DE= DC=2，利用含30°角的直角三角形的性质可得DF=2DE=4， 由勾股定理可得EF2=DF2-DE2，从而求出结论.
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