【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证和简单应用
一、素养培优
1．在Rt△ABC中，∠B=90°，且AC=3，则BC2+AC2+AB2的值为：（ ）
A．15 B．16 C．18 D．无法计算
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵三角形ABC为直角三角形
∴AB2+BC2=AC2
∴BC2+AC2+AB2=2AC2=18
【分析】根据勾股定理，计算得到答案即可。
2．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等的关系是（ ）
A．S△EDA=S△CEB
B．S△EDA+S△CEB=S△CDE
C．S四边形CDAE=S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE +S△CEB=S四边形ABCD
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；梯形
【解析】【解答】解：∵ab+c2+ab=（a+b）2
∴c2+2ab=a2+2ab+b2
∴a2+b2=c2
由ab+c2+ab=（a+b）2
∴S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
【分析】根据三角形的面积、梯形的面积表示图形的面积，证明得到勾股定理即可。
3．如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
在直角三角形ABE中，AB=2.4，BE=0.7
∴AE2=AB2+BE2=2.42+0.72=6.25
∴DE2=AE2=6.25
在直角三角形ECD中，CD=2
∴EC===1.5
∴BC=BE+EC=0.7+1.5=2.2
【分析】根据勾股定理求EC的长度，继而利用线段的和差关系求出BC的值即可。
4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为
【答案】x2+32=(10-x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AC=x，则AB=10-x
在直角三角形ABC中，AB2=AC2+BC2
∴（10-x）2=x2+32
【分析】利用含有x的代数式表示出AB，根据勾股定理列出方程，求出答案即可。
5．如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是
【答案】10
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据勾股定理的几何意义，即可得到A和B的面积和为S1，C和D的面积和为S2
S1+S2=S3
∴S1+S2=S3
S3=2+5+1+2=10
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，求出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积。
6．（2017八下·东莞期中）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
【答案】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2
∴x2+52=（x+1）2
解得x=12
∴AB=12
∴旗杆的高12m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
7．为了推广城市绿色出行，某市准备在AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB=1 700 m，CA=1 200m，DB=500m，试问这个单车停放点E应建在距点A多远处，才能使它到两广场的距离相等？
【答案】解：设AE=x m时，它到两广场的距离相等，
则BE=(1 700- x)m，
由题意得1 2002+x2=(1 700-x)2+ 5002 ，
解得x=500．
答：这个单车停放点E应建在距点A500 m处，它到两广场的距离相等．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AE的长度为x，根据其到两个广场的距离相等列出方程，解方程得到答案即可。
二、体验中考
8．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为6，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为10 的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为
【答案】96
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，直角三角形的斜边为10，一条直角边为6
∴另外一条直角边的长度==8
∴阴影部分的面积=4×6×8×=96
【分析】根据勾股定理，正方形的性质，求出答案即可。
9．（2020·雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点O．若 ，则 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴ AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
1 / 1【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证和简单应用
一、素养培优
1．在Rt△ABC中，∠B=90°，且AC=3，则BC2+AC2+AB2的值为：（ ）
A．15 B．16 C．18 D．无法计算
2．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等的关系是（ ）
A．S△EDA=S△CEB
B．S△EDA+S△CEB=S△CDE
C．S四边形CDAE=S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE +S△CEB=S四边形ABCD
3．如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为
5．如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是
6．（2017八下·东莞期中）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
7．为了推广城市绿色出行，某市准备在AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB=1 700 m，CA=1 200m，DB=500m，试问这个单车停放点E应建在距点A多远处，才能使它到两广场的距离相等？
二、体验中考
8．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为6，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为10 的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为
9．（2020·雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点O．若 ，则 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵三角形ABC为直角三角形
∴AB2+BC2=AC2
∴BC2+AC2+AB2=2AC2=18
【分析】根据勾股定理，计算得到答案即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；梯形
【解析】【解答】解：∵ab+c2+ab=（a+b）2
∴c2+2ab=a2+2ab+b2
∴a2+b2=c2
由ab+c2+ab=（a+b）2
∴S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
【分析】根据三角形的面积、梯形的面积表示图形的面积，证明得到勾股定理即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
在直角三角形ABE中，AB=2.4，BE=0.7
∴AE2=AB2+BE2=2.42+0.72=6.25
∴DE2=AE2=6.25
在直角三角形ECD中，CD=2
∴EC===1.5
∴BC=BE+EC=0.7+1.5=2.2
【分析】根据勾股定理求EC的长度，继而利用线段的和差关系求出BC的值即可。
4．【答案】x2+32=(10-x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AC=x，则AB=10-x
在直角三角形ABC中，AB2=AC2+BC2
∴（10-x）2=x2+32
【分析】利用含有x的代数式表示出AB，根据勾股定理列出方程，求出答案即可。
5．【答案】10
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据勾股定理的几何意义，即可得到A和B的面积和为S1，C和D的面积和为S2
S1+S2=S3
∴S1+S2=S3
S3=2+5+1+2=10
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，求出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积。
6．【答案】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2
∴x2+52=（x+1）2
解得x=12
∴AB=12
∴旗杆的高12m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
7．【答案】解：设AE=x m时，它到两广场的距离相等，
则BE=(1 700- x)m，
由题意得1 2002+x2=(1 700-x)2+ 5002 ，
解得x=500．
答：这个单车停放点E应建在距点A500 m处，它到两广场的距离相等．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AE的长度为x，根据其到两个广场的距离相等列出方程，解方程得到答案即可。
8．【答案】96
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，直角三角形的斜边为10，一条直角边为6
∴另外一条直角边的长度==8
∴阴影部分的面积=4×6×8×=96
【分析】根据勾股定理，正方形的性质，求出答案即可。
9．【答案】20
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴ AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
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