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【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理3勾股定理的应用举例第2课时勾股定理的应用举例(2)
一、知识梳理知识点利用勾股定理解决实际问题
1．在求一些高度、长度、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的 三角形，也就是把实际问题转化为数学模型，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用 进行解决．
【答案】直角；勾股定理
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在求一些高度、长度、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学模型，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行解决.
故答案为：直角；勾股定理.
【分析】在解直角三角形时，首先需找出要求的边所在的直角三角形，然后根据勾股定理进行求解.
二、考点突破考点1实际问题中的勾股定理
2．某同学在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁BC竖直放置的吸管，露在外面的部分BD =2厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平．已知易拉罐的底部是直径AC长为8厘米的圆．请你求出吸管的长度和易拉罐的高度．
【答案】解：设吸管 长为x厘米，则AB=CD=x厘米，易拉罐高BC=(x-2)厘米．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+ BC2=AB2，
所以82+(x-2)2=x2．
解得x=17．
所以x-2=17-2= 15．
答：吸管长为17厘米，易拉罐高15厘米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设吸管长为x厘米，则AB=CD=x厘米，易拉罐高BC=(x-2)厘米，然后在Rt△ABC中，应用勾股定理求解即可.
3．如图所示，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
【答案】解：设树高x m，则x2+202=(10+20+10-x)2，解得x=15．
答：树高为15 m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设树高xm，由题意可得x2+202=(10+20+10-x)2，求解即可.
三、考点突破考点2勾股定理在“汽车过桥洞”类题目中的应用
4．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进形状如图所示的某工厂大门，已知大门上部为半圆形，下部为长方形，这辆卡车能否通过该工厂的大门？
【答案】解：工厂大门宽度大于卡车宽，所以只要看当卡车位于大门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离大门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于点H．
由题知：OC=1米(大门宽度一半)，
OD=0.8米(卡车宽度一半)，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD2=OC2-OD2=12-0.82=0.36，
所以CD=0.6米，
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米)．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能沿着中间顺利通过该厂大门．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 由题知：OC=1米，OD=0.8米，在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD的长，然后求出CH的长，与2.5米进行比较即可判断.
5．如图，一辆卡车装满货物后，高4米，宽3米．这辆卡车能通过横截面如图所示(上面是一个半圆，下面是长方形)的隧道吗？
【答案】解：取半圆的圆心O，使得OB=1.5米，如图．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB2+AB2 = OA2，
所以1.52+ AB2=2.52，
所以AB=2，
所以AH=AB+BH=2+2.6=4.6，
因为4.6>4，
所以这辆卡车能沿着隧道中间顺利通过．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】对图形进行点标注，取半圆的圆心O，使得OB=1.5米，在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB，进而求得AH，然后与4米进行比较即可判断.
四、当堂巩固
6．如图所示，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)（ ）
A．12 m B．13 m C．16m D．17m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，如图：
设旗杆的高度为xm，则AD=AC=xm，AB=(x-2)m，
∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴(x-2)2+82=x2，
解得x=17，故旗杆的高度为17m，
故答案为D.
【分析】对图形进行点标注，设旗杆的高度为xm，则AD=AC=xm，AB=(x-2)m，然后在Rt△ABC中，应用勾股定理求解即可.
7．如图，学校教学楼旁有一．块矩形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了多少步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草（ ）
A．6步 B．5步 C．4步 D．3步
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AC2+BC2=AB2，
∴32+42=AB2，
∴AB=5，
∴少走的米数为3+4-5=2米，
∴少走的步数为4步.
故答案为：C.
【分析】首先由勾股定理求出AB的长，然后求出少走的米数，接下来根据2步为1米可得少走的步数.
8．如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是（ ）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得a的最小值为12，最大值为=13，
∴a的范围为12≤a≤13.
故答案为A.
【分析】由题意可得a的最小值为12，由勾股定理求出最大值，据此可得a的范围.
9．如图所示，在△ABC中，AB= AC，已知BD= 40，AB=50，AD=30，则△ABC的面积为（ ）
A．900 B．600 C．1200 D．2400
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵BD= 40，AB=50，AD=30，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC，∠ADB=90°，
∴BD=DC=40，
∴BC=80，
∴S△ABC=BC·AD=×80×30=1200.
故答案为：C.
【分析】首先由已知条件结合勾股定理逆定理可得∠ADB=90°，然后结合等腰三角形的性质可得BD=DC=40，求出BC的值，接下来根据三角形的面积公式计算即可.
10．如图，某隧道的截面是一个半径为5米的半圆形，路面双向通行，中间有护栏．一辆高为4.2米，装货后宽为3米的卡车能通过该隧道吗？
【答案】解：取半圆的圆心O，卡车沿着中间通行，则OB=3米，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB2+AB2=OA2，
所以32+ AB2=52，
所以AB=4，
因为车高4.2 > 4，
所以这辆卡车即使沿着隧道中间也不能通过．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】取半圆的圆心O，卡车沿着中间通行，则OB=3米，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB的值，然后与4.2进行比较即可判断.
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【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理3勾股定理的应用举例第2课时勾股定理的应用举例(2)
一、知识梳理知识点利用勾股定理解决实际问题
1．在求一些高度、长度、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的 三角形，也就是把实际问题转化为数学模型，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用 进行解决．
二、考点突破考点1实际问题中的勾股定理
2．某同学在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁BC竖直放置的吸管，露在外面的部分BD =2厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平．已知易拉罐的底部是直径AC长为8厘米的圆．请你求出吸管的长度和易拉罐的高度．
3．如图所示，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
三、考点突破考点2勾股定理在“汽车过桥洞”类题目中的应用
4．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进形状如图所示的某工厂大门，已知大门上部为半圆形，下部为长方形，这辆卡车能否通过该工厂的大门？
5．如图，一辆卡车装满货物后，高4米，宽3米．这辆卡车能通过横截面如图所示(上面是一个半圆，下面是长方形)的隧道吗？
四、当堂巩固
6．如图所示，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)（ ）
A．12 m B．13 m C．16m D．17m
7．如图，学校教学楼旁有一．块矩形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了多少步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草（ ）
A．6步 B．5步 C．4步 D．3步
8．如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是（ ）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
9．如图所示，在△ABC中，AB= AC，已知BD= 40，AB=50，AD=30，则△ABC的面积为（ ）
A．900 B．600 C．1200 D．2400
10．如图，某隧道的截面是一个半径为5米的半圆形，路面双向通行，中间有护栏．一辆高为4.2米，装货后宽为3米的卡车能通过该隧道吗？
答案解析部分
1．【答案】直角；勾股定理
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在求一些高度、长度、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学模型，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行解决.
故答案为：直角；勾股定理.
【分析】在解直角三角形时，首先需找出要求的边所在的直角三角形，然后根据勾股定理进行求解.
2．【答案】解：设吸管 长为x厘米，则AB=CD=x厘米，易拉罐高BC=(x-2)厘米．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+ BC2=AB2，
所以82+(x-2)2=x2．
解得x=17．
所以x-2=17-2= 15．
答：吸管长为17厘米，易拉罐高15厘米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设吸管长为x厘米，则AB=CD=x厘米，易拉罐高BC=(x-2)厘米，然后在Rt△ABC中，应用勾股定理求解即可.
3．【答案】解：设树高x m，则x2+202=(10+20+10-x)2，解得x=15．
答：树高为15 m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设树高xm，由题意可得x2+202=(10+20+10-x)2，求解即可.
4．【答案】解：工厂大门宽度大于卡车宽，所以只要看当卡车位于大门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离大门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于点H．
由题知：OC=1米(大门宽度一半)，
OD=0.8米(卡车宽度一半)，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD2=OC2-OD2=12-0.82=0.36，
所以CD=0.6米，
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米)．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能沿着中间顺利通过该厂大门．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 由题知：OC=1米，OD=0.8米，在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD的长，然后求出CH的长，与2.5米进行比较即可判断.
5．【答案】解：取半圆的圆心O，使得OB=1.5米，如图．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB2+AB2 = OA2，
所以1.52+ AB2=2.52，
所以AB=2，
所以AH=AB+BH=2+2.6=4.6，
因为4.6>4，
所以这辆卡车能沿着隧道中间顺利通过．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】对图形进行点标注，取半圆的圆心O，使得OB=1.5米，在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB，进而求得AH，然后与4米进行比较即可判断.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，如图：
设旗杆的高度为xm，则AD=AC=xm，AB=(x-2)m，
∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴(x-2)2+82=x2，
解得x=17，故旗杆的高度为17m，
故答案为D.
【分析】对图形进行点标注，设旗杆的高度为xm，则AD=AC=xm，AB=(x-2)m，然后在Rt△ABC中，应用勾股定理求解即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AC2+BC2=AB2，
∴32+42=AB2，
∴AB=5，
∴少走的米数为3+4-5=2米，
∴少走的步数为4步.
故答案为：C.
【分析】首先由勾股定理求出AB的长，然后求出少走的米数，接下来根据2步为1米可得少走的步数.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得a的最小值为12，最大值为=13，
∴a的范围为12≤a≤13.
故答案为A.
【分析】由题意可得a的最小值为12，由勾股定理求出最大值，据此可得a的范围.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵BD= 40，AB=50，AD=30，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC，∠ADB=90°，
∴BD=DC=40，
∴BC=80，
∴S△ABC=BC·AD=×80×30=1200.
故答案为：C.
【分析】首先由已知条件结合勾股定理逆定理可得∠ADB=90°，然后结合等腰三角形的性质可得BD=DC=40，求出BC的值，接下来根据三角形的面积公式计算即可.
10．【答案】解：取半圆的圆心O，卡车沿着中间通行，则OB=3米，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB2+AB2=OA2，
所以32+ AB2=52，
所以AB=4，
因为车高4.2 > 4，
所以这辆卡车即使沿着隧道中间也不能通过．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】取半圆的圆心O，卡车沿着中间通行，则OB=3米，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB的值，然后与4.2进行比较即可判断.
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