2023-2024学年湖北省温德克英联盟高二（上）开学数学试卷（8月份）（word版含解析）

2023-2024学年湖北省温德克英联盟高二（上）开学数学试卷（8月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
3. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为：：：，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则( )
A. B. C. D.
4. 、、、表示平面，为直线，下列命题中为真命题的是( )
A. ，
B. ，
C. ，，
D. ，，
5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，点在边上，，则的外接圆的面积是( )
A. B. C. D.
6. 如图，棱长为正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 定义：若，则称是函数的倍伸缩仿周期函数设，且是的倍伸缩仿周期函数若对于任意的，都有，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 近年，随着人工智能，，云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩展和增加．国际数据公司统计了年全球每年产生的数据量及其增速，所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是( )
A. 年，全球每年产生的数据量在持续增加
B. 年，全球数据量的年平均增长率持续下降
C. 年，全球每年产生的数据量的平均数为
D. 年，全球产生的数据量超过
10. 下列各式的值为是( )
A. B.
C. D.
11. 三棱锥各顶点均在表面积为的球体表面上，，，，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 线段长度的最小值为 D. 三棱锥体积的最大值为
12. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，有以下四个命题中正确的是( )
A. 满足条件的不可能是直角三角形
B. 面积的最大值为
C. 当时，的周长为
D. 当时，若为的内心，则的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知为复数，且，则的最大值为______ ．
14. 已知的外接圆圆心为，，，，若为实数有最小值，则参数的取值范围是 ．
15. 已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为，则的取值范围是______．
16. 如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等，若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为 ；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数；
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，求这人中岁所有人的年龄的方差．
18. 本小题分
已知函数．
化简；
常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
若函数在的最大值为，求实数的值．
19. 本小题分
在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为．
已知，，，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
求角；
若，求的面积的最大值．
20. 本小题分
如图，在四棱台中，底面是菱形，，，
Ⅰ求证：直线平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，，平分交于点，且，．
Ⅰ求；
Ⅱ求的面积．
22. 本小题分
如图所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连结，，得到图的四棱锥．
求四棱锥的体积的最大值；
若棱的中点为，求的长；
设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则的虚部为，
故选：．
根据复数的运算性质计算即可．
本题考查了复数的运算，考查虚部的定义，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，，
若，则有，即，
若，则有，
则；
故选：．
根据题意，由向量垂直和平行的判断方法求出、的值，计算可得答案．
本题考查向量的坐标计算，涉及向量垂直、平行的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，
已知样本中型血的人数比型血的人数多，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：当两个平面都和第三个平面垂直，这两个平面的位置关系不能确定，故A，不正确，
当四个平面中两对平面两两平行，且各自有一个平面与另一对的一个平面垂直，
余下的两个平面也垂直，故D不正确，
故选：．
当两个平面都和第三个平面垂直，这两个平面的位置关系不能确定，当四个平面中两对平面两两平行，且各自有一个平面与另一对的一个平面垂直，余下的两个平面也垂直
本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，本题解题的关键是条件中所给的平面比较多，需要认真分清线面之间的关系．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以由正弦定理得，
所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
因为，所以，所以，
在中，由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，得，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
设外接圆半径为，则由正弦定理得，
所以，
所以的外接圆的面积是，
故选：．
利用正弦定理将统一成角的形式，化简后可求出，在中利用正弦定理可求出，则可求出，然后在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求出外接圆的半径，从而可求出圆的面积．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
解：如图，
由正方体性质知，当位于点时，，
当位于 的中点 时，由已知得，，，
，，
求得，，．
，得．
又，平面 ，平面 ，
平面 ，得到的轨迹在线段上．
过作关于的对称点，过作于，
当，，三点共线时，点到底面的距离与它到点的距离之和取得最小值．
在直角三角形中，，，，
，所以，
故选：．
【解答】
由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得的轨迹，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值．
本题考查空间线面垂直的判断和性质，以及三点共线取得最值的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

7.【答案】
【解析】解：由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，
所以，解得：，
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，
所以，解得：，
又因为，当时，由可知：，解得；
当时，由可知：，解得．
所以的取值范围为．
故选：．
由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解．
本题考查余弦函数的图象及性质，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，可知，
当，；当，；
以此类推，当，；当，，
当，令，得，或舍，
，所以的最大值为．
故选：．
当，函数为正弦函数的半个周期，当，函数的区间长度每扩大倍，值域也扩大倍，由此进行递推即可．
本题主要考查三角函数图像的伸缩，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由图可得年，全球每年产生的数据量在持续增加，A正确；
对于，年，全球数据量的年平均增长率由增长到了，B错误；
对于，年，全球每年产生的数据量的平均数为正确；
对于，设年全球产生的数据量为，则，解得，D正确．
故选：．
根据统计图，分析数据，依次判断各个选项即可．
本题考查统计图，考查数据分析的核心素养，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，，故D错误．
故选：．
由三角恒等变换知识逐一判断各选项即可．
本题考查三角恒等变换化的简求值，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以；
对于，若，则平面平面，过的中点作与平面垂直的直线，
设球心为，则平面，作，垂足为，
则即为球心到平面的距离，对于，
设其外接圆半径为，则，
所以，因此，故A正确；
对于，因为始终满足，所以点的轨迹是与垂直的球内某截面圆，如图所示：
因为为定值，作点所在截面圆，取得中点，连接，，，因为和同时满足垂直于点所在截面圆，
所以即为点所在截面圆的半径，所以点在以为半径的圆上，为定点，
所以满足时的点有两个点，作点在截面圆的投影，垂足设为，
所以当，，共线时满足，
所以必定有另外一个符合的点不满足，因此选项错误；
对于，
因为平面与圆垂直，所以与平面平行，作，
又因为，所以平面，因此为外接圆的圆心，
而外接圆半径为，又因为，所以，
若求的最小值，在直角三角形中，只需确定出的最小值即可，
如图所示，点在位置时，最小，也最小，即，
由的分析可知球心到平面的距离为，即，
则，而的最小值为，
所以的最小值为，故C正确；
对于，的面积为定值，且点在与垂直的截面圆上，
只需当点到平面距离最大时，三棱锥体积也最大，
又因为平面，因此当点位于与截面圆的交点处时如图示位置
即，，共线时，高即最大，最大值，
故此时三棱锥体积的最大值为，故D正确，
故选：．
对于，计算出的外接圆半径，明确球心到平面的距离，可求得；
对于，要明确的轨迹是与垂直的球内某截面圆，由此判断满足时的点有两个点，其中有一个不满足；
对于，借助于图示，确定点在位置时，线段长度才可取到最小值，由此计算即可；
对于，由于的面积为定值，且点在与垂直的截面圆上，只需当点到平面距离最大时，三棱锥体积也最大，由此可以求先求得三棱锥的高的最大值，可求得结果．
本题主要考查锥体体积导数计算，立体几何中的最值问题，空间中的垂直关系等知识，属于中等题．
12.【答案】
【解析】解：：，即，设，，由，可得，
满足条件的可能是直角三角形，故A错误；
：以的中点为坐标原点，所在直线为轴，可得，，
，可得，
设，可得，
化简得，化为，
则的轨迹为以，半径为的圆，可得的面积的最大值为，故B对；
：，，，可得，
由正弦定理可得：，
由，可得：，
由，可得：，解得：，故，
，可得，
由可得：，，则，故C对；
：
设的内切圆半径为，则，
故D对．
故选：．
考虑勾股定理的逆定理，即可判断，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；运用正弦定理可得，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积．
本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：由题意设，则，
，
，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为的圆．
则，可理解为求点到点之间的距离，
故的最大值为．
故答案为：．
由题意，设，得到，则，利用复数的模的几何意义，即可得解．
本题主要考查向量模公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，还考查了二次函数最值取得条件的应用，属于中档试题．
由已知结合外心的性质可得，，解出，后代入，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】
解：取中点，则且平分，
，
同理可得，，
由已知得：，
，
，
令，则，
有最小值，
根据二次函数的性质可知，．
故答案为：

15.【答案】
【解析】解：，
，即，
又为锐角三角形，故，
，
又，故，
，
，
．
故答案为：．
由正弦定理及余弦定理可得，进而得到的大小，根据斜率的减法法则及平面向量数量积公式可得则，根据三角形为锐角三角形，可得，进而由余弦函数的图象及性质得解．
本题主要考查正余弦定理，平面向量的数量积，两角和与差公式，三角函数的性质等知识点，考查化简变形及运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查球的切，接问题，球的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球在正八面体内，则球半径的最大值为到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径．
【解答】
解：如图，记该八面体为，为正方形的中心，则平面，
设，则，解得．
在正方形中，，
则，
在直角 中，知，
即正八面体外接球的半径为，
故该正八面体外接球的体积为．
若球在正八面体内，则球半径的最大值为到平面的距离．
取的中点，连接，，则，
又，，
平面，
过作于，又，，所以平面，
又∽，
，则，
则该球半径的最大值为．
故答案为：．

17.【答案】解：设这人的平均年龄为，
则，
设第百分位数为，由，解得；
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，
方差分别为，，则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为，
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差为．
【解析】由平均值的求法可得平均数；
由题意可得第四组，第五组的平均数及方差，可得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为的值．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
18.【答案】解：．
，由，解得，
的递增区间为，在上是增函数，
当时，有，，解得，
的取值范围是
，令，则，
，，
，，．
当，即时，．
令，解得舍．
当，即时，，令，解得或舍．
当，即时，在处，由得．
因此，或．
【解析】使用降次公式和诱导公式化简，使用平方差公式和二倍角公式化简；
求出的包含的增区间，令，列出不等式组解出；
求出解析式，判断的最大值，列方程解出．
本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调区间，三角函数的最值，属于中档题．
19.【答案】解：选：，
，即，
又，则；
选：，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，则；
选：，
由正弦定理得，
又，即，
，
又，则；
由得，
由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，
，
的面积的最大值为．
【解析】分别选择条件，利用正弦定理、余弦定理，即可得出答案；
由得，由余弦定理得，即，结合基本不等式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：方法一：连接，交于，
因为，，，
所以≌，故B；分
又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以；分
又四边形为菱形，故AC；
而，所以平面；分
方法二：因为，
所以点在平面内的射影在为的平分线，分
又四边形为菱形，故BD为的平分线，则直线，分
故平面平面，而平面平面，
又四边形为菱形，故AC，
所以平面；分
Ⅱ方法一：延长，，，交于点，平面即为平面，平面即平面，
由得平面平面，平面平面，
所以过作，则平面，故即为直线与平面所成角；分
若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大倍结果不变
因为四棱台中，所以，；
因为，所以，
作，因为，则，，
所以，分
所以，，，分
所以 分
方法二：延长，，，交于点，
平面即为平面，平面即平面，
设直线与平面所成角为，
过作，垂足为，因为，所以；
建立空间直角坐标系如下，以，为，轴，作轴，分
则；
所以，，；分
设平面的法向量为，则，化简得；
所以，分
所以，；
所以分
【解析】方法一：连接，交于，证明、，得出平面；
方法二：证明平面平面，且，得出平面；
Ⅱ方法一：延长，，，交于点，过作，得出为直线与平面所成角，利用解三角形求得的值；
方法二：延长，，，交于点，过作于，以，为，轴，作轴，建立空间直角坐标系；用向量求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了空间角的计算问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题．
21.【答案】解：Ⅰ，
，
由正弦定理可得，
，，可得，，
，可得，
可得．
Ⅱ平分交于点，且，，即，即，
，可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，可得，
可得，
在中，由余弦定理可，得，
由解得，，
．
【解析】Ⅰ由已知利用诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知等式可得，结合角的范围可求，进而可求的值．
Ⅱ利用三角形角平分线的性质可得，，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求的值，在中，由正弦定理得，可得的值，在中，由余弦定理得，，由解得，的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，三角形角平分线的性质，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：取的中点，连接，
因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
因为平面平面，，
所以平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为；
取中点，连接，，
则因为为中点，所以为的中位线，
所以且，
因为为的中点，四边形为矩形，
所以且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以；
连接，
因为，所以，
所以为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
过作于点，
因为，
所以，又，
所以，又，
所以平面，
设，
所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设平面的法向量为，
因为，
则，
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
，
令，所以
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
【解析】本题主要考查了锥体体积的计算，空间中的距离计算以及两平面夹角的向量求解，属于较难题目．
作出辅助线，得到当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；
作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，从而得到；
作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值．
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