【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第三章勾股定理1探索勾股定理第1课时认识勾股定理

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【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第三章勾股定理1探索勾股定理第1课时认识勾股定理
一、知识点勾股定理的认识通基础
1．在△ABC中，若∠ABC=90°，则下列结论正确的是（　　）
A．BC=AB+AC B．BC2=AB2+AC2 C．AB2=AC2+BC2 D．AC2=AB2+BC2
2．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．13
3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线。已知AB=5，AD=3，则BC的BC长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
4．如图所示，图①是由边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中正方形顶点A，B在围成的正方体中的距离的平方是多少？
二、知识点勾股定理与图形的面积通基础
5．如图所示，阴影部分是一个长方形，它的面积是（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
6．如图所示，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的面积分别为3和5，则正方形C的面积为（　　）
A．4 B．4.5 C．2 D．8
7．如图所示，在Rt△ABC中，AB=17，BC=15，阴影部分是以AC为边的一个正方形，则此正方形的面积为　 　。
8．如图所示，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积是　 　 。
三、通能力
9．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径作弧交边AB于点D。若AC=3，BC=4，则BD的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC=6，BC=8，则CD等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4.8
11．如图所示，正方形面积是（　　）
A．16 B．8 C．4 D．2
12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)。若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
13．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A．1 B．2021 C．2020 D．2019
14．如图所示，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则BC的长是　 　。
15．如图所示，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和为　 　。
16．如图所示，在直线l上依次摆放着七个正．方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是多少？
17．如图所示，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面还多1米，同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刚好接触地面，求旗杆的高度。(旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计)
四、通素养
18．（2020八下·武城期末）小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度。小锤经测量得知AB=AD=5m，∠A=60°，DC=13m，∠ABC=150°，豆花说根据小锤所得的数据可以求出CB的长度。你同意豆花的说法吗？若同意，请求出CB的长度；若不同意，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】解：A、∵BCBCD、∵∠ABC=90°，∴ AC2=AB2+BC2 ，∴BC错误，D正确；
故答案为：D.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断A；根据勾股定理判断BCD.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：斜边的长=，
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可解答.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴BD2==4，
∴BC=2BD=8，
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，然后根据勾股定理求出BD，根据等腰三角形的三线合一性质则可得出BC的长.
4．【答案】解：如图所示，连接AB，
根据题意，得∠ACB= 90°，
由勾股定理，得AB2= BC2+AC2=12+12=2．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【分析】 连接AB， 由展开图到正方体可知∠ACB=90°，利用勾股定理求AB长即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：长方形的长=，
∴长方形的面积=5×1=5cm2，
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理求出长方形的长，再根据长方形面积公式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，
∴a2=3，b2=5，b2=a2+c2，
∴c2=b2-a2=2，
∴正方形C的面积为2，
故答案为：C.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，根据正方形的面积公式可知两条直角边长的平方，然后根据勾股定理求出斜边c的平方，即可解答.
7．【答案】64
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB是直角，
∴，
∴正方形的面积=AC2=64，
故答案为：64.
【分析】首先利用勾股定理求出AC长的平方，则可根据正方形的面积公式即可解答.
8．【答案】18π cm2
【知识点】勾股定理；圆的面积
【解析】【解答】解：由题意知：半圆直径的平方=，
∴半圆的面积=，
故答案为： 18π cm2 .
【分析】利用勾股定理求出半圆直径的平方，结合圆的面积公式即可解答.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB==，
∵AD=AC=3，
∴BD=AB-AD=5-3=2，
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后由同圆的半径相等求出AD，最后根据线段间的和差关系求BD即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB=，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=AB×CD=AC×BC，
∴CD==4.8，
故答案为：D.
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据等积法列式CD长即可.
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，
∵等腰直角三角形，
∴a2+a2=42，
∴2a2=16，
∴a2=8，
∴正方形的面积为8，
故答案为：B.
【分析】设正方形的边长为a，根据勾股定理，结合等腰直角三角形的性质求出a2，则可求出正方形的面积.
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】过A作AE⊥BC，交BC于点E，
∵AB=AC，
∴EC=BE= BC=4，
∴AE=，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，
∴3≤AD<5，
∵线段AD长为正整数，
∴AD=3或4，
∴AD可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个．
故答案为：C.
【分析】过A作AE⊥BC，交BC于点E，根据等腰三角形的性质得出BE的长度，然后根据勾股定理求出AE， 由于D是线段BC上的动点(不含端点B，C) ，结合线段AD长为正整数，得出AD=3或4，根据对称的性质得出点D的个数共有3个．
13．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图所示，
正方形A的面积为1，由勾股定理，得正方形B的面积十正方形C的面积=1，所以“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理，可得“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，所以“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4……所以“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021．
【分析】由正方形面积公式，结合运用勾股定理得出：正方形B的面积十正方形C的面积=1，则知“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理得出“生长”了2次后，正方形面积和为3，由此得出规律，“生长”一次正方形面积和增加1，从而求出“生长”了2020次后所有的正方形的面积和.
14．【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥CD，CD=4，AD=3，
∴AC2=AD2 +CD2=32+42=52．
∵∠ACB=90°，AB=13，
∴BC2=AB2-AC2=132-52=122，
∴BC= 12．
故答案为：12.
【分析】在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC，然后在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC即可.
15．【答案】50
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设四个小正方形的边长分别为：a，b，c和d，
∵所有的三角形都是直角三角形，
∴a2+c2=25，b2+d2=25，
∴SA+SB+SC+SD=a2+b2+c2+d2=25+25=50，
故答案为：50.
【分析】由于所有的三角形都是直角三角形，可知正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，结合运用勾股定理即可解答．
16．【答案】解：如图所示，
因为相邻的两个直角三角形全等，即△ACB≌△BDE，所以BC= DE，AC= BD．
所以根据勾股定理的几何意义，可知S1+S2=1.0．
同理，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，
所以S1+S2+S3+S4=2.44．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】由三角形全等的性质得出BC= DE，AC= BD，根据正方形的面积公式，结合运用勾股定理得出S1+S2=1.0，同理S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，然后求这四个正方形的面积之和即可解答.
17．【答案】解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为(x+1)米．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得x2+52=(x+1)2，
解得x=12．
所以旗杆的高度为12米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理构建方程求解即可.
18．【答案】解：同意豆花的说法．
理由：连接BD
∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝5m，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝90°，
∵DC＝13m，BD＝5m，
∴CB＝ ＝12（m）．
答：CB的长度为12m
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据等边三角形和直角三角形的性质，可计算得出CB的长度。
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【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第三章勾股定理1探索勾股定理第1课时认识勾股定理
一、知识点勾股定理的认识通基础
1．在△ABC中，若∠ABC=90°，则下列结论正确的是（　　）
A．BC=AB+AC B．BC2=AB2+AC2 C．AB2=AC2+BC2 D．AC2=AB2+BC2
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】解：A、∵BCBCD、∵∠ABC=90°，∴ AC2=AB2+BC2 ，∴BC错误，D正确；
故答案为：D.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断A；根据勾股定理判断BCD.
2．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．13
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：斜边的长=，
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可解答.
3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线。已知AB=5，AD=3，则BC的BC长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴BD2==4，
∴BC=2BD=8，
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，然后根据勾股定理求出BD，根据等腰三角形的三线合一性质则可得出BC的长.
4．如图所示，图①是由边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中正方形顶点A，B在围成的正方体中的距离的平方是多少？
【答案】解：如图所示，连接AB，
根据题意，得∠ACB= 90°，
由勾股定理，得AB2= BC2+AC2=12+12=2．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【分析】 连接AB， 由展开图到正方体可知∠ACB=90°，利用勾股定理求AB长即可.
二、知识点勾股定理与图形的面积通基础
5．如图所示，阴影部分是一个长方形，它的面积是（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：长方形的长=，
∴长方形的面积=5×1=5cm2，
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理求出长方形的长，再根据长方形面积公式计算即可.
6．如图所示，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的面积分别为3和5，则正方形C的面积为（　　）
A．4 B．4.5 C．2 D．8
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，
∴a2=3，b2=5，b2=a2+c2，
∴c2=b2-a2=2，
∴正方形C的面积为2，
故答案为：C.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，根据正方形的面积公式可知两条直角边长的平方，然后根据勾股定理求出斜边c的平方，即可解答.
7．如图所示，在Rt△ABC中，AB=17，BC=15，阴影部分是以AC为边的一个正方形，则此正方形的面积为　 　。
【答案】64
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB是直角，
∴，
∴正方形的面积=AC2=64，
故答案为：64.
【分析】首先利用勾股定理求出AC长的平方，则可根据正方形的面积公式即可解答.
8．如图所示，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积是　 　 。
【答案】18π cm2
【知识点】勾股定理；圆的面积
【解析】【解答】解：由题意知：半圆直径的平方=，
∴半圆的面积=，
故答案为： 18π cm2 .
【分析】利用勾股定理求出半圆直径的平方，结合圆的面积公式即可解答.
三、通能力
9．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径作弧交边AB于点D。若AC=3，BC=4，则BD的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB==，
∵AD=AC=3，
∴BD=AB-AD=5-3=2，
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后由同圆的半径相等求出AD，最后根据线段间的和差关系求BD即可.
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC=6，BC=8，则CD等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4.8
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB=，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=AB×CD=AC×BC，
∴CD==4.8，
故答案为：D.
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据等积法列式CD长即可.
11．如图所示，正方形面积是（　　）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，
∵等腰直角三角形，
∴a2+a2=42，
∴2a2=16，
∴a2=8，
∴正方形的面积为8，
故答案为：B.
【分析】设正方形的边长为a，根据勾股定理，结合等腰直角三角形的性质求出a2，则可求出正方形的面积.
12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)。若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】过A作AE⊥BC，交BC于点E，
∵AB=AC，
∴EC=BE= BC=4，
∴AE=，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，
∴3≤AD<5，
∵线段AD长为正整数，
∴AD=3或4，
∴AD可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个．
故答案为：C.
【分析】过A作AE⊥BC，交BC于点E，根据等腰三角形的性质得出BE的长度，然后根据勾股定理求出AE， 由于D是线段BC上的动点(不含端点B，C) ，结合线段AD长为正整数，得出AD=3或4，根据对称的性质得出点D的个数共有3个．
13．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A．1 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图所示，
正方形A的面积为1，由勾股定理，得正方形B的面积十正方形C的面积=1，所以“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理，可得“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，所以“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4……所以“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021．
【分析】由正方形面积公式，结合运用勾股定理得出：正方形B的面积十正方形C的面积=1，则知“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理得出“生长”了2次后，正方形面积和为3，由此得出规律，“生长”一次正方形面积和增加1，从而求出“生长”了2020次后所有的正方形的面积和.
14．如图所示，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则BC的长是　 　。
【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥CD，CD=4，AD=3，
∴AC2=AD2 +CD2=32+42=52．
∵∠ACB=90°，AB=13，
∴BC2=AB2-AC2=132-52=122，
∴BC= 12．
故答案为：12.
【分析】在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC，然后在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC即可.
15．如图所示，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和为　 　。
【答案】50
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设四个小正方形的边长分别为：a，b，c和d，
∵所有的三角形都是直角三角形，
∴a2+c2=25，b2+d2=25，
∴SA+SB+SC+SD=a2+b2+c2+d2=25+25=50，
故答案为：50.
【分析】由于所有的三角形都是直角三角形，可知正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，结合运用勾股定理即可解答．
16．如图所示，在直线l上依次摆放着七个正．方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是多少？
【答案】解：如图所示，
因为相邻的两个直角三角形全等，即△ACB≌△BDE，所以BC= DE，AC= BD．
所以根据勾股定理的几何意义，可知S1+S2=1.0．
同理，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，
所以S1+S2+S3+S4=2.44．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】由三角形全等的性质得出BC= DE，AC= BD，根据正方形的面积公式，结合运用勾股定理得出S1+S2=1.0，同理S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，然后求这四个正方形的面积之和即可解答.
17．如图所示，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面还多1米，同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刚好接触地面，求旗杆的高度。(旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计)
【答案】解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为(x+1)米．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得x2+52=(x+1)2，
解得x=12．
所以旗杆的高度为12米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理构建方程求解即可.
四、通素养
18．（2020八下·武城期末）小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度。小锤经测量得知AB=AD=5m，∠A=60°，DC=13m，∠ABC=150°，豆花说根据小锤所得的数据可以求出CB的长度。你同意豆花的说法吗？若同意，请求出CB的长度；若不同意，请说明理由。
【答案】解：同意豆花的说法．
理由：连接BD
∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝5m，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝90°，
∵DC＝13m，BD＝5m，
∴CB＝ ＝12（m）．
答：CB的长度为12m
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据等边三角形和直角三角形的性质，可计算得出CB的长度。
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