八年级数学上分层优化堂堂清（9）12.3 角的平分线的性质 学案（含答案）

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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3三角形全等的重要模型
角平分线有关的全等证明模型
学习目标：
会利用角平分线构造全等三角形证明和计算；
2、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。
老师对你说：
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型--角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
全等三角形的对应边相等,对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据,在解题过程中若不能直接运用,则需要通过作辅助线来构造全等三角形，若已知条件中存在角平分线可利用角平分线条件作辅助线构造全等三角形进而解决问题。
模型一 过角平分线上的点向角两边作垂线。
过点D作DF⊥BC，交BC于点F
△BED≌△BFD（AAS）
方法：利用角平分线性质，取角平分线上一点，向被平分的角的两边作垂线
注：锐角三角形的垂线在中线线段上；钝角三角形的垂线在中线线段的延长线上。
目的：构造一组全等三角形
【例1-1】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，求的度数．
【例1-2】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180
【例1-3】如图，在中，，、分别是、的平分线，、相交于点，试判断和之间的数量关系.
针对性训练1
1 .在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠EAF＝180°，求证DE＝DF．
2.已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
模型2 截长补短构造全等三角形
截长 补短
在BC在截取BF=BE 延长BC至点F，使BF=AE
△BED≌△BFD（SAS） △BED≌△BFD（SAS）
【例2-1】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；
（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【例2-2】已知：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD．
【例2-3】如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求证：DE＝DF．
针对性训练2
1 .已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．
如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
巩固提高
1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°，求证：EF=AE+CF。
2．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
3．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？
小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是　 　．
（2）拓展应用：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
4.如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
5 .已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．
（1）如图2，若，且，则________，_______．
（2）求证：．
（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．
6.如图①，是四边形的一个外角，//，，点在的延长线上，，，垂足为．
(1)求证：①平分；②．
(2)如图②，若，，．求的度数．
7 .已知：在四边形中，于E，且．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分交于F，点G在上，连接，且．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，过点F作，且，若，求线段的长．
8 .如图所示，是的高，点H为的垂直平分线与的交点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3三角形全等的重要模型
角平分线有关的全等证明模型（解析版）
学习目标：
会利用角平分线构造全等三角形证明和计算；
2、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。
老师对你说：
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型--角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
全等三角形的对应边相等,对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据,在解题过程中若不能直接运用,则需要通过作辅助线来构造全等三角形，若已知条件中存在角平分线可利用角平分线条件作辅助线构造全等三角形进而解决问题。
模型一 过角平分线上的点向角两边作垂线。
过点D作DF⊥BC，交BC于点F
△BED≌△BFD（AAS）
方法：利用角平分线性质，取角平分线上一点，向被平分的角的两边作垂线
注：锐角三角形的垂线在中线线段上；钝角三角形的垂线在中线线段的延长线上。
目的：构造一组全等三角形
【例1-1】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，求的度数．
【答案】50°
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
【解析】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，∴∠CAP=∠FAP，
又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF，∴∠CAP =50°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．
【例1-2】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180
【答案】见解析.
【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．
【解析】证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，
∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，
∵AD+AB=2AE， 又∵AD＝AF DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，
∴2AE＝AE＋BE＋AE DF，∴BE＝DF，
在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，
∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．
【例1-3】如图，在中，，、分别是、的平分线，、相交于点，试判断和之间的数量关系.
【答案】详见解析
【分析】如图，过点F作，，垂足分别为H、G，根据角平分线，可得点F是的内心，则有，继而根据三角形内心的性质可得，从而可得，继而可得FE=FD.
【解析】FE=FD，理由如下：
如图，过点F作，，垂足分别为H、G.
是，的平分线AD、CE的交点，为的内心，.
，，
又；
，，
又，，.
【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
针对性训练1
1 .在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠EAF＝180°，求证DE＝DF．
【分析】过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN＝DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED＝∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．
【解析】证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
即∠EMD＝∠FND＝90°，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN（角平分线性质），
∵∠EAF＋∠EDF＝180°，
∴∠MED＋∠AFD＝360° 180°＝180°，
∵∠AFD＋∠NFD＝180°，
∴∠MED＝∠NFD，
在△EMD和△FND中
∠MED＝∠DFN，∠DME＝∠DNF，DM＝DN，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE＝DF．
点评：本题考查了全等三角形的判定和角平分线定义的应用，关键是正确作辅助线，进一步推出△EMD和△FND全等，通过做此题培养了学生运用定理进行推理的能力．
2.已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．
【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），
∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
模型2 截长补短构造全等三角形
截长 补短
在BC在截取BF=BE 延长BC至点F，使BF=AE
△BED≌△BFD（SAS） △BED≌△BFD（SAS）
【例2-1】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；
（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见解析．
【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；
②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．
【解析】解：（1）∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，
∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，
∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；
（2）①AB=AC+CD．
理由：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，
∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；
②AC+AB=CD．
理由：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，
∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，
∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．
【例2-2】已知：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD．
【分析】在AB上取AE＝AC．连接DE，可得△ACD≌△AED，得出ED＝CD，进而通过线段之间的转化即可得出结论．
【解析】证明：方法1：在AB上取AE＝AC，连接DE，
∵AE＝AC，∠1＝∠2，且AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B＋∠BDE，
∴∠B＝∠BDE，
∴EB＝ED，即△BED为等腰三角形．
∴BE＝ED＝CD，
∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的性质等问题，能够利用全等三角形的性质求证一些简单的问题．
【例2-3】如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求证：DE＝DF．
【分析】在AB上截取AG＝AF，先证明△AGD≌△AFD，得出∠AGD＝∠AFD，DG＝DF；再根据角的关系求出∠4＝∠3，证出DE＝DG，即可得出结论DE＝DF．
【解析】证明：在AB上截取AG＝AF，连接DG，如图所示：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△ADG与△ADF中，
AG＝AF，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△AGD≌△AFD（SAS）
∴∠AGD＝∠AFD，DG＝DF
又∵∠AED＋∠EDF＋∠DFA＋∠FAE＝360°，∠EDF＋∠BAC＝180°．
∴∠AED＋∠AFD＝180°，
又∠4＋∠AGD＝180°，
∴∠4＝∠3，
∴DE＝DG，
∴DE＝DF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、角的平分线的定义、等腰三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰三角形是解决问题的关键．
针对性训练2
1 .已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．
【答案】AB=AC+BD，证明见详解．
【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵，∴∠F=∠CAF，
∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，
∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，
∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．
如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析；(2)AE+CD=AC，证明见解析
【解析】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
(2)解：AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，∴，
∵AO=3OD，∴，∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．
巩固提高
1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°，求证：EF=AE+CF。
【答案】：方法一：补短法
延长CF至点G，使CG=AE，连接GB
在△CBG与△ABE中 ∴△CBG≌△ABE∴GB=EB，∠GBC=∠ABE
∵∠D=60°，∠BCD=∠BAD=90°∴∠CBA=120°∴∠GBE=120°∵∠FBE=60°∴∠GBF=60°
在△GBF与△EBF中 ∴△GBF≌△EBF∴GF=EF∴CF+AE=EF
方法二：旋转法
如图，将△BAE以B点为旋转中心，旋转120°至△BCG处
∵△BCG为△BAE旋转120°所得 ∴△BCG≌△BAE，∠GBE=120°∴GC=AE，BG=BE
∵∠FBE=60°∴∠GBF=60°
在△GBF与△EBF中 ∴△GBF≌△EBF∴GF=EF∴CF+AE=EF
2．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【答案】证明见解析．
【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．
【解析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
3．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？
小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是　 　．
（2）拓展应用：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；证明见解析．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．
【解析】（1）EF＝BE+DF，理由如下：
在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，
∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，如图2，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，
∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4.如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析；(3)∠BAC=60°，理由见解析
【解析】(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)，∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
5 .已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．
（1）如图2，若，且，则________，_______．
（2）求证：．
（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）
【详解】（1）∵，且，
∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，
又∵是的平分线，∴∠BAD=∠CAD=18°，
∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案为：36，126
（2）在上截取，连接，
又∵AE=AE，，∴，∴，
∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴
∴；
（3）∵，∴，
∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，
∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴点E到CA、CB的距离相等，
又∵是的平分线，∴点E到AC、AB的距离相等，
∴点E到BA、BC的距离相等，∴是的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，∴，
又∵，∴，
即．
6.如图①，是四边形的一个外角，//，，点在的延长线上，，，垂足为．
(1)求证：①平分；②．
(2)如图②，若，，．求的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)90°
【解析】(1)解：①∵ADBC，∴∠C=∠CDE，
∵BC=BD，∴∠C=∠CDB，
∴∠CDB=∠CDE，∴DC平分；
②如图，过点F作FH⊥BD，交BD延长线于H，
∵∠FDG=∠CDE，∠FDH=∠CDB，∠EDC=∠CDB，∴∠FDG=∠FDH，
∵FG⊥AE，FH⊥BD，∴FH=FG，∠H=∠FGD=∠AGF=90°,
∵FD=FD，∴Rt△FHD≌Rt△FGD（HL），∴DH=DG，
∵，∴FB=FA，
∴Rt△FHB≌Rt△FGA（HL）∴BH=AG，
∵BD=BC，∴AG=BH=BD+DH=BC+DG，即AG=BC+DG；
(2)解：∵AB=4，BC=3，DG=1，
∴BD=BC=3，AG=BC+DG=3+1=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∵AB2+BD2=42+32=52=AD2，∴∠ABD=90°，
过点F作FM⊥AB于M，交AD于N，如图，
则∠AMF=∠BMF=90°=∠ABD，∴FMBD，∴∠BFM=∠FBD，
∵，∴FB=FA，
∴AM=AB=2，∠AFM=∠BFM，∴∠AFM=∠FBD，
由（1）②知，Rt△FHB≌Rt△FGA，
∴∠FAG=∠FBD，∴∠FAG=∠AFN，
∵FMBD，∴∠MFD=∠BDC，
∵∠BDC=∠CDE=∠FDG，∴∠MFD=∠FDG，
∴∠AFM+∠FAG+∠DFN+∠FDG=180°，
∴2∠AFM+2∠DFN=180°，
∴2∠AFD=180°，∴∠AFD=90°．
7 .已知：在四边形中，于E，且．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分交于F，点G在上，连接，且．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，过点F作，且，若，求线段的长．
【答案】(1)120°；(2)见解析；(3)3．
【解析】(1)解：如图1，取AD的中点F，连接EF，
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴AD=2AF=2EF，
∵AD=2AE，∴AE=EF=AF，∴∠CAD=60°，∵∠B+∠CAD=180°，∴∠B=120°；
(2)证明：如图2，作FM⊥BC于M，FN⊥AB于点N，
∴∠BMF=∠BNF=90°，∠GMF=∠ANF=90°，
∵BF平分∠ABC，∴FM=FN，
在Rt△BFM和Rt△BFN中，，∴Rt△BFM≌Rt△BFN（HL），∴BM=BN，
在Rt△FMG和Rt△FNA中，，∴Rt△FMG≌Rt△FNA（HL），
∴MG=NA，∴BN+NA=BM+MG，∴AB=BG．
(3)如图3，
连接AG，DF，DG，作FM⊥BC于M，延长GF交AD于N，
∵AF=AD，∠DAE=60°，∴△ADF是等边三角形，∴∠AFD=60°，AF=DF，
∵GF=AF，∠DFC=180°-∠AFD=120°，∴AF=GF=DF，
∴∠FGD=∠FDG，∠FAG=∠FGA，∴∠AGD=∠AFN+∠DFN=∠AFD=×60°＝30°，
∵∠ADC=120°，AD=DG，∴∠DGA=∠DAG==30°，
∴∠DGC=180°-∠DGA-∠AGD=180°-30°-30°=120°，
∴∠DGC=∠DFC，
∵∠1=∠2，∴180°-∠DGC-∠1=180°-∠DFC-∠2，
∴∠GCF=∠FDG，∠DCF=∠FGD，∴∠GCF=∠DCF，
∵FH⊥CD，∴FM=FH，
∵∠FMG=∠FHD=90°，∴Rt△FMG≌Rt△FHD（HL），∴DH=MG，
同理可得：△MCF≌△HCF（HL），
∴CM=CH=2CG，∴GM=CG=DH，∴3CG=CD=，∴GM=CG=，
∴BM=BG-GM=AB-GM=5-=，
在Rt△BFM中，∠BFM=90°-∠FBM=90°-60°=30°，
∴BF=2BM=3．
8 .如图所示，是的高，点H为的垂直平分线与的交点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1
【详解】解：（1）连接，
∵H为的垂直平分线与的交点，∴，，
∵，∴，∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
在中，，
∴
∴，即平分，
在上截取，连接，
在和中，，
∴，
∴，AB=AG，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）在上截取，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
又∵，．
∴．∵
∴ ，∴
∴，∴
∴．
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