22.3 实际问题与二次函数（1） 课件（32张ppt）

(共32张PPT)
22.3 实际问题与二次函数（1）
人教版九年级上册
知识回顾
1.二次函数的概念：
2.二次函数的图象：
一般地，形如
（ ， ， 是常数， ）
的函数，叫做二次函数.其中， 是自变量， ， ， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的图象是一条顶点坐标为 的抛物线.
教学目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
新知导入
问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位：m）与小球的运动时间 (单位：s)之间的关系式是
，小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
点的纵坐标
最大
图象的最高点
新知探究
当 时，抛物线开口向下.
开口向下的抛物线 的顶点是最高点.
当 时，二次函数 有最大值 .
形
数
y
x
o
新知探究
解：由 ，
当 时，
x=3
新知探究
顶点
最高点
解：由 ，
当 时，
∴小球运动时间是3s时，小球最高.小球运动中的最大高度是45m.
新知探究
另法：（配方法）
∴小球运动时间是3s时，小球最高.小球运动中的最大高度是45m.
当 时， 是最大值.
新知探究
问题1 如何把这个实际问题转化为数学问题？
问题2 矩形的面积公式是什么？
探究 用总长为 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 随矩形一边长 的变化而变化.当 是多少米时，场地的面积 最大？
场地的面积（实际问题）
矩形的面积（数学问题）
新知探究
问题3 如图，设 为 ,则 如何用 表示？
问题4 面积 与边长 的函数关系式是什么？
探究 用总长为 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 随矩形一边长 的变化而变化.当 是多少米时，场地的面积 最大？
新知探究
问题6 自变量 的取值范围是什么？
问题5 如何求二次函数的最大值？
公式法、配方法等
探究 用总长为 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 随矩形一边长 的变化而变化.当 是多少米时，场地的面积 最大？
新知探究
解答过程
解：矩形场地的周长是 ，一边长为 ，
所以另一边长为 .场地的面积为
（公式法）
新知探究
解答过程
解：矩形场地的周长是 ，一边长为 ，
所以另一边长为 .场地的面积为
（配方法）
新知小结
解决实际问题的基本思路
实际问题
数学问题
抽象出
二次函数问题
求最大（小）值问题
转化
在自变量的
取值范围内
检验，并
解决问题
公式法
配方法
新知小结
利用二次函数解决实际问题的一般步骤
1.根据题意画出图形，标上字母，方便表达；
2.分析题意，列出二次函数的解析式；
3.根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
4.在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.
新知探究
问题1 本练习与探究1有何不同？
问题2 如何将实际问题转化为数学问题？
练习 如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题4 如何列出函数关系式？如何求最值？
问题3 如何求自变量的取值范围？墙长 有什么作用？
新知探究
解法一：
新知探究
15
新知探究
解法二：
新知探究
15
某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元，设矩形的一边长为x m，面积为S m2.
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．
新知练习
练1
解：(1)∵矩形的一边长为x m，
∴另一边长为(6－x)m，
∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，
其中0＜x＜6；
(2)∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∴当x＝3，即矩形的一边长为3 m时，矩形面积最大为9 m2，
这时设计费最多，为9×1 000＝9 000(元)．
怎么描述其最值？
如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x m，面积为y m2.
(1)求y与x的函数解析式；
(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值．
新知练习
练2
解：（1）若AB=x m，则BC=（30-3x）m，
x
30-3x
∴y＝－3x2＋30x.
（2）y＝－3x2＋30x=-3(x-5)2 +75
当x=5时，函数y有最大值为75.
x能取“5”吗？
新知探究
如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x m，面积为y m2.
(1)求y与x的函数解析式；
(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值．
练2
x
30-3x
解：（2）y＝－3x2＋30x=-3（x-5）2+75
∵3x＜30且30-3x≤10，
∴
∵在对称轴x=5的右侧，y随x的增大而减小，
∴当x= 时，y最大值为
新知总结
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
课堂总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.
课堂练习
1.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD (篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB=x m，花园面积为 S m2.
(1)求 S 与 x 之间的函数关系式；
(2)当 x 为何值时，S 有最大值？请求出最大值.
解：(1)由题意得 AD=(28-x) m，
则 S=x(28-x)=-x2+28x(0(2)因为 S=-x2+28x=-(x-14)2+196，
所以当 x=14 时，S 有最大值，最大值是196.
课堂练习
2.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
解：设直角三角形的一条直角边为 x，则另一直角边为8-x．直角三角形的面积是S．
根据题意，得S=x(8-x)(0＜x＜8)，
配方，得S=- (x-4)2+8；
所以当x=4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，
最大面积是8．
课堂练习
3.如图，在一面靠墙的空地上用长 24 m 的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为x m，面积为 S m2.
(1)求 S 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
解：(1)∵花圃的一边AB的长为x m，
∴BC=(24-4x) m，
∴S=x(24-4x)=-4x2+24x .
∵
∴0＜x＜6.
课堂练习
解：(2)∵S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36，
∴当x=3时，S最大值=36.
3.如图，在一面靠墙的空地上用长 24 m 的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为x m，面积为 S m2.
(2)当 x 取何值时，围成的花圃面积最大，最大面积是多少？
答：当x取3时所围成的花圃的面积最大，最大面积是36平方米．
课堂练习
解：(3)∵0<24-4x≤8，∴4≤x<6，
由(2)知，当x>3时，S 随x的增大而减小，
∴当x=4时，S取得最大值，且S最大值=32.
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是32平方米．
3.如图，在一面靠墙的空地上用长 24 m 的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为x m，面积为 S m2.
(3)若墙的最大可用长度为 8 m，则花圃的最大面积是多少？
谢谢
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