高三一轮复习教案(双曲线)(江苏省苏州市郊区)

高三数学教案
教学课题：双曲线
教学日期：
教学目的：了解双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质.
重点难点：渐近线，的关系求离心率，求标准方程
教学方法：类比，讲练结合
教学过程：
一.基础知识
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹.
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线.常数叫做离心率.表示两条射线；没有轨迹；
（2）双曲线的渐近线：
①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到.
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；
（3）等轴双曲线为，其离心率为
二.基础练习
1.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是 （ ）
A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线
2.双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 .
3.焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 .
4.过双曲线左焦点的弦长为6，则为右焦点）的周长是 .
5.双曲线的右焦点到右准线的距离为 .
6.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距C的取值范围是 .
7.曲线上的一点到一个焦点的距离为4，则点到较远的准线的距离为 .
8.双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若则点到轴的距离是 .
三.例题
例1.根据下列条件，求双曲线方程.
（1） 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；
（2） 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）.
解析：法一：（1）双曲线的渐近线为
令x=-3，y=±4，因，故点（-3，）在射线（x≤0）及x轴负半轴之间，
∴ 双曲线焦点在x轴上
设双曲线方程为，（a>0，b>0）
解之得：
∴ 双曲线方程为
（2）设双曲线方程为（a>0，b>0）
则 解之得：
∴ 双曲线方程为
法二：（1）设双曲线方程为（λ≠0）
∴ ∴
∴ 双曲线方程为
（3） 设双曲线方程为
∴ 解之得：k=4
∴ 双曲线方程为
评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（λ≠0），当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上.与双曲线共焦点的双曲线为（a2+k>0，b2-k>0）.比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.
例2.设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴，y轴的距离之比为2，求m取值范围.
解析：
根据题意，从点P的轨迹着手
∵ ||PM|-|PN||=2m
∴ 点P轨迹为双曲线，方程为（|m|<1） ①
又y=±2x（x≠0） ②
①②联立得：
将此式看成是关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m 的取值范围.
根据双曲线有界性：|x|>m，x2>m2
∴
又0∴
评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式.
例3 双曲线（a>0，b>0）的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，求双曲线的离心率的取值范围.
分析：将不等式转化为的关系，用表示，再由得关于的不等式，求出范围.
解析：直线的方程为，即.
由到的距离，同理由到的距离，.由，得，即，于是有，即，解得，由得.
评注：求双曲线离心率或离心率的范围的常用方法有两种：
1.直接法；2.建立的齐次式，用表示，再由得关于的关系式.
例4：已知双曲线（a>0，b>0）的离心率，左.右焦点分别为，左准线为，能否在双曲线的左支上找一点，使得是到的距离与的等比中项？
解析：设在左支上存在点，使，由第二定义知，即……………①
又由…………………………………②
由①②解得，
因在中有
…………………………………………③
利用，得
解得 .
与已知矛盾.
符合条件的点不存在.
四.小结
1．分清双曲线的位置及基本量和基本量之间的联系是解决问题的前提.
2．待定系数与充分利用根与系数的关系是简化求解的关键，而与焦点有关的问题充分利用定义和几何性质更能简化求解
五.作业
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点的坐标是(-6，0).(6，0)，并且经过点A(-5，2)
(2)经过点和，焦点在轴上.
2．已知表示双曲线，求的取值范围.
3．已知双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于1，求M到另一个焦点的距离.
4．已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的方程.
5．双曲线（a>0，b>0）的半焦距为，直线过点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率.
6．求以过原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线且过椭圆4x2+y2=4两焦点的双曲线方程.
7．在△ABC中，B（－6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹.