22.1 二次函数的图象和性质
一、单选题
1．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·福建莆田·九年级统考期末）下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）已知抛物线，下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
4．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）抛物线y＝（x－1）2＋5顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（-1，-5） C．（1，-5） D．（-1，5）
5．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）若点A（1，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y = a (x+1)2 + c（a ≠ 0）上，且m的值不可能是（ ）
A．5 B．3 C．- 3 D．- 5
6．（2022秋·福建宁德·九年级统考期末）二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）若抛物线平移后的顶点坐标为，则在平移后的抛物线上的点是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）已知点，，都在二次函数的图象上，若，，，则三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·福建宁德·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的位置如图所示，若抛物线的图象经过A，B，C三点，则下列关于抛物线性质的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．与y轴交于负半轴 C．顶点在第二象限 D．对称轴在y轴右侧
10．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）二次函数的图象过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
12．（2022秋·福建莆田·九年级统考期末）二次函数图象经过点，，，其中．以下选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）已知抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）中，m＜n；方程（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0有两根x1、x2，其中x1＜x2，若（x1﹣m）（x2﹣n）＞0，则一定有（ ）
A．mn＞0 B．mn＜0 C．mn＝0 D．mn≥0
14．（2022秋·福建厦门·九年级统考期末）某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h = 20 t - 5 t2，其中t的取值范围是（ ）
A．t≥0 B．0≤t≤2 C．2≤t≤4 D．0≤t≤4
二、填空题
15．（2022秋·福建厦门·九年级统考期末）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是 ．
16．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标是 ．
17．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于，两点，与直线交于，两点，已知点在轴上，点D在x轴下方且横坐标小于3．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
18．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线表达式是 ．
19．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式是 .
20．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）点，在抛物线上，则 （填“＞”、“＜”或“=”）．
21．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）直线与y轴交于点A，直线绕点A逆时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ．
三、解答题
22．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴从左到右依次交于A，两点，与轴的交点为，是抛物线对称轴右侧图象上的一点，且在轴的上方．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若直线与抛物线对称轴交于点，当取得最大值时，求点的坐标；
(3)若直线与抛物线对称轴交于点，连接，，，记，的面积分别为，，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
23．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）已知二次函数（、为常数）的图象经过点、．
(1)求、的值；
(2)当时，若的最大值与最小值之和为1，求的值．
24．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标．
25．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+px+q的图象过点（－2，4），（1，－2）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当－1≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差；
(3)若一次函数y=（2－m）x+2－m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别为a和b，且a<326．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；
27．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）已知点P（0，﹣4）为平面直角坐标系内一点，直线L绕原点O旋转，交经过点（0，﹣2）的拋物线y＝x2+c于M、N两点．
(1)请求出该抛物线的解析式；
(2)设∠MPO＝α°，试用含α的代数式表示∠MPN的度数；
(3)在直线L绕原点O旋转的过程中，请你研究一下（PM+MO）（PN﹣NO）是否定值？若是，请求出这个定值，若不是请说明理由．
28．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）已知抛物线经过三点，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果是等边三角形，求的面积；
(3)若直线与抛物线交于D，E两点，直线与抛物线交于F，G两点，的中点为M，的中点为N，且．求点P到直线距离的最大值．
29．（2022秋·福建宁德·九年级统考期末）已知抛物线G1：y＝﹣x2+2mx+m和G2：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于点A，过点A的直线l：y＝kx+b与抛物线G1交于另一点B，与抛物线G2交于另一点C，抛物线G1的顶点为点M，抛物线G2的顶点为点N．
(1)直接写出顶点M的坐标；（用含m的式子表示）
(2)当m＝﹣3，n＝2，且直线lx轴时，求证：MB＝NA；
(3)当k≠0时，若AB＝AC，求直线l的表达式．（用含m，n的式子表示）
30．（2022秋·福建厦门·九年级统考期末）我们将平面内点与多边形的位置关系分为三类：①点在多边形的内部；②点在多边形的边上；③点在多边形的外部．
在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）与y轴交于点A，过顶点B作BC⊥x轴于点C，P是BC的中点，连接OP．将线段OP平移后得到线段．
（1）若平移的方向为向右，当点P’在该抛物线上时，判断点C是否在四边形的边上，并说明理由；
（2）若平移的方向为向下，平移的距离是（a+1）个单位长度，其中a<．记抛物线上点A，B之间的部分（不含端点）为图象T，M是图象T上任意一点，判断点M与四边形的位置关系，并说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据函数图象开口向上，距离对称轴越远函数值越大即可比较．
【详解】解：∵函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴距离对称轴越远函数值越大．
∵，，到y轴的距离依次为：2，0，1，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：当二次函数的图象开口向上时，距离对称轴越远函数值越大；开口向下时，距离对称轴越远函数值越小．
2．A
【分析】分别计算自变量为1和2、3、4所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：当x=1时，y=-x2=-1，
当x=2时，y=-x2=-4，
当x=3时，y=-x2=-9，
当x=4时，y=-x2=-16，
所以点（1，-1）在二次函数y=-x2的图象上．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．A
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向上，因此A选项正确，符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项不正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项不正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
4．A
【分析】根据顶点式可直接得出顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（1，5），
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的顶点式是解题的关键．
5．C
【分析】根据点A（1，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线（a ≠ 0）上，求出函数值，，利用值之差得出，根据a ≠ 0可得得出，根据得出即可．
【详解】解：∵点A（1，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线（a ≠ 0）上，
∴，，，
∴，
∵a ≠ 0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴m可以取5，3，-5，
∴m的值不可能是-3．
故选择C．
【点睛】本题考查抛物线上点的特征，函数值，自变量范围，掌握抛物线上点的特征，函数值，自变量范围是解题关键．
6．A
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】解：二次函数y=（x-1）2-2的顶点坐标是（1，-2）．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．
7．A
【分析】根据抛物线平移的性质可得平移后的抛物线的解析式为，然后再逐项判断即可求解．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
当时，，
∴点在平移后的抛物线上，故A选项符合题意；
当时，，
∴点不在平移后的抛物线上，故B选项不符合题意；
当时，，
∴点不在平移后的抛物线上，故C选项不符合题意；
当时，，
∴点不在平移后的抛物线上，故D选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数平移的性质得到平移后的抛物线的解析式是解题的关键．
8．B
【分析】首先根据题意求出二次函数的对称轴，然后根据，，得出，最后根据函数图象开口向下，离对称轴越近函数值越大求解即可．
【详解】∵
∴对称轴为
∵，，，
∴
∵
∴函数图象开口向下
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
9．D
【分析】根据题意，画出草图，根据二次函数图象的开口方向，对称轴以及顶点坐标与坐标轴的交点，逐项分析即可求解．
【详解】根据题意，抛物线的图象经过A，B，C三点，则
开口向下，与轴交于正半轴，顶点在第一象限，对称轴在轴的右侧，故A，B，C选项错误，D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
10．B
【分析】将，，代入，求出a，b，c的值，从而得出该抛物线开口向下，对称轴为，再根据离对称轴水平距离的大小即可得到答案．
【详解】将，，代入，
得：，解得：，
∴该抛物线开口向下，对称轴为．
∵离对称轴最远，离对称轴最近，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
11．A
【分析】根据二次函数的顶点式求出二次函数的顶点坐标即可．
【详解】∵二次函数的解析式为，知二次函数开口向下，
∴当时，，即二次函数的顶点坐标为（-1，2），
故选A．
【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，本题直接给出了顶点式，直接求出即可；一般情况下，给出的是二次函数的一般式，需要先用配方法化为顶点式．
12．A
【分析】将（-2，4），（0，-2）代入解析式可得a与b的等量关系，将（2，m）代入解析式可得m与a的等量，由b≤0，m≥-2可求a的取值范围，进而求解．
【详解】解：将（-2，4），（0，-2）代入得
，
解得，
∴．
把（2，m）代入得．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，故选项B正确；
∵，
∴，故选项A错误；
∵，
∴，故选项C正确；
∵，
∴，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特点，掌握二次函数与方程的关系．
13．B
【分析】由已知可得y=（x-m）（x-n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），y=（x-m）（x-n）与y=x的两个交点为（x1，x1），（x2，x2）；分三种情况分析，当函数y=（x-m）（x-n）与x轴交点在x轴正半轴时；当函数y=（x-m）（x-n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时；当函数y=（x-m）（x-n）与x轴交点在x轴负半轴时．
【详解】解：y=（x-m）（x-n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），
由（x-m）（x-n）-x=0，则y=（x-m）（x-n）与y=x的两个交点为（x1，x1），（x2，x2），
如图1：当函数y=（x-m）（x-n）与x轴交点在x轴正半轴时，（m，0），（n，0）在（a，a），（b，b）点的下方，
∴x1＜m＜n＜x2，
∴（x1-m）（x2-n）＜0，不符合；
如图2：当函数y=（x-m）（x-n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时，
此时m＜x1＜n＜x2，
∴（x1-m）（x2-n）＞0，
∴mn＜0；
如图3：当函数y=（x-m）（x-n）与x轴交点在x轴负半轴时，
此时m＜x1＜x2＜n，
∴（x1-m）（x2-n）＜0，不符合题意；
综上所述：当（x1-m）（x2-n）＞0时，mn＜0，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质；熟练掌握一次函数与二次函数的图象及性质，能将方程转化为函数图象的位置关系是解题的关键．
14．B
【分析】把该函数解析式化为顶点式，进而问题可求解．
【详解】解：由可知该函数的顶点坐标为，对称轴为直线t=2，
∴由题意可知t的取值范围是0≤t≤2；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2，3）
【分析】抛物线顶点解析式，其顶点是，据此求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数顶点式的顶点坐标，掌握顶点式的基本性质是解题关键．
16．
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可
【详解】解：抛物线的顶点坐标是
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
17．①③④
【分析】根据时，一次函数值比二次函数值大可判断①；根据当时，二次函数值小于0可判断②；根据，可判断③；根据当时，二次函数有最大值可判断④．
【详解】∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴时，一次函数值比二次函数值大，
即，
，
∴，
∴，
解得，所以①正确．
∵当时，二次函数值小于0，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，二次函数值小于0，
∴，故②不正确；
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，故③正确；
∵当时，二次函数有最大值，
∴，
∴，
即，故④正确；
∴①③④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键．
18．
【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式．
【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．理解和掌握函数图像平移的规律是解题的关键．
19．
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为：；
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的平移，正确记忆图形平移规律是解题关键．
20．＜
【分析】根据题意把x的值代入函数解析式进行计算，进行比较大小即可得到答案．
【详解】解：代入，，可得：，，
因为，所以.
故答案为：＜.
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的点的坐标都满足函数函数关系式是解题的关键．
21．1或
【分析】根据题意可知，都经过点(0,2)，分别讨论直线与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线y=kx+2上的点坐标，进而求解．
【详解】解：由题意，点A的坐标为，由图可知，过点A的直线中，显然平行于抛物线对称轴的y轴与抛物线只有一个公共点．
设直线也与抛物线有唯一公共点，将直线方程代入抛物线方程，得，
∵，
∴
即直线和直线y轴都与抛物线有唯一公共点，依题意将直线和直线y轴绕点顺时针旋转即可得到直线．
y轴绕点顺时针旋转即得直线，故此时k=1；
下面求直线绕点顺时针旋转得：
如图，在直线第一象限图象上任选一个点，过点B分别作y轴和直线的垂线，与y轴和直线分别交于点F，C，过C作于点D．
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形
，
，
∴，，
点的横坐标为，纵坐标为，
∴点C的坐标为，代入直线，得
，
解得：，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分类讨论求解．
22．(1)
(2)
(3)存在，最大值为3
【分析】（1）由顶点坐标可设该函数顶点式为，再将代入，求出的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）设直线与抛物线对称轴交于点，连接．根据抛物线解析式可求出，由抛物线的对称性可知，即．再根据，即得出的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线，最后再次根据抛物线的对称性可知点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P，即可解答；
（3）利用待定系数法可求出直线的解析式为，从而可求出．设直线与抛物线对称轴交于点Q，设，利用待定系数法又可求出直线解析式为，从而得出，进而可求出，即可由三角形面积公式得出．再求出，进而得出，最后计算出，结合二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵该抛物线顶点为，
∴还可设该抛物线解析式为．
∵该抛物线与轴的交点为，
∴，
解得：，
∴该抛物线解析式为：；
（2）如图，设直线与抛物线对称轴交于点，连接．
对于，令，即，
解得：，
∴．
∵抛物线关于其对称轴对称，点D在抛物线对称轴上，
∴，
∴．
∵，
∴，即的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线，
∴点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P．
∵抛物线对称轴为，
∴；
（3）存在，最大值为3．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
如图，设直线与抛物线对称轴交于点Q，
设，直线解析式为：，
则，解得：，
∴直线解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键．
23．(1)
(2)1或
【分析】（1）把点、代入二次函数解析式，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：二次函数（、为常数）的图象经过点、，
解得：；
（2）解：由（1）得，．
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
①当时，
当时，取最大值，最大值是3，当时，取最小值，最小值是．
，
解得，（舍去）．
②当时，
当时，取最大值，的最大值是3，
当时，取最小值，的最小值是．
，
不符合题意．
③当时，
当时，取最大值，的最大值是，
当时，取最小值，的最小值是．
，
解得，（舍去）．
综上所述，的值为1或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
24．(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）
(2)，P
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，设，则，，然后根据二次函数的性质可求解
【详解】（1）解：将，两点代入，
，
解得，
，
，
；
（2）解：设的直线解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，如图所示：
设，则，
，
，
当时，的面积最大值为，
此时
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点，利用待定系数法即可得；
（2）将二次函数的解析式化成顶点式为，再利用二次函数的增减性求解即可得；
（3）先联立两个函数的解析式、结合求出的值，再根据建立不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则该二次函数的解析式为．
（2）解：将二次函数化成顶点式为，
则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
所以当时，取得最小值，最小值为，
当时，，
当时，，
所以在内，的最大值为4，
所以的最大值与最小值的差为．
（3）解：联立得：，
解得，
两函数图象的交点的横坐标分别为和，且，
，
，
解得．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
26．(1)x=1
(2)y=－x2+2x－1
【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式即可得到对称轴；
（2）根据顶点在x轴上，可得，求出a的值即可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）由（1）可得，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得，=－1，
∵a<0，
∴a=－1，
∴抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)是定值16
【分析】（1）将点代入，即可求解析式；
（2）设直线的解析式为，设直线与抛物线的两个交点，，，，联立方程组，整理得，则，过点作轴交于点，过点作轴于点，求出，则有，即可得；
（3）由（2）可得，，，，，则，则可求是定值16．
【详解】（1）解：将点代入，
，
；
（2）直线绕原点旋转，
设直线的解析式为，
设直线与抛物线的两个交点，，，，
联立方程组，
整理得，
，
如图1，过点作轴交于点，过点作轴于点，
，
，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）是定值，理由如下：
由（2）可得，，
，
，
，
，
，
同理：，，
，
是定值16．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求直线与二次函数的交点是解题的关键．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A和点B的坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，由此可得出b的值，把点C坐标代入即可求出c；
（2）由A，B的坐标可知AB∥x轴，过点P作PQ⊥AB于点Q，根据等边三角形的性质可得出m和n等量关系，由此求出n的值，进而可求出△PAB的面积；
（3）分别联立直线l1，直线l2和抛物线的解析式，根据根与系数的关系可分别表示出点M和点N的坐标，由此求出直线MN的解析，得出直线MN过定点（1，），根据三角形三边关系可得点P到直线MN距离的最大值．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（m，n），B（2﹣m，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∵抛抛物线y＝x2﹣2x+c经过C（2，﹣1），
∴4﹣4+c＝﹣1，
∴c＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1，对称轴为直线x＝1，
令x＝1，则y＝1﹣2﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2），
∵A（m，n），B（2﹣m，n），
∴ABx轴，
不妨设点A在点B左侧，如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，
则AB＝2﹣2m，PQ＝n+2，且n＝m2﹣2m﹣1，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABQ＝60°，BQ＝AB＝1﹣m，
在Rt△BPQ中，∠ABQ＝60°，
∴PQ＝BQ，即m2﹣2m﹣1+2＝（1﹣m），
解得m＝1（舍）或m＝1﹣．
∴AB＝2﹣2m＝2，BQ＝，
∴PQ＝BQ＝3，
∴S△PAB＝ AB PQ＝×2×3＝3．
（3）联立直线l1：y＝k1x﹣k1和抛物线y＝x2﹣2x﹣1，
∴ ，
整理得，y＝x2﹣（2+k1）x﹣1+k1，
∴xD+xE＝2+k1，
同理可得，xF+xG＝2+k2，
∵点M是DE的中点，点N是FG的中点，
∴xM＝ ，xN＝，
∴yM＝，yN＝，
∴M（ ，），N（，），
∴直线MN的解析式为：y＝（k1+k2）（x﹣1﹣）+，
∵k1k2＝﹣3，
∴直线MN的解析式为：y＝（k1﹣）（x﹣1﹣）+＝（k1﹣）（x﹣1）+，
∴当x＝1时，y＝，即直线MN过定点K（1，），
∴点P到直线MN距离的最大值为PK的长，即为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的对称性，等边三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，（3）关键得出直线MN过定点K．
29．(1)点M的坐标为（m，m2+m）；
(2)见解析；
(3)y＝（m+n+1）x
【分析】（1）先将二次函数的解析式化为顶点式，然后得到点M的坐标；
（2）先将m＝﹣3，n＝2代入函数解析式得到抛物线G1和G2的解析式，然后得到点M和点N的坐标，再求得点A的坐标，进而得到直线l的解析式，然后求得点B的坐标，最后求MB和NA的长度，即可得证；
（3）先求得点A的坐标，然后代入直线l的解析式得到k和b的关系，然后分别求得点B和点C的横坐标，再结合AB＝AC得到A、B、C三点间的横坐标之间的关系，即可得到m与k、m与b之间的关系，最后得到直线l的表达式．
【详解】（1）∵y＝﹣x2+2mx+m＝﹣（x﹣m）2+m2+m，
∴点M的坐标为（m，m2+m）．
（2）∵m＝﹣3，n＝2，
∴G1：y＝﹣x2﹣6x﹣3，
G2：y＝﹣x2+4x+2，
∴M（﹣3，6），N（2，6），
由，得，
∴点A的坐标为（，），
∵直线l∥x轴，
∴l：y，
令y，则﹣x2﹣6x﹣3，
解得：x或x，
∴B（，），
∴BM，AN，
∴BM＝AN．
（3）由，得，
∴点A的坐标为（，），
∵点A在直线y＝kx+b上，
∴k+b，
∴bk，
∴直线l的表达式为y＝kxk，
由，得，
解得：x或x＝﹣k+2m，
∴点B的横坐标为﹣k+2m，
同理可得，点C的横坐标为﹣k+2n，
∵AB＝AC，
∴点A是BC的中点，
∴﹣k+2m（﹣k+2n）＝2×（），
∴k＝m+n+1，
∴b（m+n+1），
∴直线l的表达式为y＝（m+n+1）x．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的交点，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．
30．（1）点C在四边形边上，理由见详解；（2）点M在四边形的内部，理由见详解．
【分析】（1）由题意易得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标，点，则有点，然后设平移后点，把点的坐标代入解析式求解m，进而问题可求解；
（2）由（1）及题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：（1）点C在四边形边上，理由如下：
令x=0，则有y= -3a，即，
由抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）可知：，
∴顶点，对称轴为直线，
∵BC⊥x轴，
∴，
∵P是BC的中点，
∴，
当线段OP向右平移后得到线段的函数图象如图所示：
设平移后点，
∵点在该抛物线上，
∴，解得：（负根舍去），
∴，
∴点C在四边形边上；
（2）当线段OP向下平移（a+1）个单位长度后得到线段的函数图象如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵顶点坐标，点，
∴，
∴点都在点A、B的下方，
∵抛物线上点A，B之间的部分（不含端点）为图象T，M是图象T上任意一点，
∴点M在四边形的内部．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．22.2 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，有下面五个结论：
①；
②；
③当 时，一定有随的增大而增大；
④若点的坐标为，则点的坐标为；
⑤若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为；
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．①④⑤ D．①②④
2．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）某数学兴趣小组研究二次函数的图象时，得出如下四个结论：
甲：图象与x轴的一个交点为；
乙：图象与x轴的一个交点为；
丙：图象的对称轴为过点，且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧；
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A．（，） B．（，0） C．（，） D．（，）
5．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（ ）
A．-2 B．-1 C．4 D．7
6．（2022秋·福建福州·九年级期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
7．（2022秋·福建莆田·九年级统考期末）已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和，且抛物线还经过点（-4，y1）和（4，y2），则下列关于、的大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·福建泉州·九年级期末）抛物线y＝﹣x2+4x﹣7与x轴交点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
9．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）若已知抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022秋·福建莆田·九年级期末）如图，二次函数的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①；②若点和是该抛物线上的两点，则；③不等式的解集为；④在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形．其中一定正确的是 （填序号即可）．
12．（2022秋·福建莆田·九年级期末）二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
13．（2022秋·福建宁德·九年级统考期末）若抛物线与轴没有公共点，则的取值范围是 ．
14．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是 ．
15．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴为，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为，则关于x的一元二次方程的解为 ．
三、解答题
16．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2-2ax+c（a>0）与x轴交于点（2，0）．
(1)求抛物线的对称轴及c的值；
(2)若该抛物线与直线y=x-2只有一个公共点．
①求抛物线的解析式；
②若点在该抛物线上，当，时，均满足 ，求m的取值范围．
17．（2022秋·福建莆田·九年级统考期末）已知二次函数的图象与直线相交于点和点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；结合图象直接写出时x的取值范围．
18．（2022秋·福建福州·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为Q．
(1)求点Q的坐标；（用含m的代数式表示）
(2)抛物线与x轴只有一个公共点，经过点的直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）；
①当直线过原点时，求线段的长；
②判断的形状，并说明理由．
19．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和点（2，﹣1）．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)平行于x轴的直线交这条抛物线于A、B两点，设它们的横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），且x1 x2＝2，求AB的长．
20．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．
21．（2022秋·福建福州·九年级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y轴交于点C．
(1)求证：b＝0；
(2)点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D．连接BP，过点A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．
①当a＝﹣1时，求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）
②求的值．
22．（2022秋·福建厦门·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋mx＋n的对称轴为直线x＝2，且经过点A(0，3)．
（1）求这个二次函数的解析式，并画出它的图象；
（2）将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移 单位时，所得到的新的函数图象与x轴的两个交点的距离为4．
23．（2022秋·福建泉州·九年级期末）在平面直角坐标系中，点A点B在x轴上且关于直线对称（点A在点B左边），点C在y轴正半轴上，，，若抛物线过A、B、C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过D(m，-2)作抛物线切线（不与y轴平行，且与抛物线有且仅有一个交点）DE：（，切点为E）和DF：（，F为切点）．
①求的值；
②平移直线DE，DF，使两直线都经过点T(2，0)，且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求点O到直线MN的距离d的最大值．
参考答案：
1．D
【分析】①根据对称轴的范围确定的范围；②根据顶点的纵坐标为，结合的取值范围，求出的取值范围，进行判断；③当对称轴在轴右侧时，，部分随的增大而减小；④根据之间的关系式，用含的式子表示两点坐标，进行判断即可；⑤根据抛物线过原点，得到，利用顶点纵坐标为，求出的值，进而求出顶点横坐标，进行判断即可．
【详解】解：①∵抛物线的顶点在线段上运动，轴，，，
∴，抛物线顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间，
∴，即：，
∴；故①正确；
②∵抛物线的顶点的纵坐标为，
∴，即：，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值：，当时，取得最小值：
∴；故②正确；
③∵抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间，
∴当对称轴在轴右边，时，部分随的增大而减小，故③错误；
④由②知：，
∴抛物线，
当时，，
解得：，
∵点在点的左侧，
∴，
∴当点C的坐标为，则，
∴ 即：；故④正确；
⑤当抛物线经过原点时，
∴，
∴，
∴，
∴若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标为或；故⑤错误；
综上：正确的是①②④；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数解析式中系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．属于中考常考题型．
2．B
【分析】根据抛物线的对称轴、抛物线与x轴的交点判断即可；
【详解】对于y= x2+ax +b，二次项系数为1 > 0
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点(1，0)，且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为(3， 0)时，
图象与x轴的一个交点为(-1，0)，图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点情况是解题的关键．
3．A
【分析】将x=0代入抛物线解析式，求出相应的y的值，即可得到抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标．
【详解】解：∵抛物线y=x2-1，
∴当x=0时，y=-1，
即抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是（0，-1），
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴的交点就是x=0时y的值．
4．D
【分析】把交点的横坐标代入解析式可得答案．
【详解】解：因为抛物线与 轴交点的横坐标为，所以，即交点坐标为（0，-7）
故选D．
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点坐标，熟练交点坐标特点是解题关键．
5．C
【分析】根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解
【详解】解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，
∴，二次函数开口向下
解得，对称轴为
当时，，
经过原点，
根据函数图象可知，当，，
根据对称性可得时，
二次函数图象经过点，
或
不可能是4
故选C
【点睛】本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
6．D
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称
设与交点为，则，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．
7．C
【分析】先求得抛物线对称轴为直线x=1，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c开口向上，且与x轴的两个交点分别是（-1，0）和（3，0），
∴对称轴是直线x==1，
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵点（-4，y1）到直线x=1的距离比点（4，y2）到直线x=1的距离要大，且在x轴上方，
∴y1＞y2＞0．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
8．D
【分析】先求Δ=b2-4ac，判断正负即可求解．
【详解】∵Δ=b2-4ac=42-4×（-1）×（-7）=-12＜0，
∴抛物线y=-x2+4x-7与x轴交点的个数是0，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握抛物线与x轴交点个数与Δ之间的关系．
9．C
【分析】由于抛物线沿x轴向左平移1个单位得到y＝a（x+1）2＋b（x+1）＋c，由于方程的解为x1＝-1，x2＝2得到对于方程a（x+1）2＋b（x+1）＋c＝0，则x+1＝-1或x+1＝2，解得x＝-2或x＝1，从而得到一元二方程的解．
【详解】解：关于x的一元二次方程变形为a（x+1）2＋b（x+1）＋c＝0，
因为抛物线经过点，
所以方程的解为x1＝-1，x2＝2，
对于方程a（x+1）2＋b（x+1）＋c＝0，则x+1＝-1或x+1＝2，解得x＝-2或x＝1，
所以一元二方程的解为x＝-2或x＝1．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．B
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线与x轴交点个数即可判断③；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断④．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，
∴a＜0，，
∴
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，
∴另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时，y＜0，
∴，故②错误；
∵与x轴有两个交点，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，1）
∴（m为任意实数），故④正确．
综上：正确的有2个，
故选B．
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键．
11．②③/③②
【分析】本题只需逐个判断；
①需要先判断，a，b，c的符号，然后确定是否大于0；
②可以先找到点P关于抛物线的对称轴对称的点，再利用二次函数增减性比较函数值；
③可以利用对称轴和点A坐标找到a，b，c之间的关系，从而简化不等式，再利用函数图像求出它的解集；
④假设存在这样的点B，取AC的中点D，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，设出点B利用这个关系式建立方程看是否有解，有解则存在这样的点B，无解则不存在．
【详解】解：①由图可知二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴，
∴．
又∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴左边，
∴．
又∵抛物线与y轴交点在原点上方，
∴，
∴，
∴①错误，不符合题意；
②因为对称轴是直线x＝﹣1，
∴关于直线x＝﹣1对称的对称点是．
又∵，
∴当x>﹣1时，y随着x的增大而减小．
又∵，
∴，
∴②正确，符合题意；
③∵二次函数的图象经过点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴a+b+c=0，，
∴，
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，解得，
或，无解，
∴的解集为，
∴③正确，符合题意；
④取AC的中点D，
由③可知，
∴二次函数解析式可化为，
∴点C坐标为．
又∵，点是AC的中点，
∴D，．
假设在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
则有，且，
∴
整理得：，其中a<0，
∴当，即或时,方程有解，
∴当时，不存在这样的点B，
当时，存在这样的点B．
∴④不一定存在这样的点B，不符合题意．
综上所述：一定正确的是：②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了二次函数a，b，c，的符号判定，二次函数的图像与性质，一元二次不等式的解集，直角三角形存在性问题，掌握转化思想是本题解题的关键．
12．或
【分析】观察图象，x轴上方的图象所对应的x轴上的部分即是的解集．
【详解】二次函数的图象在x轴上方的部分所对应的x轴上的部分为，点-3以左的部分和点1以右的部分，所以的解集为或．
故答案为：或．
【点睛】考查二涵数的图象和性质，其关键是领会x轴上方的图象其y值大于0，x轴下方的图象其y小于0．
13．/
【分析】由抛物线与轴没有公共点，可得再解不等式可得答案．
【详解】解：∵抛物线与轴没有公共点，
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，掌握“当时，抛物线与轴没有交点”是解本题的关键．
14．
【分析】利用根的判别式△<0列不等式求解．
【详解】解：∵抛物线y=x2 x+m 2与x轴没有交点，
∴△＝b2 4ac<0，
∴（－1）2 4×1×（m 2）<0，
解得：m>．
故答案为：m>．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．
15．
【分析】根据函数的对称轴和点P的坐标可以得出与x轴的另一交点坐标，从而得出结论．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ 2，0），
∴关于x的一元二次方程的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
16．(1)对称轴为直线；
(2)①；②或
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线得到抛物线的对称轴；再把点（2，0）代入得到c的值，即可求解；
（2）①根据，可得抛物线解析式为y=ax2-2ax，再令ax2-2ax =x-2，根据该抛物线与直线y=x-2只有一个公共点．可得，即可求解；
②根据 ，可得，且点不能关于对称轴对称，再结合图象，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；
∵抛物线y=ax2-2ax+ c（a>0）与x轴交于点（2，0）
∴，解得：；
（2）解：①∵，
∴抛物线解析式为y=ax2-2ax，
令ax2-2ax =x-2，即ax2-（2a+1）x +2=0
∵该抛物线与直线y=x-2只有一个公共点．
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
②∵ ，
∴，且点不能关于对称轴对称，
当时，如图，
解得：，
当时，如图，
解得：，
综上所述，m的取值范围或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解答．
17．(1)y＝x2－1
(2)或
【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用描点法画出函数图象，根据图象二次函数的图象在一次函数的图象上方，即可写出自变量的取值范围．
【详解】（1）∵直线y＝x+1过点A（2，m）和点B（n，0），
∴，，
∴，．
∴A（2，3）和点B（－1，0），
∵抛物线过点A和点B，
∴解得
∴二次函数的解析式为y＝x2－1．
（2）函数图象如图所示；
由函数图象可知，ax2+b＞x+1时x的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量的取值范围．
18．(1)抛物线的顶点Q坐标为
(2)①线段的长为；②是直角三角形．理由见解析
【分析】（1）将一般式化成顶点式，求出顶点坐标即可；
（2）①根据抛物线与轴只有一个交点，，求出函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线和抛物线解析式，求出A，B两点坐标，利用两点间距离公式求出线段的长即可；②分别求出的长，利用三边关系，确定三角形的形状即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点Q坐标为；
（2）∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，
解得（舍去），，
∴，
①∵直线过原点，
∴设直线解析式为，
将代入得：，
∴直线解析式为，
联立方程组，
解得或，
∴，
∴；
②是直角三角形．理由如下∶
∵，
∴，
，
，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
19．(1)y=x2-4x+3
(2)
【分析】（1）把（1，0）和点（2，-1）代入y=x2+bx+c，得到一个二元一次方程组，求出方程组的解，即可得到该二次函数的解析式；
（2）由对称轴可得x1+x2=4，再利用完全平方公式可得结论．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2-4x+3；
（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴对称轴x=2．
∵平行于x轴的直线交抛物线于A，B两点，
∴A、B关于直线x=2对称，即x1+x2=4，
∵x1 x2=2，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=8，
∴AB=|x1-x2|=．
【点睛】此题考查待定系数法求函数表达式，函数对称轴和抛物线的对称性，关键是用待定系数法求出二次函数的解析式和运用完全平方公式．
20．
【分析】根据抛物线与轴有交点转化为当时，方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．
【详解】∵抛物线与x轴有交点，
∴方程有两个实数根．
解得.
【点睛】本题考查了抛物线与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
21．(1)见解析
(2)①2；②2．
【分析】（1）利用根与系数的关系即可证明b=0；
（2）①设出P点坐标，然后令c=t ，然后表示出A、B的坐标，先求出直线BP的解析式，即可得到直线AQ的解析式，然后联立抛物线与直线AQ解析式，求出Q点横坐标，即可求解；②同①的方法，令a=-s ，c=t ，设出P点坐标，分别求出D、E的坐标，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，且OA＝OB，
∴x1=-x2，即x1+x2=0，
∵x1+x2=-，
∴-=0，
∵a＜0，
∴b=0；
（2）解：①当a=﹣1时，令c=t2，抛物线的解析式为y=-x2+t2，
解方程-x2+t2=0，得：x1=t，x2=-t，
∴A(-t，0)，B(t，0)，
设点P的坐标为(p，-p2+ t2)，
设直线PB的解析式为y=kx+m，
∴，解得：，
∴直线PB的解析式为y=x+，
∵AQ∥BP，
设直线AQ的解析式为y=x+n，
把A(-t，0)代入得：n=
∴直线AQ的解析式为y=，
联立y=和y=-x2+ t2得：，
整理得：，
解得x1=-t，x2=p+2t，
∴点Q的横坐标为p+2t，
∴Q，P两点横坐标的差为p+2t-p=2t=2；
②令c=t2，a=-s ，抛物线的解析式为y=-s x2+t2，
解方程-s x2+t2=0，得：x1=，x2=-，
∴A(-，0)，B(，0)，C(0，t2)，
设点P的坐标为(p，-s p2+ t2)，
同理求得直线PB的解析式为y=x+，
直线AQ的解析式为y=，
令x=0，则y=，
即点E的坐标为(0，)，
同理求得直线AP的解析式为y=，
令x=0，则y=，
即点D的坐标为(0，)，
∴OD=，OE=，OC=，
∴．
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
22．（1）；图像见解析；（2）
【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线x＝2求出的值，然后将点A(0，3)代入函数解析式即可得出的值，二次函数解析式可得，画出图像即可；
（2）根据题意得出平移后的函数解析式，然后判断平移方式即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2＋mx＋n的对称轴为直线x＝2，
∴，
∴，
将点A(0，3)代入二次函数解析式得：，
∴二次函数解析式为：，
图像如下：
；
（2）将原图像向下平移，则对称轴不变，
新的函数图象与x轴的两个交点的距离为4，
则新函数图像经过点，
则平移后得解析式为：，
则由向下平移个单位得到，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图像与性质是解本题的关键．
23．(1)抛物线解析式为
(2)①k1·k2=-4，②d最大=
【分析】（1）先确定抛物线的对称轴为直线，根据三角形面积求出AB=2，再求出A、B、C三点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）①设过点D（m，-2）的直线解析式为，联立方程组消去y得出，根据直线与抛物线切线，得出，得出关于k的方程，，可得关于k的方程有两个实根k1，k2，根据根与系数关系求解即可；
②直线GH与直线PQ过点T（2,0），设直线GH：y=k1(x-2)，直线PQ：y=k2(x-2)，根据k1·k2=-4，得出直线PQ：y= (x-2)，联立方程组求解，得出，根据根与系数关系与中点坐标公式求得M（，），同理求N（，），利用待定系数法求MN解析式，将其变形，得出MN过定点 R（2，2），可得△OTR为等腰直角三角形，利用勾股定理OR=，过O作OS⊥MN于S，d≤OR即可．
【详解】（1）解：∵点A点B在x轴上且关于直线对称，抛物线过A、B、
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，点C在y轴正半轴上，
∴C（0，3），
∵，
∴，
∴AB=2，
∴点A横坐标为2-1=1， 点B横坐标为2+1=3，
∴点A（1，0），点B（3，0），
∵抛物线过A、B、C三点，代入坐标得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）①解：设过点D（m，-2）的直线解析式为，
联立方程组，
消去y得，
整理得，
∵直线与抛物线切线，
∴，
∴，
关于k的方程，
∴关于k的方程有两个实根k1，k2，
根据根与系数关系k1·k2=-4，
②∵直线GH∥直线DE，直线PQ∥直线DF，
∵直线GH与直线PQ过点T（2,0），
∴直线GH：y=k1(x-2),直线PQ：y=k2(x-2)，
∵k1·k2=-4，
∴直线PQ：y= (x-2)，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，，
∴M（，），
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴，，
∴N（，），
设MN的解析式为，
∴，
解得，
∴MN解析式为，
∴，
∴MN过定点R（2，2），
∵T（0，2），
∴RT⊥x轴，RT=OT=2，
∴△OTR为等腰直角三角形，
OR=，
过O作OS⊥MN于S，
∴d≤OR，
∴d最大=OR=．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，直线与抛物线相切，一元二次方程根的判别式，根与系数关系，平行直线性质，中点坐标公式，勾股定理，点到中点距离，直线过定点，垂线段最短，掌握待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，直线与抛物线相切，一元二次方程根的判别式，根与系数关系，平行直线性质，中点坐标公式，勾股定理，点到中点距离，直线过定点，垂线段最短是解题关键．22.3 实际问题与二次函数
1．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·福建莆田·九年级统考期末）公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m才能停下来．
3．（2022秋·福建三明·九年级统考期末）如图，正方形是一张边长为的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下与后得到一个五边形，其中P，Q，R三点分别在边，，上，且，．
(1)若，将的面积用含x的代数式表示；
(2)五边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
4．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）如图，空地上有一段旧墙的长为20米，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为100米．
(1)矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，求所利用旧墙的长；
(2)请你设计一个方案，使得所围成的矩形菜园的面积最大，并求面积的最大值．
5．（2022秋·福建泉州·九年级期末）对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），边长为的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上．
（1）填空：
①原点O与线段BC的“近距离”为 ；
②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为 ；
（2）已知抛物线C：，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；
（3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0 <α≤180 ），将旋转中的△ABC记为△AB’C’，连接DB’，点E为DB’的中点，当正方形PQMN中心O’坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”．
6．（2022秋·福建福州·九年级期末）如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．
(1)建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？
7．（2022秋·福建福州·九年级期末）某商城将每件成本为50元的工艺品，以60元的单价出售时，每天的销售量是400件，已知在每件涨价幅度不超过14元的情况下，若每件涨价1元，则每天就会少售出10件．
(1)若商城想每天获得6000元的利润，应涨价多少元？
(2)求商城销售工艺品所获得的最大利润．
8．（2022秋·福建莆田·九年级统考期末）2021年10月16日神舟13号载人飞船再次发射成功，昭示着中国人奔赴星辰大海的步伐从未停止．航空航天产业有望成为万亿规模的市场．某铝业公司生产销售航空铝型材，已知该型材的成本为8000元/吨，销售单价在1万元/吨到2万元/吨（含1万元/吨，2万元/吨）浮动．根据市场销售情况可知：当销售单价为1万元/吨时，日均销量为10吨；销售单价每上升1000元，则日均销量降低0.5吨．
(1)求该型材销量y（吨）与销售单价x（万元/吨）之间的函数关系式；
(2)当该型材销售单价定为多少万元时，该铝业公司获得的日销售利润W（万元）最大？最大利润为多少万元？
9．（2022秋·福建泉州·九年级期末）某店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发现，每箱销售价格：售价不高于50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．
(1)若每箱售价55元，试计算平均每天的销售利润；
(2)已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱不得高于58元．设售价为x（元），平均每天的销售利润为w（元）．
①写出w与x的函数关系式，以及x的取值范围；
②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少．
10．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，且10≤x≤16．
(1)每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？
(2)当进价提高了a元，且每包售价为13元时，日均利润达到最大，求a的值．
11．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．2018年年底小张的“熟客”们共向小张采购了5000箱鱼卷，到2020年底“熟客”们采购了7200箱．
(1)求小张的“熟客"们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率；
(2)2020年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的，由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为15元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下4至5元，且每下调1元销售量可增加1000箱，求小张在今年年底能获得的最大利润是多少元？
12．（2022秋·福建莆田·九年级期末）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
13．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
14．（2022秋·福建厦门·九年级期末）小李的活鱼批发店以 44 元/公斤的价格从港口买进一批 2000 公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于 市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录.
表一
所抽查的鱼的总重量 m(公斤) 100 150 200 250 350 450 500
存活的鱼的重量与 m 的比值 0.885 0.876 0.874 0.878 0.871 0.880 0.880
表二
该品种活鱼的售价(元/公斤) 50 51 52 53 54
该品神活鱼的日销售量(公斤) 400 360 320 280 240
(1)请估计运到的 2000 公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案)
(2)按此市场调节的观律，
①若该品种活鱼的售价定为 52.5 元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；
②考虑到该批发店的储存条件，小李打算 8 天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持 不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.
15．（2022秋·福建福州·九年级期末）青青书店购进了一批进价为每本20元的中华传统文化丛书. 在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-3x+108（2016．（2022秋·福建宁德·九年级统考期末）科技进步促进了运动水平的提高，某运动员站在与篮框水平距离6米的A处练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度，已知篮圈中心B到地面的距离为3.05米，篮球每一次投出时离地面的距离都为2.05米，图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为3米时离地面最高，最大高度为3.55米．
(1)建立如图1所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心B．
(3)如图2，在另一次训练中，该运动员在点A处投篮，篮球从C处投出并且直接命中篮圈中心B，其运动轨迹经过点，且，试比较n、 t的大小关系．
17．（2022秋·福建漳州·九年级统考期末）2022年世界杯足球赛于11月21日至12月18在卡塔尔举行，如图，某场比赛把足球看作点.足球运行的高度与运行的水平距离满足抛物线，如图所示，甲球员罚任意球时防守队员站在他正前方8m处组成人墙，人墙可达的高度为2.2m，对手球门与甲球员的水平距离为18m，球门从横梁的下沿至地面距离为2.44m．假设甲球员踢出的任意球恰好射正对手球门．
(1)当时，足球是否能越过人墙？并说明理由；
(2)若甲球员踢出的任意球能直接射进对手球门得分，求h的取值范围．
18．（2022秋·福建莆田·九年级期末）高尔夫球运动员将一个小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）与它的飞行时间x（s）之间关系的部分数据如下表：
x（s） … 0.5 1 1.5 2 …
y（m） … 8.75 15 18.75 20 …
(1)根据表格信息，下列三个函数关系式：①，②，③中，刻画y与x的关系最准确的是______．（填序号）
(2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，经过多少秒小球落回地面？
19．（2022秋·福建福州·九年级统考期末）如图，有一个竖直的喷水枪AB，由喷水口A喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为3m，且到地面BC的距离为5m，水流的落地点C到喷水枪底部B的距离为8m，求喷水枪AB的长度．
20．（2022秋·福建厦门·九年级统考期末）行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了M，N两款型号的新型汽车，它们在平坦路面上的“刹车距离”y（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间的函数关系分别可以用二次函数（0≤x≤200），（0≤x≤200，b≥1）近似地表示．为了估计a的值，公司综合考虑各种路面情况，选择了六种有代表性的路面进行刹车试验，具体的数据如表：
路面 路面一 路面二 路面三 路面四 路面五 路面六
车速（km/h） 100 100 100 100 100 100
刹车距离（m） 26.5 27.2 27.5 27.5 29.2 30.1
（1）依据上述数据，合理估计a的值，并求M款型号汽车的“刹车距离”为3.15m时所对应的车速；
（2）当50≤x≤200时，是否存在实数b，使得在相同的车速下N款型号汽车的“刹车距离”始终比M款型号汽车的“刹车距离”小 若存在，求出相应的b的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（2022秋·福建厦门·九年级期末）知识链接：弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段．第一阶段：导弹点火后，垂直向上飞行阶段；第二阶段：导弹进入安全预定高度，以曲线路线飞行阶段（最高点称为轨道的远地点）；第三阶段：发动机熄火后，导弹弹头与弹体分离，以惯性飞向目标阶段．
某洲际导弹发射后，计算机隔一段时间（单位：分）对导弹离地高度（单位：千米）进行数据采集，对这些数据进行列表统计后得到如下表格：
时间 0 1 2 4 5 6 9 13 14 16 19 24 …
离地高度 0 24 96 386 514 616 850 994 1000 976 850 400 …
已知导弹在第分钟（为整数）开始进入飞行第二阶段，在下落过程中距离地面100千米时进入第三阶段．
（1）该导弹在发射多少时间后达到轨道的远地点，此时距离地面的高度是多少千米？
（2）请用学过的函数模型来确定第二阶段的曲线解析式，并求出的值．
（3）求导弹发射多少时间后发动机熄火？（结果保留根号）
参考答案：
1．A
【分析】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，从而得到BH＝DF，AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，然后由∠EAF＝45°和∠BAD＝90°得到∠HAE＝∠FAE＝45°，得到△HAE≌△FAE，进而得到EF＝HE＝y，由BE＝x，得到BH＝DF＝y﹣x，结合正方形的边长为2得到EC＝2﹣x，CF＝2﹣（y﹣x），然后利用勾股定理列出关于x和y的关系式求得y与x的函数解析式，最后得到对应的函数图象．
【详解】解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
∴BH＝DF，AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠HAE＝∠HAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣∠FAE＝45°，
∴∠FAE＝∠HAE，
∵AE＝AE，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝HE＝y，
∵BE＝x，
∴BH＝DF＝y﹣x，
∵正方形的边长为2，
∴EC＝2﹣x，CF＝2﹣（y﹣x），
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
∴（2﹣x）2+[2﹣（y﹣x）]2＝y2，
化简得，y＝＝＝（）2﹣4+4 ，
∴当，即x＝2﹣2时，y有最小值，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是求出函数关系式．
2．20．
【详解】求停止前滑行多远相当于求s的最大值.
则变形s=-5(t-2)2+20，
所以当t=2时，汽车停下来，滑行了20m.
3．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据条件表示出，从而得到的面积；
（2）分别求出正方形、、的面积，再作差求出五边形的面积，最后确定出取极值时的x值。即可求出最大值．
【详解】（1）解：依题意，．
的面积．
（2）解：设，则，
∴，
，
∴的面积．
，
．
当时，上式取得最大值120，
所以，当时，五边形的面积取得最大值．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，三角形面积的计算、五边形面积计算的方法，计算三角形的面积及利用二次函数顶点式求最值是解题的关键．
4．(1)利用旧墙的长为10米
(2)当时，
【分析】（1）设AD=x米，则，根据矩形菜园面积为450平方米列方程，解之求出x的值，由MN=20，且x≤MN可确定最终符合题意的x的值，从而得出答案；
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米，依题意得出S与x的关系式，利用二次函数的性质求解可得答案．
【详解】（1）设米，则米
依题意得，
解得
∵，且
∴舍去
∴利用旧墙的长为10米．
（2）设米，矩形的面积为S平方米
依题意得：
∴当时，S随x的增大而增大
当时，
即墙AD的长为20米时，矩形菜园的面积最大，最大面积为800平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键．
5．（1）①2；②；（2）或；（3）点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．
【分析】（1）①由垂线段最短，即可得到答案；
②根据题意，找出正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，的临界点，然后分别求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范围；
（2）根据题意，抛物线与△ABC的“近距离”为1时，可分为两种情况：当点C到抛物线的距离为1，即CD=1；当抛物线与线段AB的距离为1时，即GH=1；分别求出a的值，即可得到答案；
（3）根据题意，取AB的中点F，连接EF，求出EF的长度，然后根据题意，求出点F，点Q的坐标，求出FQ的长度，即可得到EQ的长度，即可得到答案．
【详解】解：（1）①∵B（9，2），C（，2），
∴点B、C的纵坐标相同，
∴线段BC∥x轴，
∴原点O到线段BC的最短距离为2；
即原点O与线段BC的“近距离”为2；
故答案为：2；
②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），
∴线段BC∥x轴，线段AC∥y轴，
∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形，
当点N与点O重合时，点N与线段AC的最短距离为1，
则正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，
此时m为最小值，
∵正方形的边长为，
由勾股定理，得：，
∴，（舍去）；
当点Q到线段AB的距离为1时，此时m为最大值，如图：
∵QN=1，△QMN是等腰直角三角形，
∴QM=，
∵BD=9，△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=9，
∵△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=7，
∴m的最大值为：，
∴m的取值范围为：；
故答案为：；
（2）抛物线C：，且，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，
由题可知，点C与抛物线的距离为1时，如图：
∵点C的坐标为（，2），
∴但D的坐标为（，3），
把点D代入中，有
，
解得：；
当线段AB与抛物线的距离为1时，近距离为1，如图：即GH=1，
点H在抛物线上，过点H作AB的平行线，线段AB与y轴相交于点F，作FE⊥EH，垂足为E，
∴EF=GH=1，
∵∠FDE=∠A=45°，
∴，
∵点A（-1，-8），B（9，2），设直线AB为，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
∴直线EH的解析式为：；
∴联合与，得
，
整理得：，
∵直线EH与抛物线有一个交点，
∴，
解得：；
综合上述，a的值为：或；
（3）由题意，取AB的中点F，连接EF，如图：
∵点A（-1，-8），B（9，2），
∴，
在中，F是AD的中点，点E是的中点，
∴，
∵点D的坐标为（5，-2），A（-1，-8），
∴点F的坐标为（2，），
∵在正方形PNMQ中，中心点的坐标为（5，），
∴点Q的坐标为（6，），
∴，
∴；
∴点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．
【点睛】本题考查了图形的运动问题和最短路径问题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的平移，勾股定理，旋转的性质，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，作出临界点的图形，从而进行分析．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．难度很大，是中考压轴题．
6．(1)
(2)
【分析】（1）首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解获得答案．
（2）将代入（1）中解析式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，以拱顶为原点建立直角坐标系，
可设这条抛物线为，
结合题意，将点代入，得，
解得，
∴，
（2）若水面下降3米，即当时，可有，解得，
此时水面宽度为米，
∴水面下降3米，水面宽度增加米．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键是正确建立坐标系，熟练运用二次函数解决实际问题．
7．(1)每件工艺品涨10元
(2)商城销售工艺品所获得的最大利润为6240元
【分析】（1）设涨价元，根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设商城销售工艺品所获得的利润为w元，每件工艺品涨x元，根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出二次函数，根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）设每件工艺品涨m元，
根据题意得：，
解得或，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴，
答：每件工艺品涨10元；
（2）设商城销售工艺品所获得的利润为w元，每件工艺品涨x元，
根据题意得：，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为（元），
答：商城销售工艺品所获得的最大利润为6240元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，二次函数解析式，是解题的关键．
8．(1)(1≤x≤2)
(2)销售单价定为1.9万元时，利润最大为6.05万元
【详解】（1）解：∵销售单价每上升1000元，则日均销量降低0.5吨，
∴销售单价每上升1万元，则日均销量降低5吨．
∴(1≤x≤2)；
（2）解：依题意，得，
，
∴当x＝1.9时，W取得最大值，最大值为6.05万元．
答：销售单价定为1.9万元时，利润最大为6.05万元．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
9．(1)1125
(2)①；②当x=58时，w取得最大，最大值是1188．
【分析】（1）用每项利润乘销售量即得每天的销售利润；
（2）①根据w=每项利润×销售量，解可得答案；②根据二次函数性质即可求解．
(1)
每箱售价55元，则每箱利润为55-40=15（元），
∵售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱，
∴每箱售价55元，销售量为90-（55-50）×3=75（箱），
∴平均每天的销售利润是15×75=1125（元）；
(2)
①当时
当50w=（x-40）[90-3（x-50）]=-3x2+360x-9600；
∴
②当时，
∵90>0
∴当时，随x的增大而增大，
∴当时w取得最大，最大值是900
当50∵y=-3x2+360x-9600，a＜0，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴直线为，
∴50∴当x=58时，w的值最大，最大值为-3×582+360×58-9600=1188（元）．
综上所述，当x=58时，w取得最大，最大值是1188．
答：当x=58时，w取得最大，最大值是1188．
【点睛】此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
10．(1)每包售价定为11元时，日均利润最大为125元；
(2)
【分析】(1)根据公式“总利润=单个利润×数量”列出利润的表达式，然后再根据二次函数的性质求出最大值即可．
(2)同(1)中思路，列出日均利润的表达式，然后再由日均利润最大时，每包售价为13元即可求解．
【详解】（1）解：设日均利润为w，由题意可知：w=(x-6)(-5x+80)，
整理得到：w=-5x2+110x-480=-5(x-11)2+125，
当x=11时，w有最大值为125，
故：每包售价为11元时，药店的日均利润最大为125元．
（2）解：设日均利润为w元，由题意可知：w=(x-a-6)(-5x+80)，
整理得到：w=-5x2+(110+5a)x-80a-480，
∴w是关于x的二次函数，
其对称轴为x=，
∵每包售价为13元时，日均利润达到最大，
∴=13，
解得：a=4．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，从中找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
11．(1)
(2)小张在今年年底能获得的最大利润是元.
【分析】（1）设小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为则可得方程再解方程即可得到答案；
（2）先求解今年的总的销量为箱，设今年总利润为元，价格下调元，则可建立二次函数为，再利用二次函数的性质求解最大值即可.
【详解】（1）解：设小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为 则
整理得：
解得：（负根不合题意舍去）
答：小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为
（2）解： 2020年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的，
2020年小张年总销量为：（箱），
设今年总利润为元，价格下调元，则
令 则
所以抛物线的对称轴为：
所以函数有最大值，
当时，（元），
所以小张在今年年底能获得的最大利润是元.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握“确定相等关系建立一元二次方程，建立二次函数模型”是解本题的关键.
12．（1）；（2）最大利润为3840元
【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）根据“利润＝（售价 成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．
【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），
则，
解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝ 3x＋216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴；
（2）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x 8）y＝（x 8）（ 3x＋216）＝ 3（x 40）2＋3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x 8）y＝120（x 8）＝120x 960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
13．(1) y=500-5x；(2)降价10元时利润最大，最大利润为4500元，
【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润=总利润进而得出函数关系式求出最值．
【详解】解：（1）由题意可得：y=100+5（80-x）整理得 y=-5x+500；
（2）由题意，得：
w=（x-40）（-5x+500）
=-5x2+700x-20000
=-5（x-70）2+4500
∵a=-5＜0，
∴w有最大值
即当x=70时，w最大值=4500
∴应降价80-70=10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确得出w与x之间的函数关系式是解题的关键．
14．（1）1760公斤；（2）①300公斤，理由见解析②990元，理由见解析.
【分析】（1）由表一可知，该品种活鱼的存活率约为0.88，则用2000乘以0.88即可得；
（2）①由表二可知，售价每增加1元，日销售量就会减少40公斤，由此即可求解；
②先根据该品种活鱼的售价与日销售量之间的变化规律，求出其变化的关系式；再根据“利润＝每公斤利润×销售量”列出函数解析式，并结合题中的给定的条件，得出自变量的取值范围，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由表一可知，该品种活鱼的存活率约为0.88，
则估计运到的 2000 公斤鱼中活鱼的总重量为：（公斤）；
（2）①由表二可知，售价每增加1元，日销售量就会减少40公斤，
则所求的估计日销售量为：（公斤）；
②设这8天该活鱼的售价为元/公斤，对应的日销售量为公斤，根据该品种活鱼的售价与日销售量之间的变化规律可知，与之间存在线性关系，则设
由表二得：当时，；当时，，
代入得：，解得：，
则，
设该批发店每日卖鱼的利润为，
由题意得：，
即，
又因要在8天内卖完这批鱼，则，
解得：，
由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，
故当时，取得最大值，最大值为元，
答：所求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，正确建立函数关系式是解题关键.
15．销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元.
【分析】由利润=每本书的利润×数量就可以得出解析式，再根据函数的性质即可得到最大利润.
【详解】解：p=（x-20）（-3x+108）=-3x2+168x-2160=-3（x-28）2+192，
∵20∴当x=28时，y最大=192，
答：销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元
16．(1)
(2)本次训练篮球不能直接投中篮圈中心B，该球员只要向后移动或米就能使篮球直接投中篮圈中心B
(3)
【分析】（1）根据题意确定抛物线的顶点和点,设抛物线的解析式为，再求得a的值即可解答；
（2）将代入（1）中的解析式，即可求得y的值即可判定其是否投中；设能直接投中篮圈中心B需向后移动m米，则抛物线解析式为，然后将点代入求得m的绝对值即可解答；
（3）设抛物线解析式为，根据已知条件可得，然后分别将代入表示出m、n、t，然后代入求得a的取值范围，最后用作差法比较n、t的大小即可．
【详解】（1）解：由题意可得：抛物线的顶点和点
设抛物线的解析式为
则：，解得：
所以设抛物线的解析式为．
（2）解：∵当时，
∴本次训练篮球不能直接投中篮圈中心B
设能直接投中篮圈中心B需向后移动m米，则抛物线解析式为
则，解得：
∴或
∴该球员只要向后移动或米就能使篮球直接投中篮圈中心B．
（3）解：设抛物线解析式为
∵抛物线过
∴
∴
∵抛物线过
∴，即
∴
分别将代入可得：
，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
17．(1)足球能过人墙，理由见解析
(2)
【分析】（1）当时，的函数图像过原点，可求出a的值，即可；当时，由（1）中解析式，分别把和代入函数解析式求出y的值，再与2.2和2.44比较即可；
（2）由抛物线过原点可①，由足球能越过人墙可得②，由足球能直接射进球门可得③，然后解①②③不等式组即可．
【详解】（1）解：当时，足球能越过人墙，理由如下：
∵当时，函数的抛物线经过点，
∴，解得：
∴y与x的关系式
当时，，
∴足球能过人墙，
（2）解：由题设知函数图像过点可得，即①，
由足球能越过人墙，得②，
由足球能直接射进球门，得③，
由①得④
把④代入②得，解得，
把④代入③得，解得，
∴h的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、不等式等知识点，掌握待定系数法确定函数解析式是解答本题的关键．
18．(1)③;
(2)经过4秒小球落回地面．
【分析】（1）根据已知三函数，利用求函数值验证只要找到函数值与表格中的点的函数值都相等即可
（2）让y=0，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：当x=2时，，刻画y与x的关系不是①；
当x=0.5时，，刻画y与x的关系不是②，
当x=0.5时，，
当x=1时， ，
当x=1.5时，，
当x=2时，，
表格中四点都在的图像上，
故刻画y与x的关系最准确的是③，
故答案为③;
（2）解：∵（1）中选取的函数为，
小球落回地面时纵坐标为y=0：
∴，
∴，
∴，
解得，
∴经过4秒小球落回地面．
【点睛】本题考查根据表格信息选取函数解析式，解一元二次方程，掌握表格信息选取点的横坐标代入解析式求函数值，以及一元二次方程的解法是解题关键．
19．喷水枪AB的长度为3.2m
【分析】以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，根据题意可知抛物线的顶点，点，可设抛物线的解析式为，再将C点坐标代入解析式，即可求出a的值，即得出该抛物线的解析式，最后令y=0，即可求出A点坐标，从而可求出AB的长，即喷水枪的长度．
【详解】解：如图，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，
由题意知，抛物线的顶点，点
故可设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
则抛物线的解析式为，
当时，，
即A点坐标为(0，3.2)．
∴．
答：喷水枪AB的长度为3.2m．
【点睛】本题考查二次函数的应用．根据题意利用待定系数法求出该抛物线的解析式是解答本题的关键．
20．（1），当M款型号汽车的“刹车距离”为3.15m时所对应的车速；（2）存在，
【分析】（1）先根据表格求出刹车距离的平均值，然后再代入函数解析式进行求解a即可，进而把代入求解即可；
（2）由（1）及题意易得，即，当x=0时，则有，然后可得在恒成立，令，则有该函数的对称轴为直线，进而可分当时，当时，当时，最后分类求解即可．
【详解】解：（1）由表格得：m，
∴，
解得：，
∴，
∴把代入得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴当M款型号汽车的“刹车距离”为3.15m时所对应的车速；
（2）存在，理由如下：
由（1）及题意得：，即，
∴，
∴当x=0时，则有，
∴，
令，则有该二次函数的图象在内，始终在x轴的上方，
∴，开口向上，对称轴为直线，
①当时，即，则有y随x的增大而增大，
∴当时，则，解得：，
∴；
②当时，即，则需满足顶点的纵坐标大于0即可，
∴把代入解析式得：，化简得：
，不符合题意，舍去；
③当时，即，则有y随x的增大而减小，
∴将x=200代入解析式得：，解得：，不符合题意，舍去；
∴综上所述：b的取值范围为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．（1）发射14分时到达轨道的远地点，此时距离地面的高度为1000千米；（2），；（3）导弹发射分钟熄火．
【分析】（1）根据表格的数据，即可得到答案；
（2）结合表格中的数据，设函数解析式为，利用待定系数法进行解题，即可求出答案；
（3）令，代入函数解析式，即可求出答案．
【详解】解：（1）根据表格中的数据可知，发射14分时到达轨道的远地点，此时距离地面的高度为1000千米．
（2）根据表中数据可知第二阶段的曲线为抛物线，
可设抛物线为，将点代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当，1，2，4，5时，依次为，，136，400，514．
∴．
∴导弹在第5分钟开始进入飞行第二阶段；
（3）令，则，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：导弹发射分钟熄火．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的求出抛物线的解析式．
