勾股定理

§14.1 勾股定理
（一）直角三角形三边的关系
学习目标
1、能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单问题.
2、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.
3、通过定理的学习感受勾股定理的悠久历史，激发学习数学的热情.
学习重点、难点
重点：探究、了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：从多个角度探究勾股定理。
学习准备 刻度尺 多媒体课件
学习过程
背景知识展播 分组上台展示自己搜集的资料
课题引入
1、请欣赏一张2002年在北京举行的国际数学家大会会标图，请仔细观察这个图形，它有什么数学意义呢？
2、小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小
明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？（我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度）
三、新课学习 合作探究 大胆猜想
1、试一试 （课本第48页）
2、阅读课本第48页图14.1.1
3、观察课本49页图14.1.2回答
①你能求出正方形R的面积吗？
②你能发现图中三个正方形P，Q，R的面积之间有什么关系吗？
③你能用直角三角形的边长a、b、c表示图中正方形的面积吗？
你能发现图中直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
完成49页“试一试”填空
4、在下页方格纸上完成在方格纸上,画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,仿照上面的方法计算以直角边、斜边为一边的正方形的面积. 你又有什么发现？
5、从我们实验的大量数据中，你对直角三角形三边的数量关系有什么猜想？
三、定理概括
勾股定理 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c
那么
我国古代称直角三角形较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
于是，根据勾股定理，如果知道了直角三角形任意两边的长度，那么应用定理就可以计算出第三边的长：① ② ③
四、定理的简单应用 分层练习巩固
1、引入问题的解决
2、阅读教材50页 “例1”
3、已知：四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝90o,AD＝3，AB＝4，BC＝12.求：DC的长。
4、（A组）在Rt△ABC中,
∠C=90°ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b.
1)已知:a=12,b=5, 则c=_____;
2)已知:a=6,c=10,则b=_____;
3)已知:b=15,c=25,则a=_____;
4)（选做）已知c=，b=2n，则a=____
5、（A组）已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B=Rt∠，则有关系式（ ）
A B C D
6、（B组）如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长度为 （ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
7、（B组）池塘的两端有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 （ ）
A. 50米 B.120米 C.100米 D.130米
8、（C组）在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
六、小结
（回答）通过这节课的学习：
你都学到了些什么？
有哪些地方还是让你感到疑惑的？
你想知道有关勾股定理的证明吗？
七、作业
1、（A组）在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5， c=13，则=b________；
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
2、（B组）组若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
3、(C组)如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,
求：（1），AC的长； （2）⊿ABC的面积； （3）CD的长。
4、查阅搜集有哪些勾股定理的证明方法。
你能不能自己去画一画、拼一拼，设计一种方案去验证勾股定理？
课件30张PPT。勾股定理abc勾股定理bac14.1.1直角三角形三边的关系
2002年世界数学家大会会标 两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾 股 世 界国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。弦勾 股 弦
3 4 5
6 8 10
5 12 13
……勾2+股2=弦2勾股美国第二十任总统伽菲尔德的证法：
美丽的勾股树 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？引入下图是正方形瓷砖拼成的地面，观察
图中用阴影画出的三个正方形，思考: ①正方形P、Q、R的面积有什么关系？②三角形ABC的三边有何关系？SP+SQ=SR（1）图1中正方形Q的面积是 个单位面积。 (2) 正方形P的面积是
个单位面积。(3)正方形R的面积是
个单位面积。16925合作 探究探索1 你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ 结论1 SP+SQ=SR
探索2 你能用直角三角形的边长表示图中正方形的面积吗？探索3 你能发现图中直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？acb 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积。acbSP+SQ=SR 观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？a2+b2=c2┏a2+b2=c2acb 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股弦 勾股定理(毕达哥拉斯定理)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系． 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？∴售货员没搞错∵想一想荧屏对角线大约为74厘米例1 如图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）运用勾股定理可解决直角三角形中边的计算或证明 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．
即：知道直角三角形的任意两边的长，就可以求出另一条边的长。Rt⊿ABC中，c为斜边长，a、b为两直角边长，则有abc∵∠DAB＝90o
∴在Rt△ABD中，
BD2＝AD2＋AB2 ＝32＋42 ＝25
∴ BD＝5 同理可得 DC＝13解：运用勾股定理可解决直角三角形中边的计算或证明已知：四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝90o,AD＝3，AB＝4，BC＝12 求：DC的长。定理应用:
在Rt△ABC中,
∠C=90°.
1)已知:a=12,b=5, 则c=_____;
2)已知:a=6,c=10,则b=_____;
3)已知:b=15,c=25,则a=_____;
4)已知c=n2+1，b=2n，则a=____n2-113820通过这节课的学习：你都学到了些什么？
有哪些地方还是让你感到疑惑的？
你想知道有关勾股定理的的证明吗？选一选 已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B=Rt∠(即∠B为直角)，则有关系式（ ）A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2B１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( )A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米C３４２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为( )A.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120?A3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?x+1BCAH12?┓xx2+22=(x+1)2盛开的水莲3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?x+1BCAH12?┓xx2+22=(x+1)2作业查阅有哪些勾股定理
的证明方法。
你能不能自己去画一画、拼一拼，设计一种方案去验证勾股定理？由（2），证法一：证法二：“勾股圆方图”cb ? a c2 = (a ? b)2 + 4(?ab)
= a2 ? 2ab + b2 + 2abba? a2 + b2 = c2美国第十七任总统的证法无字证明 abc无字证明青出华罗庚青朱出入图 §14.1 勾股定理
（一）直角三角形三边的关系
授课人：曹灵灵
教学目标
1、能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单问题.
2、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.
3、通过定理的学习感受勾股定理的悠久历史，激发学习数学的热情.
教学重点、难点
重点：探究、了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：从多个角度探究勾股定理。
教学准备 刻度尺 多媒体课件
教学过程设计
背景知识展播 激发学生探究欲望和学习兴趣
勾 股 世 界（学生分组上台展示自己搜集的资料）
我国是最早了解勾股定理的国家之一。在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。这就是商高发现的“勾股定理”。因此在中国，勾股定理又称“商高定理”，在西方国家，勾股定理又称“毕达哥定理”。但毕达哥发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国古代人民对人类贡献的杰出。
图（1）1955年希腊曾经发行的纪念一位数学家的邮票。
图（2）美丽的勾股树
2、勾股趣事
古今中外,无数的数学家对勾股定理进行了充分的研究,其中也有很多的有趣的故事,下面有一些勾股趣事，当然同学们也可以通过上网去了解。
①最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。
②中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段
周公向商高请教数学知识的对话－－“勾股术”，并且
还记载了勾股定理的一般形式。 （）
③美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传
为佳话．
④2002年，在北京举行的国际数学家大会会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图。
二、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
1、请同学们欣赏一张2002年在北京举行的国际数学家大会会标图，那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．
2、引入：
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小
明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？（我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度）
这节课我们来学习一个重要定理——勾股定理，及如何用勾股定理来解决这个问题。
三、新课讲解 教师引导 学生合作探究 结论猜想
1、试一试 （课本第48页）
2、阅读课本第48页图14.1.1 得出等腰直角三角形的三边关系。
3、观察课本49页图14.1.2回答
①你能求出正方形R的面积吗？
②你能发现图中三个正方形P，Q，R的面积之间有什么关系吗？
③你能用直角三角形的边长a、b、c表示图中正方形的面积吗？
你能发现图中直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
4、完成49页“试一试”的填空
5、在课本第50页方格纸上完成在方格纸上,画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,仿照上面的方法计算以直角边、斜边为一边的正方形的面积. 你又有什么发现？
6、从我们实验的大量数据中，你对直角三角形三边的数量关系有什么猜想？
（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。）
四、定理概括
由此，我们证明得到一个揭示了直角三角形三边关系的重要定理——勾股定理 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c
那么
我国古代称直角三角形较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
于是，根据勾股定理，如果知道了直角三角形任意两边的长度，那么应用定理就可以计算出第三边的长：① ② ③
五、定理的简单应用 分层练习巩固
1、引入问题的解决
于是，我们可以运用勾股定理解决课前提出的问题：
由于 荧屏对角线大约为74厘米，所以售货员没有搞错。
2、学生阅读教材50页 “例1”，师板书，作讲解。
3、例2 已知：四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝90o,AD＝3，AB＝4，BC＝12.求：DC的长。
4、（A组）在Rt△ABC中,（注：A组题为基础题；B组为中等难度题；C组题为拔高题）
∠C=90°ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b.
1)已知:a=12,b=5, 则c=_____;
2)已知:a=6,c=10,则b=_____;
3)已知:b=15,c=25,则a=_____;
4)（选做）已知c=，b=2n，则a=____
5、（A组）已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B=Rt∠，则有关系式（ ）
A B C D
6、（B组）如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长度为 （ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
7、（B组）池塘的两端有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 （ ）
A. 50米 B.120米 C.100米 D.130米
8、（C组）在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
六、小结
（提问）通过这节课的学习：
你都学到了些什么？
有哪些地方还是让你感到疑惑的？
你想知道有关勾股定理的证明吗？
七、作业
1、（A组）在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5， c=13，则=b________；
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
2、（B组）组若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
3、(C组)如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,
求：（1），AC的长； （2）⊿ABC的面积； （3）CD的长。


4、查阅搜集有哪些勾股定理的证明方法。
你能不能自己去画一画、拼一拼，设计一种方案去验证勾股定理？