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【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第四章实数1无理数
一、知识点非有理数的存在通基础
1．满足下列条件的数字a，不是有理数的是（ ）
A．2a+7=8 B．a2=0.16 C．a2=7 D．a2=9
2．已知Rt△ABC的两直角边AC，BC的长分别是2 cm，3 cm．那么它的斜边AB的长满足什么条件？你能用一个整数或分数表示出来吗？
二、知识点确定非有理数的近似值通基础
3．如果a2=19，那么a的值介于下列哪两数之间？（ ）
A．4.2，4.3 B．4.3，4.4 C．4.4，4.5 D．4.5，4.6
三、知识点无理数通基础
4．下列四个数是无理数的是（ ）
A．0.17 B． C．0 D．
5．下列数是无理数的是（ ）
A．3.14
B．
C．1
D．0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)
四、通能力
6．下列各数： ，0.1234567891011…(省略的为1)，0，2π．其中是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是
8．七(2)班两位同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为7米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2米远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球．问：梯子顶端到地面的距离是有理数还是无理数？这位同学能拿到球吗？
五、通素养
9．试验与探究：我们知道分数 写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即 ．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在以 为例进行讨论：设 =x，由 =0.7777…可知，10x-x=7.77…-0.777…=7，即10x-7x=7，解方程，得x= ．于是得 =
请仿照_上述例题完成下列各题：
（1）请你把无限循环小数 写成分数，即 =
（2）你能化无限循环小数 为分数吗？请仿照上述例子求解．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、解得a=，是有理数；
B、解得a=±0.4，是有理数；
C、解得a=±，是无理数；
D、解得a=±3，是有理数；
故答案为：C.
【分析】分别计算出各个选项中的a值，再根据无理数是无限不循环小数即可判断.
2．【答案】解：由勾股定理，得AB2=AC2+ BC2=22+32=13．因为13既不是一个整数的平方，也不是一个分数的平方，所以AB的长不能用一个整数或分数表示出来．
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【分析】由勾股定理可得 AB2 =13，所以AB=，是一个无理数，故不能用一个整数和分数表示出来.
3．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】分别计算出4.22，4.32，4.42，看哪两个更接近于所给出无理数的被开方数，即用“夹逼法”估计.
4．【答案】D
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、0.17=是分数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、0是整数，属于有理数；
D、是无限不循环小数，属于无理数；
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，即可判断.
5．【答案】D
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、3.14=是分数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、1是整数，属于有理数；
D、0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)是无限不循环小数，属于无理数；
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，即可判断.
6．【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：∵为无限不循环小数，故为无理数；
而是分数，0.1234567891011...(省略的为1)是循环小数，0为整数，均为有理数；
故答案为：A.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，即可判断.
7．【答案】π， (答案不唯一 )
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：根据题意，和均为无理数，而为有理数；
故答案为：、（答案不唯一）
【分析】无理数即无限不循环小数，常见的无理数有：
①开方开不尽的数：、、、2、2等。
②与π有关的式子。
③无限不循环小数：0.101001000100001……、2.71828...、0.107856387510……等。
8．【答案】解：设梯子顶端到地面的距离为x米，
由题意，得x2=72-22=45．
因为45既不是整数的平方，也不是分数的平方，所以x是无理数，所以梯子顶端到地面的距离是无理数．因为62=36，45>62．所以这位同学能拿到球．
【知识点】勾股定理的应用；无理数的认识
【解析】【分析】根据勾股定理计算出梯子顶端到地面的距离的平方为45，故梯子顶端到地面的距离为无理数，而45>62，故可以拿到球.
9．【答案】（1）
（2）解：设 =x，由 =0.737 373 73……可知，100x- x=73.737 3……- 0.737 3……=73，所以100x-x=73，解得x= ，所以 =
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1)设=x，由 =0.5555…可知，10x-x=5.55… -0.555…=5，即10x-x=5，解得x= ．所以 =
【分析】（1）根据题意，设=x，则10x-x=5，解方程即可；
（2）设 =x，则100x-x=73，解方程即可.
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【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第四章实数1无理数
一、知识点非有理数的存在通基础
1．满足下列条件的数字a，不是有理数的是（ ）
A．2a+7=8 B．a2=0.16 C．a2=7 D．a2=9
【答案】C
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、解得a=，是有理数；
B、解得a=±0.4，是有理数；
C、解得a=±，是无理数；
D、解得a=±3，是有理数；
故答案为：C.
【分析】分别计算出各个选项中的a值，再根据无理数是无限不循环小数即可判断.
2．已知Rt△ABC的两直角边AC，BC的长分别是2 cm，3 cm．那么它的斜边AB的长满足什么条件？你能用一个整数或分数表示出来吗？
【答案】解：由勾股定理，得AB2=AC2+ BC2=22+32=13．因为13既不是一个整数的平方，也不是一个分数的平方，所以AB的长不能用一个整数或分数表示出来．
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【分析】由勾股定理可得 AB2 =13，所以AB=，是一个无理数，故不能用一个整数和分数表示出来.
二、知识点确定非有理数的近似值通基础
3．如果a2=19，那么a的值介于下列哪两数之间？（ ）
A．4.2，4.3 B．4.3，4.4 C．4.4，4.5 D．4.5，4.6
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】分别计算出4.22，4.32，4.42，看哪两个更接近于所给出无理数的被开方数，即用“夹逼法”估计.
三、知识点无理数通基础
4．下列四个数是无理数的是（ ）
A．0.17 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、0.17=是分数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、0是整数，属于有理数；
D、是无限不循环小数，属于无理数；
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，即可判断.
5．下列数是无理数的是（ ）
A．3.14
B．
C．1
D．0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)
【答案】D
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、3.14=是分数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、1是整数，属于有理数；
D、0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)是无限不循环小数，属于无理数；
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，即可判断.
四、通能力
6．下列各数： ，0.1234567891011…(省略的为1)，0，2π．其中是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：∵为无限不循环小数，故为无理数；
而是分数，0.1234567891011...(省略的为1)是循环小数，0为整数，均为有理数；
故答案为：A.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，即可判断.
7．两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是
【答案】π， (答案不唯一 )
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：根据题意，和均为无理数，而为有理数；
故答案为：、（答案不唯一）
【分析】无理数即无限不循环小数，常见的无理数有：
①开方开不尽的数：、、、2、2等。
②与π有关的式子。
③无限不循环小数：0.101001000100001……、2.71828...、0.107856387510……等。
8．七(2)班两位同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为7米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2米远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球．问：梯子顶端到地面的距离是有理数还是无理数？这位同学能拿到球吗？
【答案】解：设梯子顶端到地面的距离为x米，
由题意，得x2=72-22=45．
因为45既不是整数的平方，也不是分数的平方，所以x是无理数，所以梯子顶端到地面的距离是无理数．因为62=36，45>62．所以这位同学能拿到球．
【知识点】勾股定理的应用；无理数的认识
【解析】【分析】根据勾股定理计算出梯子顶端到地面的距离的平方为45，故梯子顶端到地面的距离为无理数，而45>62，故可以拿到球.
五、通素养
9．试验与探究：我们知道分数 写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即 ．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在以 为例进行讨论：设 =x，由 =0.7777…可知，10x-x=7.77…-0.777…=7，即10x-7x=7，解方程，得x= ．于是得 =
请仿照_上述例题完成下列各题：
（1）请你把无限循环小数 写成分数，即 =
（2）你能化无限循环小数 为分数吗？请仿照上述例子求解．
【答案】（1）
（2）解：设 =x，由 =0.737 373 73……可知，100x- x=73.737 3……- 0.737 3……=73，所以100x-x=73，解得x= ，所以 =
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1)设=x，由 =0.5555…可知，10x-x=5.55… -0.555…=5，即10x-x=5，解得x= ．所以 =
【分析】（1）根据题意，设=x，则10x-x=5，解方程即可；
（2）设 =x，则100x-x=73，解方程即可.
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