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【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理
一、知识梳理知识点1勾股定理
1．直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 。
二、知识梳理知识点2勾股定理与图形面积
2．如图，正方形A、B、C间面积关系为
3．在△ABC中，∠C=90° ，设AB=a，BC=c，AC=b．
（1）若c=8，b=15，求a的长；
（2）若a=13，b=5，求c的长．
4．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是（ ）
A．b2=c2-a2 B．a2=c2-b2 C．b2=a2-c2 D．c2=a2+b2
5．如图
（1）如图1所示，直角三角形中未知的边长x等于
（2）如图2所示，直角三角形中未知的边长y等于
三、考点突破考点2勾股定理与图形面积．
6．（2020八上·西安期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．18 B．114 C．194 D．324
7．如图1所示，正方形A的面积是 ；如图2所示，正方形B的面积是
8．如图，是一棵“勾股树”。已知正方形M的边长为9，那么四个正方形A，B，C，D面积的和是（ ）
A．9 B．18 C．40.5 D．81
四、当堂巩固
9．直角三角形中，一条直角边长为9，斜边长为15，则另一条直角边长为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．15
10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm，正方形A的边长为6 cm，B的边长为5 cm，C的边长为5cm，则正方形D的面积为（ ）
A．14 cm2 B．16 cm2 C．15 cm2 D．9 cm2
11．如图所示，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP= 10，则PE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=25，AC=20，则BC=
13．若直角三角形两条直角边m，n之比为3：4，斜边p=10，则其周长为
答案解析部分
1．【答案】平方和；平方；a2+b2=c2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果用a，b，c分别表示直角三角形两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
故答案为：平方和，平方，a2+b2=c2.
【分析】根据勾股定理的表述和公式解答.
2．【答案】SA+SB= SC
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设三个正方形的边长为a、b、c，
∵∠DEF=90°，
∴a2+b2=c2，
∵SA=a2，SB=b2，SC=c2，
∴SA+SB= SC .
故答案为： SA+SB= SC .
【分析】设三个正方形的边长为a、b、c，根据勾股定理得出a2+b2=c2，再结合正方形的面积公式即可得出结果.
3．【答案】（1）解：在△ABC中，因为∠C=90°，
所以b2+c2=a2=152+82= 289．
又因为a>0，
所以a=17
（2）解：在△ABC中，因为∠C=90°，
所以b2+c2=a2，
所以c2=a2-b2=132-52=144．
又因为c>0，
所以c=12．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】(1)因为∠C为直角，a为斜边，直接利用勾股定理求a的长即可；
(2)因为∠C为直角，c为直角边，直接利用勾股定理求c的长即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形，斜边长为c，
∴c2=a2+b2 ， 即b2=c2-a2 ， a2=c2-b2 .
故答案为：C.
【分析】直角三角形中，斜边长为c，根据勾股定理列等式，然后再变形把a2和b2表示出来，即可判断.
5．【答案】（1）13
（2）7
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】(1)解：∵x为直角三角形的斜边，
∴x==13.
故答案为：13.
(2)∵y为直角边，
∴y=.
故答案为：7.
【分析】(1)x为直角三角形的斜边，利用勾股定理直接求x即可；
(2)y为直角边，利用勾股定理直接求y即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图
根据勾股定理的几何意义可得A. B的面积和为S1，C. D的面积和为S2，
∴S1=42+92=16+81=97，S2=12+42=1+16=17，
再根据勾股定理的几何意义可得E=S1+S2=97+17=114.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的几何意义即可解决问题.
7．【答案】100；225
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，取B、C、D，
∵∠BCD=90°，
∴BD2=BC2+CD2，
∴SA=BD2=36+64=100；
同理289=SB+64，
∴SB=289-64=225.
故答案为：100，225.
【分析】取B、C、D，由于∠BCD=90°，根据勾股定理求出BD2，结合正方形的面积公式即可求出正方形A的面积；同理可求图2正方形B的面积.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得：
SE=SA+SB，SF=SC+SD，SM=SE+SF，
∴SM=SE+SF=SA+SB+SC+SD=92=81.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的几何意义分别列式，联立推出SM=SA+SB+SC+SD，即可解答.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形，
∴另一条直角边长==12.
故答案为：C.
【分析】因为是直角三角形，根据勾股定理直接计算即可得出结果.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：
SA+SB=SE，SC+SD=SF，SE+SF=SM，
∴SM=SA+SB+SC+SD=36+25+25+SD=100，
∴SD=100-86=14.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的几何意义可得：A、B的面积之和等于E，C、D的面积之和等于F，E、F的面积之和等于M，最后推得SM=SA+SB+SC+SD，代入数据计算即可.
11．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵PD⊥OA，即∠PDO为直角，
∴PD=，
∵∠AOC=∠BOC， PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=6.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求出PD的长，然后根据角平分线的性质求出PE即可.
12．【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴BC=，
故答案为：15.
【分析】根据勾股定理列式计算即可.
13．【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设比的每份为k，
∴斜边p=，
∴5k=10，
∴k=2，
∴周长=3k+4k+5k=12k=12×2=24.
故答案为：24.
【分析】设比的每份为k，根据勾股定理把斜边p用含k的代数式表示，然后根据斜边长为10，求得k值，最后求三角形的周长即可.
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【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理
一、知识梳理知识点1勾股定理
1．直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 。
【答案】平方和；平方；a2+b2=c2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果用a，b，c分别表示直角三角形两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
故答案为：平方和，平方，a2+b2=c2.
【分析】根据勾股定理的表述和公式解答.
二、知识梳理知识点2勾股定理与图形面积
2．如图，正方形A、B、C间面积关系为
【答案】SA+SB= SC
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设三个正方形的边长为a、b、c，
∵∠DEF=90°，
∴a2+b2=c2，
∵SA=a2，SB=b2，SC=c2，
∴SA+SB= SC .
故答案为： SA+SB= SC .
【分析】设三个正方形的边长为a、b、c，根据勾股定理得出a2+b2=c2，再结合正方形的面积公式即可得出结果.
3．在△ABC中，∠C=90° ，设AB=a，BC=c，AC=b．
（1）若c=8，b=15，求a的长；
（2）若a=13，b=5，求c的长．
【答案】（1）解：在△ABC中，因为∠C=90°，
所以b2+c2=a2=152+82= 289．
又因为a>0，
所以a=17
（2）解：在△ABC中，因为∠C=90°，
所以b2+c2=a2，
所以c2=a2-b2=132-52=144．
又因为c>0，
所以c=12．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】(1)因为∠C为直角，a为斜边，直接利用勾股定理求a的长即可；
(2)因为∠C为直角，c为直角边，直接利用勾股定理求c的长即可.
4．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是（ ）
A．b2=c2-a2 B．a2=c2-b2 C．b2=a2-c2 D．c2=a2+b2
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形，斜边长为c，
∴c2=a2+b2 ， 即b2=c2-a2 ， a2=c2-b2 .
故答案为：C.
【分析】直角三角形中，斜边长为c，根据勾股定理列等式，然后再变形把a2和b2表示出来，即可判断.
5．如图
（1）如图1所示，直角三角形中未知的边长x等于
（2）如图2所示，直角三角形中未知的边长y等于
【答案】（1）13
（2）7
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】(1)解：∵x为直角三角形的斜边，
∴x==13.
故答案为：13.
(2)∵y为直角边，
∴y=.
故答案为：7.
【分析】(1)x为直角三角形的斜边，利用勾股定理直接求x即可；
(2)y为直角边，利用勾股定理直接求y即可.
三、考点突破考点2勾股定理与图形面积．
6．（2020八上·西安期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．18 B．114 C．194 D．324
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图
根据勾股定理的几何意义可得A. B的面积和为S1，C. D的面积和为S2，
∴S1=42+92=16+81=97，S2=12+42=1+16=17，
再根据勾股定理的几何意义可得E=S1+S2=97+17=114.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的几何意义即可解决问题.
7．如图1所示，正方形A的面积是 ；如图2所示，正方形B的面积是
【答案】100；225
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，取B、C、D，
∵∠BCD=90°，
∴BD2=BC2+CD2，
∴SA=BD2=36+64=100；
同理289=SB+64，
∴SB=289-64=225.
故答案为：100，225.
【分析】取B、C、D，由于∠BCD=90°，根据勾股定理求出BD2，结合正方形的面积公式即可求出正方形A的面积；同理可求图2正方形B的面积.
8．如图，是一棵“勾股树”。已知正方形M的边长为9，那么四个正方形A，B，C，D面积的和是（ ）
A．9 B．18 C．40.5 D．81
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得：
SE=SA+SB，SF=SC+SD，SM=SE+SF，
∴SM=SE+SF=SA+SB+SC+SD=92=81.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的几何意义分别列式，联立推出SM=SA+SB+SC+SD，即可解答.
四、当堂巩固
9．直角三角形中，一条直角边长为9，斜边长为15，则另一条直角边长为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形，
∴另一条直角边长==12.
故答案为：C.
【分析】因为是直角三角形，根据勾股定理直接计算即可得出结果.
10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm，正方形A的边长为6 cm，B的边长为5 cm，C的边长为5cm，则正方形D的面积为（ ）
A．14 cm2 B．16 cm2 C．15 cm2 D．9 cm2
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：
SA+SB=SE，SC+SD=SF，SE+SF=SM，
∴SM=SA+SB+SC+SD=36+25+25+SD=100，
∴SD=100-86=14.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的几何意义可得：A、B的面积之和等于E，C、D的面积之和等于F，E、F的面积之和等于M，最后推得SM=SA+SB+SC+SD，代入数据计算即可.
11．如图所示，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP= 10，则PE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵PD⊥OA，即∠PDO为直角，
∴PD=，
∵∠AOC=∠BOC， PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=6.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求出PD的长，然后根据角平分线的性质求出PE即可.
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=25，AC=20，则BC=
【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴BC=，
故答案为：15.
【分析】根据勾股定理列式计算即可.
13．若直角三角形两条直角边m，n之比为3：4，斜边p=10，则其周长为
【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设比的每份为k，
∴斜边p=，
∴5k=10，
∴k=2，
∴周长=3k+4k+5k=12k=12×2=24.
故答案为：24.
【分析】设比的每份为k，根据勾股定理把斜边p用含k的代数式表示，然后根据斜边长为10，求得k值，最后求三角形的周长即可.
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