2.1 等式性质与不等式性质 课件（共19张PPT）

必修一
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第一节：等式性质和不等式性质
目录
1
生活中的相等和不等关系
解不等式的常用方法
典型例题
不等式的性质
知识框架
2
3
4
5
生活中的相等和不等关系
生活中的相等和不等关系
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系。
例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等。
类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等。相等用等式表示，不等用不等式表示。
比如：
小明和小红的数学成绩都是90分，他们俩的成绩一样，成绩相等；
小明身高1.8m，小强身高1.7m，小明比小强高；
爸爸妈妈年龄都是35岁，爸爸妈妈年龄相等；
学校举例我家10公里，奶奶家举例我家15公里，学校距离我家更近。
生活中的相等和不等关系
(1)某路段限速40 km/h。
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于 2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%。
(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?
对于(1)设在该路行驶的汽为Vkm/h，“限速40 km/h”就是的大小不能超过40，于是0＜V≤40。
对于 (2)，由题意，得f≥2.5%,p≥2.3%。
对于 (3)，设△ABC 的三条边为a，b，c，则a+b>c，a-b对于 (4)，如图，设 C 是线段AB 外的意一点，CD 垂直于AB，垂足为 D，E 是线段AB 上不同于D的任意一点，则 CD生活中的相等和不等关系
设提价后每本杂志的定价为工元，则销售总收人为(8-?????2.50.1×0.2)????万元，于是，不等关系“销售总收入不低于 20 万元”可以用不等式表示为
(8 - ?????2.50.1×0.2)???? ≥ 20
求出不等式的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围。
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问题2某种杂志原以每本 25元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，杂志的单价每提高 0.1元，销量就可能减少 2 000本如定才能使提价后的销总收入不低于 20万元?
那么，如何解不等式？要用到不等式的性质，所以需要先研究不等式的性质！
解不等式的常用方法
解不等式的常用方法
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么，这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗?
回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
解不等式的常用方法
关于两个实数大小关系的基本事实
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系。
如图 设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是 A，B.那么，当点 A 在点B 的左边时，a＜b;当点 A 在点B 的右边时，a>b.
a b
A B
b a
B A
解不等式的常用方法
关于实数a，b 大小的比较，有以下基本事实:
如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＞b，反过来也对。
这个基本事实可以表示为
a＞b ?a-b＞0
a=b ?a-b=0
a＜b ?a-b＜0
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。
例I 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
分析：通过考察这两个多项式的差与 0的大小关系，可以得出它们的大小关系。
解：
因为
(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)
=(x?+5x+6)-(x?+5x+4)
=2＞0
所以：(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式)，这是解决不等式问题的常用方法.
典型例题
典型例题1
如图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?
① 由正方形ABCDA的面积和＞四个直角三角形的面积和，可以得到：a?+b?＞2ab
② 当直角三角形变为等腰直角三角形时，即a=b时，可以得到：a?+b?=2ab
③ 以上汇总可得：a?+b?≥2ab
④ 利用完全平方公式，a?+b?-2ab=(a-b)?
可以得到：a?+b?≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。
典型例题2
已知a＞b，证明a＞ ????+????2 ＞b
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分析：根据已知条件，结合作差法。
解答：
证明：∵a >b,即a-b > 0，
∴a - ????+????2 = ????2 - ????2 =（?????????）2 ＞0，即a＞????+????2，
∴????+????2 - b= ????2 - ????2 = （?????????）2 ＞0，即????+????2＞b，
故：a＞ ????+????2 ＞b得证。
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本题主要考查不等式的证明，运用作差法是解本题的关键，属于基础题
典型例题3
已知a＞b＞0，c＜0，求证???????? ＞ ???????? 。
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不等式性质
不等式性质
关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础。那么，不等式到底有哪些性质呢?
因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发.
不等式性质
等式有下面的基本性质：
性质1 如果a=b，那么b=a；
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c；
性质3 如果a=b，那么a士c=b士c；
性质4 如果a=b，那么ac=bc；
性质5 如果a=b，c≠0，那么???????? = ????????
可以发现，性质 1，2 反映了相等关系自身的特性，性质 3，4，5 是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性。
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性质1 如果a>b，那么bb。
即a＞b ?b＜a
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c。(要了解证明过程)
即a>b，b>c ? a>c
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c。
a+b>c ? a+b+(-b)>c+(-b) ? a>c-b。
这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边。
性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac性质5 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。
性质7 如果a>b>0，那么a^n>b^n(n∈N，n≥2)。
知识框架
知识框架
相等关系
等式
等式的基本性质
相等关系的自身特性
等式在运算中的不变性
如果a=b，那么b=a；
如果a=b，b=c，那么a=c；
如果a=b，那么a士c=b士c；
如果a=b，那么ac=bc；
如果a=b，c≠0，那么???????? = ????????
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不等关系
不等式
不等式的基本性质
不等关系的自身特性
不等式在运算中的不变性
a＞b ?b＜a
a>b，b>c ? a>c
a>b，a+c>b+c
a>b，c>0，ac>bc；a>b，c<0，ac