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【细解】初中数学鲁教版七年级上册第四章实数1无理数
一、知识梳理知识点1无理数的存在性
1．因为12= ，22 = ，所以当a2=2时，a应在 和 之间，故a不可能是 数．因为两个相同分数的乘积都为 ，所以a不可能是 ．由此可知，在等式a2=2中，a既不是 ，也不是 ，所以a不是
二、知识梳理知识点2估计数的大小
2．假设正方形的边长为a，若面积a2=3，则a既不是 ，也不是 ，此时可以用“逐渐接近”的方法来估计a的值，从而求得a的近似值、因为1<3<4，所以
3． 小数称为无理数．
三、考点突破考点1有理数与无理数的辨别
4．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0， ，-4， ， ，1.112 111 211……，3.141 592 7
5．下列四个选项，描述的是无理数的是（ ）
A．长度的平方为144的一条线段的长
B．体积为64的立方体的棱长
C．直角边为9和12的直角三角形的斜边长
D．周长为8的圆的半径长
6．下列哪些是有理数？哪些是无理数？
-5，3.7，-π， ， ，0.121 121 112……， ，
四、考点突破考点2网格图中的无理数
7．如图所示，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．试说明边长AB，BC，CD，AD和对角线AC，BD的长度哪些是有理数，哪些不是有理数．
8．如图所示是由16个边长为1的正方形拼成的，连接这些小正方形的若干顶点，得到五条线段CA，CB，CD，CE，CF ，其中长度不是有理数的有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．如图所示，小方格都是边长为1的正方形，那么在四边形ABCD中，边长是有理数的是边
10．设面积为10π的圆的半径为x．
（1）x是有理数吗？请说明理由；
（2）请估计x的整数部分是几？
（3）将x保留到十分位是几？
11．面积为26平方厘米的正方形的边长大约是（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米
五、当堂巩固
12．下列各数中是有理数的是（ ）
A．面积为3的正方形的边长
B．体积是8的正方体的棱长
C．两直角边分别是4和5的直角三角形斜边的长
D．长为1，宽为2的长方形的对角线的长
13．下列说法中，正确的是（ ）
A．无限不循环小数都是无理数 B．分数都是无理数
C．无理数都是循环小数 D．无限小数都是无理数
14．已知a为整数，且 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A．π B．
C．0.1010010001…… D．π-3.14
16．一个正方形的面积为42cm2，它的边长在两个相邻整数之间，这两个整数是 和
17．在数 ，0， ，3π， ，0.232 332……(相邻两个2之间3的个数逐次多1)，32中，有理数有 ，无理数有
答案解析部分
1．【答案】1；4；1；2；整；分数；分数；整数；分数；有理数
【知识点】平方根；无理数的认识
【解析】【解答】解： 因为12=1，22 =4，所以当a2=2时，a应在1和2之间，故a不可能是整数．因为两个相同分数的乘积都为分数，所以a不可能是分数．由此可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.
故答案为：1，4，1，2，整数，分数，分数，整数，分数，有理数.
【分析】根据平方根的定义解答前几项，由于整数和分数统称为有理数，而根据整数的特点，以及同分数乘积的结果分析得出a既不是整数，也不是分数，则可判断a不是有理数.
2．【答案】整数；分数；1；2；1.21；1.44；1.69；1.96；2.25；2.56；2.89；3.24；3.61；1.72；1.82；7
【知识点】平方根；估算无理数的大小；无理数的认识
【解析】【解答】解： 假设正方形的边长为a，若面积a2=3，则a既不是整数，也不是分数，此时可以用“逐渐接近”的方法来估计a的值，从而求得a的近似值、因为1<3<4，所以1故答案为：整数，分数，1，2，1.21，1.44，1.69，1.96，2.25，2.56，2.89，3.24，3.61，1.72，1.82，7.
【分析】根据平方根的定义解答，然后进行有理数的乘方的计算分别填入各数平方的结果，同时运用“逐渐接近”的方法分别估计整数位和十分位即可.
3．【答案】无限不循环
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：∵无限不循环小数称为无理数.
故答案为： 无限不循环.
【分析】根据无理数的定义判断，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比.
4．【答案】解：有理数为0，一4， ， ，3.141 592 7；无理数为分 ，1.112 111 211……
【知识点】实数及其分类；无理数的认识
【解析】【分析】实数分为有理数和无理数，整数和分数统称为有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比；若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环； 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等， 即可判定.
5．【答案】D
【知识点】平方根；立方根及开立方；勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：A、 长度的平方为144的一条线段的长= =12，是有理数，错误；
B、 体积为64的立方体的棱长= =4，是有理数，错误；
C、 直角边为9和12的直角三角形的斜边长= =15，是有理数，错误；
D、 周长为8的圆的半径长= ，是无理数，正确；
故答案为：D.
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等，先根据题意分别求出各边的长度，然后根据有理数和无理数的概念分别判断即可.
6．【答案】解：有理数：-5，3.7， ， ， ；无理数：-π，0.12112112……，
【知识点】实数及其分类；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵整数和分数为有理数，∴-5，3.7， ， 是有理数；
∵无限循环小数为有理数，∴ 是有理数；
∵无限循环小数是无理数，∴-π，0.12112112……， .
故答案为： 有理数：-5，3.7， ， ， ；无理数：-π，0.12112112……， .
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等，据此分别判断即可.
7．【答案】解：AC=7，BD=5是有理数． AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理AB2=32+42=25，AB=5是有理数．而BC2=32+32= 18，CD2=32+22=13，AD2=42+22=20，因此BC，CD，AD的长度不是有理数．
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵AC=7，BD=5，∴是有理数．
∵ AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，
由勾股定理AB2=32+42=25，AB=5是有理数；
而BC2=32+32= 18，CD2=32+22=13，AD2=42+22=20，
∴BC=3，CD=，AD=2，
因此BC，CD，AD的长度不是有理数．
【分析】分别在图中读出AC和BD的长，再根据勾股定理分别求出AB、BC、CD和AD的长，然后根据有理数和无理数的概念分别判断即可解答.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵CA=4，CB==，CD==5，CE==2，CF==，
∵4、5是有理数，、2、是无理数，不是有理数，
即长度不是有理数的有、2、，
共3条.
故答案为：C.
【分析】先根据图形读出或根据勾股定理求出各边的长，然后根据有理数和无理数的概念分别判断，即可解答.
9．【答案】AB
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵AB==5，BC=，AD==2，CD==3，
∵5是有理数，，2，3是无理数，
∴边长是有理数的是边： AB.
故答案为：AB.
【分析】先根据勾股定理求出四边形ABCD各边的长，再根据有理数和无理数的定义分别判断即可.
10．【答案】（1）解：由圆的面积公式可得πx2=10π，
所以x2=10，
所以x=或-（舍去），
所以x既非整数也非分数，故x不是有理数.
（2）解：由(1)得x2=10．
因为32=9<10，42=16>10，
所以3（3）解：3.12=9.61<10，3.22=10.24> 10，
所以3.1又因为3.162=9.9856<10，3.172=10.0489>10，
所以3.16所以保留到十分位是x≈3.2．
【知识点】平方根；估算无理数的大小；圆的面积
【解析】【分析】(1)根据圆的面积公式列方程求解，由于是无理数，即可判断；
(2)根据平方根的性质，求出x的范围，即可解答；
(3)根据平方根的性质，结合保留到百分位，求出x的范围，则可得出保留到十分位的结果.
11．【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意得：a2=26，
∴a=，
∵＜＜，即5＜＜5.5，
故答案为：C.
【分析】找出26在52和5.52之间，即可解答.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：A、 面积为3的正方形的边长= ，是无理数，错误；
B、 体积是8的正方体的棱长= =2，是有理数，正确；
C、 两直角边分别是4和5的直角三角形斜边的长= ，是无理数，错误；
D、 长为1，宽为2的长方形的对角线的长= ，是有理数，错误；
故答案为：B.
【分析】分别根据开平方的定义；正方体的体积公式和勾股定理求解，再根据有理数和无理数的定义分别判断即可.
13．【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：ACD、 无限不循环小数都是无理数，故A正确，CD错误；
B、分数是有理数，错误；
故答案为：A.
【分析】根据无理数的定义可知，无限不循环小数是无理数，有理数包括整数和分数，即可解答.
14．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵ <∴整数a有2，3，
∴整数有2个.
故答案为：B.
【分析】先找出无理数的范围，然后在此范围内取整数，即可解答.
15．【答案】B
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、 π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；
B、 是分数，分数是有理数，符合题意；
C、 0.1010010001…… 是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；
D、 π是无理数，则π-3.14是无理数，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据无理数的定义：无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比；若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环； 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等， 即可判定.
16．【答案】6 cm；7 cm
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意得：正方形边长=，
∵＜<，
∴6＜<7.
故答案为：6 cm，7 cm.
【分析】先正方形的面积公式，结合平方根的定义求出正方形的边长，再确定的范围，即可解答.
17．【答案】0， ，32， ， ；3π，0.232 32……(相邻两个2之间3的个数逐次多1)
【知识点】实数及其分类；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵整数和分数为有理数，
∴ 0，32， ， ， 是有理数，
∵无限循环小数是有理数，
∴ 有理数，
∵无限不循环小数是无理数，
∴3π，0.232 32 是无理数.
故答案为： 0， ，32， ， ； 3π，0.232 32 .
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等.
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【细解】初中数学鲁教版七年级上册第四章实数1无理数
一、知识梳理知识点1无理数的存在性
1．因为12= ，22 = ，所以当a2=2时，a应在 和 之间，故a不可能是 数．因为两个相同分数的乘积都为 ，所以a不可能是 ．由此可知，在等式a2=2中，a既不是 ，也不是 ，所以a不是
【答案】1；4；1；2；整；分数；分数；整数；分数；有理数
【知识点】平方根；无理数的认识
【解析】【解答】解： 因为12=1，22 =4，所以当a2=2时，a应在1和2之间，故a不可能是整数．因为两个相同分数的乘积都为分数，所以a不可能是分数．由此可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.
故答案为：1，4，1，2，整数，分数，分数，整数，分数，有理数.
【分析】根据平方根的定义解答前几项，由于整数和分数统称为有理数，而根据整数的特点，以及同分数乘积的结果分析得出a既不是整数，也不是分数，则可判断a不是有理数.
二、知识梳理知识点2估计数的大小
2．假设正方形的边长为a，若面积a2=3，则a既不是 ，也不是 ，此时可以用“逐渐接近”的方法来估计a的值，从而求得a的近似值、因为1<3<4，所以 【答案】整数；分数；1；2；1.21；1.44；1.69；1.96；2.25；2.56；2.89；3.24；3.61；1.72；1.82；7
【知识点】平方根；估算无理数的大小；无理数的认识
【解析】【解答】解： 假设正方形的边长为a，若面积a2=3，则a既不是整数，也不是分数，此时可以用“逐渐接近”的方法来估计a的值，从而求得a的近似值、因为1<3<4，所以1故答案为：整数，分数，1，2，1.21，1.44，1.69，1.96，2.25，2.56，2.89，3.24，3.61，1.72，1.82，7.
【分析】根据平方根的定义解答，然后进行有理数的乘方的计算分别填入各数平方的结果，同时运用“逐渐接近”的方法分别估计整数位和十分位即可.
3． 小数称为无理数．
【答案】无限不循环
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：∵无限不循环小数称为无理数.
故答案为： 无限不循环.
【分析】根据无理数的定义判断，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比.
三、考点突破考点1有理数与无理数的辨别
4．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0， ，-4， ， ，1.112 111 211……，3.141 592 7
【答案】解：有理数为0，一4， ， ，3.141 592 7；无理数为分 ，1.112 111 211……
【知识点】实数及其分类；无理数的认识
【解析】【分析】实数分为有理数和无理数，整数和分数统称为有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比；若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环； 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等， 即可判定.
5．下列四个选项，描述的是无理数的是（ ）
A．长度的平方为144的一条线段的长
B．体积为64的立方体的棱长
C．直角边为9和12的直角三角形的斜边长
D．周长为8的圆的半径长
【答案】D
【知识点】平方根；立方根及开立方；勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：A、 长度的平方为144的一条线段的长= =12，是有理数，错误；
B、 体积为64的立方体的棱长= =4，是有理数，错误；
C、 直角边为9和12的直角三角形的斜边长= =15，是有理数，错误；
D、 周长为8的圆的半径长= ，是无理数，正确；
故答案为：D.
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等，先根据题意分别求出各边的长度，然后根据有理数和无理数的概念分别判断即可.
6．下列哪些是有理数？哪些是无理数？
-5，3.7，-π， ， ，0.121 121 112……， ，
【答案】解：有理数：-5，3.7， ， ， ；无理数：-π，0.12112112……，
【知识点】实数及其分类；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵整数和分数为有理数，∴-5，3.7， ， 是有理数；
∵无限循环小数为有理数，∴ 是有理数；
∵无限循环小数是无理数，∴-π，0.12112112……， .
故答案为： 有理数：-5，3.7， ， ， ；无理数：-π，0.12112112……， .
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等，据此分别判断即可.
四、考点突破考点2网格图中的无理数
7．如图所示，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．试说明边长AB，BC，CD，AD和对角线AC，BD的长度哪些是有理数，哪些不是有理数．
【答案】解：AC=7，BD=5是有理数． AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理AB2=32+42=25，AB=5是有理数．而BC2=32+32= 18，CD2=32+22=13，AD2=42+22=20，因此BC，CD，AD的长度不是有理数．
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵AC=7，BD=5，∴是有理数．
∵ AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，
由勾股定理AB2=32+42=25，AB=5是有理数；
而BC2=32+32= 18，CD2=32+22=13，AD2=42+22=20，
∴BC=3，CD=，AD=2，
因此BC，CD，AD的长度不是有理数．
【分析】分别在图中读出AC和BD的长，再根据勾股定理分别求出AB、BC、CD和AD的长，然后根据有理数和无理数的概念分别判断即可解答.
8．如图所示是由16个边长为1的正方形拼成的，连接这些小正方形的若干顶点，得到五条线段CA，CB，CD，CE，CF ，其中长度不是有理数的有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵CA=4，CB==，CD==5，CE==2，CF==，
∵4、5是有理数，、2、是无理数，不是有理数，
即长度不是有理数的有、2、，
共3条.
故答案为：C.
【分析】先根据图形读出或根据勾股定理求出各边的长，然后根据有理数和无理数的概念分别判断，即可解答.
9．如图所示，小方格都是边长为1的正方形，那么在四边形ABCD中，边长是有理数的是边
【答案】AB
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵AB==5，BC=，AD==2，CD==3，
∵5是有理数，，2，3是无理数，
∴边长是有理数的是边： AB.
故答案为：AB.
【分析】先根据勾股定理求出四边形ABCD各边的长，再根据有理数和无理数的定义分别判断即可.
10．设面积为10π的圆的半径为x．
（1）x是有理数吗？请说明理由；
（2）请估计x的整数部分是几？
（3）将x保留到十分位是几？
【答案】（1）解：由圆的面积公式可得πx2=10π，
所以x2=10，
所以x=或-（舍去），
所以x既非整数也非分数，故x不是有理数.
（2）解：由(1)得x2=10．
因为32=9<10，42=16>10，
所以3（3）解：3.12=9.61<10，3.22=10.24> 10，
所以3.1又因为3.162=9.9856<10，3.172=10.0489>10，
所以3.16所以保留到十分位是x≈3.2．
【知识点】平方根；估算无理数的大小；圆的面积
【解析】【分析】(1)根据圆的面积公式列方程求解，由于是无理数，即可判断；
(2)根据平方根的性质，求出x的范围，即可解答；
(3)根据平方根的性质，结合保留到百分位，求出x的范围，则可得出保留到十分位的结果.
11．面积为26平方厘米的正方形的边长大约是（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米
【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意得：a2=26，
∴a=，
∵＜＜，即5＜＜5.5，
故答案为：C.
【分析】找出26在52和5.52之间，即可解答.
五、当堂巩固
12．下列各数中是有理数的是（ ）
A．面积为3的正方形的边长
B．体积是8的正方体的棱长
C．两直角边分别是4和5的直角三角形斜边的长
D．长为1，宽为2的长方形的对角线的长
【答案】B
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：A、 面积为3的正方形的边长= ，是无理数，错误；
B、 体积是8的正方体的棱长= =2，是有理数，正确；
C、 两直角边分别是4和5的直角三角形斜边的长= ，是无理数，错误；
D、 长为1，宽为2的长方形的对角线的长= ，是有理数，错误；
故答案为：B.
【分析】分别根据开平方的定义；正方体的体积公式和勾股定理求解，再根据有理数和无理数的定义分别判断即可.
13．下列说法中，正确的是（ ）
A．无限不循环小数都是无理数 B．分数都是无理数
C．无理数都是循环小数 D．无限小数都是无理数
【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：ACD、 无限不循环小数都是无理数，故A正确，CD错误；
B、分数是有理数，错误；
故答案为：A.
【分析】根据无理数的定义可知，无限不循环小数是无理数，有理数包括整数和分数，即可解答.
14．已知a为整数，且 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵ <∴整数a有2，3，
∴整数有2个.
故答案为：B.
【分析】先找出无理数的范围，然后在此范围内取整数，即可解答.
15．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A．π B．
C．0.1010010001…… D．π-3.14
【答案】B
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、 π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；
B、 是分数，分数是有理数，符合题意；
C、 0.1010010001…… 是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；
D、 π是无理数，则π-3.14是无理数，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据无理数的定义：无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比；若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环； 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等， 即可判定.
16．一个正方形的面积为42cm2，它的边长在两个相邻整数之间，这两个整数是 和
【答案】6 cm；7 cm
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意得：正方形边长=，
∵＜<，
∴6＜<7.
故答案为：6 cm，7 cm.
【分析】先正方形的面积公式，结合平方根的定义求出正方形的边长，再确定的范围，即可解答.
17．在数 ，0， ，3π， ，0.232 332……(相邻两个2之间3的个数逐次多1)，32中，有理数有 ，无理数有
【答案】0， ，32， ， ；3π，0.232 32……(相邻两个2之间3的个数逐次多1)
【知识点】实数及其分类；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵整数和分数为有理数，
∴ 0，32， ， ， 是有理数，
∵无限循环小数是有理数，
∴ 有理数，
∵无限不循环小数是无理数，
∴3π，0.232 32 是无理数.
故答案为： 0， ，32， ， ； 3π，0.232 32 .
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等.
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