28.1 锐角三角函数 同步练习 人教版数学九年级下册（含答案）
文档属性
| 名称 | 28.1 锐角三角函数 同步练习 人教版数学九年级下册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 140.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-28 14:01:49 | ||
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文档简介
28.1 锐角三角函数 同步练习 2022-2023学年人教版数学九年级下册
一、单选题
1．如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（ ）
A．8° B．10° C．12° D．24°
2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则∠B为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若计算器的四个键的序号如图所示，在角的度量单位为“度的状态下”用计算器求 ，正确的按键顺序是（ ）
A．(2)(1)(4)(3) B．(1)(4)(2)(3)
C．(2)(4)(1)(3) D．(1)(2)(3)(4)
5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（ ，2），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt ABC中，∠ 为锐角，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°，若AC=6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
二、填空题
9．反比例函数 的图象经过点（tan45°，cos60°），则k＝ .
10． ．
11．如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥AC，且AE＝AC，则∠AEB＝ 度.
12．如图，在 中， ，D是 上一点（点D与点A不重合）.若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值范围是 .
13．如图， 中， ， ， ，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于 为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为 .
三、解答题
14．先化简，再求值：，其中x＝2tan60°－4sin30°．
15．用计算器计算下列各式的值．
（1）sin 20°
（2）cos 20°
（3）tan 48°
（4）sin 15°32′
（5）cos 49°18′
（6）tan 75°3′．
16．为了保证人们上下楼的安全, 楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制, 每节楼梯踏步的宽度相同, 高度也相同中小学楼梯宽度的范围是260 mm 300 mm ( 含300 mm ) , 高度的范围是120 mm 150 mm (含150 mm ). 如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图, 测量结果如下: AB, CD分别垂直平分踏步EF, GH, 各踏步互相平行, AB = CD, AC = 900 mm, ∠ACD = 65°, 试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定 (结果精确到1 mm, 参考数据: sin 65° ≈ 0.906, cos 65° ≈ 0.423.)
17．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线 相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB= ，求PD的长．
18．如图，在等腰 中， ， ， 是 上一点，若 .
（1）求 的长；
（2）求 的值.
19．如图，四边形ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC，AE∥BC交直线BD于E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若CD为直径，tan∠ADE＝2，求sin∠BDC的值．
参考答案
1．C
2．C
3．C
4．C
5．D
6．C
7．B
8．D
9．
10．
11．30
12． ＜AD＜2
13．
14．解：原式
∵x＝2tan60°－4sin30°＝，
∴原式
15．解：（1）sin 20°≈0.3420；
（2）cos 20°≈0.9397；
（3）tan 48°≈1.1106；
（4）sin 15°32′≈0.2678；
（5）cos 49°18′≈0.6521；
（6）tan 75°3′≈3.745．
16．解：如图，连接BD，作DM⊥AB交BA的延长线于点M,
∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD
∴四边形A BDC是平行四边形
∴∠C=∠ABD，AC=BD
∵∠C=65°，AC=900mm，
∴∠ABD=65°，BD=900mm
∴BM=BD·cos 65°≈900×0.423≈381(mm) ，
DM=BD·sin 65°≈900×0.906≈815(mm)
∵381÷3=127(mm)，120mm<127mm<150mm
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定
∵815÷3≈272(mm)，260mm<272mm<300mm
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定
综上，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定
17．（1）证明： ∵∠BAC=∠BPC,∠APC=∠ABC,又 ∠APC=∠CPB=60° ，∴∠BAC=∠ABC=60° ，∴ △ABC是等边三角形；
（2）解： ∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB= ,∠ACD=60°在△APC中，∵ ∠PAC=90°, ∠APC=60°，∴∠ACP=30°,∴AP=AC·tan30°=2,
在△ADC中，∵ ∠DAC=90°, ∠ACD=60°，∴∠D=30°,∴AD==6,∴PD=AD-PA=6-2=4
18．（1）解：过点 作 于点 ，
等腰三角形 ， ，
，
设
，
由勾股定理可知： .
由勾股定理可知：
（2）解：由于 ， ，
由勾股定理可知：
19．（1）证明：连接AB，连接AO并延长交BC于F，如图1所示： ∵四边形ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC， ∴∠ADE＝∠ACB，∠ADE＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴AF⊥BC
∵AE∥BC，
∴AE⊥AF，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AO并延长交BC于G，如图2所示： ∵CD为直径， ∴∠DAC＝∠CBD＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠E+∠CBD＝90°，
∴∠E＝90°，
∴四边形AEBG是矩形，
∴BG＝AE，AG＝BE，
∵∠ADE＝∠ADC＝∠ACB，
∴tan∠ADE＝ ＝tan∠ADC＝ ＝tan∠ACB＝ ＝2，
∴AE＝2DE，AC＝2AD，AG＝2CG＝BC＝2AE＝4DE，
∴AD＝ DE，CD＝ AD＝5DE，
∴sin∠BDC＝ ＝
一、单选题
1．如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（ ）
A．8° B．10° C．12° D．24°
2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则∠B为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若计算器的四个键的序号如图所示，在角的度量单位为“度的状态下”用计算器求 ，正确的按键顺序是（ ）
A．(2)(1)(4)(3) B．(1)(4)(2)(3)
C．(2)(4)(1)(3) D．(1)(2)(3)(4)
5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（ ，2），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt ABC中，∠ 为锐角，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°，若AC=6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
二、填空题
9．反比例函数 的图象经过点（tan45°，cos60°），则k＝ .
10． ．
11．如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥AC，且AE＝AC，则∠AEB＝ 度.
12．如图，在 中， ，D是 上一点（点D与点A不重合）.若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值范围是 .
13．如图， 中， ， ， ，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于 为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为 .
三、解答题
14．先化简，再求值：，其中x＝2tan60°－4sin30°．
15．用计算器计算下列各式的值．
（1）sin 20°
（2）cos 20°
（3）tan 48°
（4）sin 15°32′
（5）cos 49°18′
（6）tan 75°3′．
16．为了保证人们上下楼的安全, 楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制, 每节楼梯踏步的宽度相同, 高度也相同中小学楼梯宽度的范围是260 mm 300 mm ( 含300 mm ) , 高度的范围是120 mm 150 mm (含150 mm ). 如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图, 测量结果如下: AB, CD分别垂直平分踏步EF, GH, 各踏步互相平行, AB = CD, AC = 900 mm, ∠ACD = 65°, 试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定 (结果精确到1 mm, 参考数据: sin 65° ≈ 0.906, cos 65° ≈ 0.423.)
17．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线 相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB= ，求PD的长．
18．如图，在等腰 中， ， ， 是 上一点，若 .
（1）求 的长；
（2）求 的值.
19．如图，四边形ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC，AE∥BC交直线BD于E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若CD为直径，tan∠ADE＝2，求sin∠BDC的值．
参考答案
1．C
2．C
3．C
4．C
5．D
6．C
7．B
8．D
9．
10．
11．30
12． ＜AD＜2
13．
14．解：原式
∵x＝2tan60°－4sin30°＝，
∴原式
15．解：（1）sin 20°≈0.3420；
（2）cos 20°≈0.9397；
（3）tan 48°≈1.1106；
（4）sin 15°32′≈0.2678；
（5）cos 49°18′≈0.6521；
（6）tan 75°3′≈3.745．
16．解：如图，连接BD，作DM⊥AB交BA的延长线于点M,
∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD
∴四边形A BDC是平行四边形
∴∠C=∠ABD，AC=BD
∵∠C=65°，AC=900mm，
∴∠ABD=65°，BD=900mm
∴BM=BD·cos 65°≈900×0.423≈381(mm) ，
DM=BD·sin 65°≈900×0.906≈815(mm)
∵381÷3=127(mm)，120mm<127mm<150mm
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定
∵815÷3≈272(mm)，260mm<272mm<300mm
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定
综上，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定
17．（1）证明： ∵∠BAC=∠BPC,∠APC=∠ABC,又 ∠APC=∠CPB=60° ，∴∠BAC=∠ABC=60° ，∴ △ABC是等边三角形；
（2）解： ∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB= ,∠ACD=60°在△APC中，∵ ∠PAC=90°, ∠APC=60°，∴∠ACP=30°,∴AP=AC·tan30°=2,
在△ADC中，∵ ∠DAC=90°, ∠ACD=60°，∴∠D=30°,∴AD==6,∴PD=AD-PA=6-2=4
18．（1）解：过点 作 于点 ，
等腰三角形 ， ，
，
设
，
由勾股定理可知： .
由勾股定理可知：
（2）解：由于 ， ，
由勾股定理可知：
19．（1）证明：连接AB，连接AO并延长交BC于F，如图1所示： ∵四边形ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC， ∴∠ADE＝∠ACB，∠ADE＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴AF⊥BC
∵AE∥BC，
∴AE⊥AF，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AO并延长交BC于G，如图2所示： ∵CD为直径， ∴∠DAC＝∠CBD＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠E+∠CBD＝90°，
∴∠E＝90°，
∴四边形AEBG是矩形，
∴BG＝AE，AG＝BE，
∵∠ADE＝∠ADC＝∠ACB，
∴tan∠ADE＝ ＝tan∠ADC＝ ＝tan∠ACB＝ ＝2，
∴AE＝2DE，AC＝2AD，AG＝2CG＝BC＝2AE＝4DE，
∴AD＝ DE，CD＝ AD＝5DE，
∴sin∠BDC＝ ＝