湖南省怀化市雅礼实验学校2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题（pdf版无答案）

高二数学入学考试试卷
一．选择题（共 8小题）
1．已知 、 和 均为非零向量，①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若
，则 ．上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n
3．若一个圆锥的底面面积为π，其侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2 2 2
*4．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，已知 b +c ＝a +bc，b＝2，则△ABC的面积 S的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙 3人端午节来徐州旅游的概率分别是： ， ， ，假定 3人的行动相互
之间没有影响，那么这段时间内至少有 1人来徐州旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
*6．如图，在△ABC中，点 D，E分别在边 AB，BC上，且均为靠近 B的四等分点，CD与
AE交于点 F，若 ，则 3x+y＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．
7．已知某 19个数据平均数为 5，方差为 2，现加入一个数 5，此时这 20个数据的平均数为
2
，方差为 s ，则（ ）
2 2 2 2
A． ＝5，s ＝2 B． ＝5，s ＞2 C． ＝5，s ＜2 D． ＞5，s ＜2
8．把边长为 的正方形 ABCD沿对角线 AC折成直二面角 D﹣AC﹣B，则三棱锥 D﹣ABC的外接球的球心到平
面 BCD的距离为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共 4小题）
9．在一个试验模型中，设 A表示一个随机事件， 表示 A的对立事件．以下结论正确的是（ ）
第 1页（共 1页）
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A． B． C．若 P（A）＝1，则 D．
*10．在△ABC中，D在线段 AB上，且 AD＝5，BD＝3，若 CB＝2CD，cos∠CDB＝﹣ ，则（ ）
A． B．△ABC的面积为 8 C．△ABC的周长为 D．△ABC为钝角三角形
11．如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 2，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线 BC与平面 ABC1D1所成的角等于 B．点 A1到面 ABC1D1的距离为
C．两条异面直线 D1C和 BC1所成的角为 D．三棱柱 AA1D1﹣BB1C1外接球表面积为 3π
12．阅读数学材料：“设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点 P 处的离散曲率为
，其中 Qi（i＝1，2，…，k，k
≥3）为多面体M的所有与点 P相邻的顶点，且平面 Q1PQ2，平面 Q2PQ3，…，平面 Qk﹣1PQk
和平面 QkPQ1为多面体M的所有以 P为公共点的面．“解答问题：已知在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，底面
ABCD为菱形，AA1＝AB，则下列结论正确的是（ ）
A．直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 AC＝BD，则直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1在顶点 A处的离散曲率为
C．若四面体 A1ABD在点 A1处的离散曲率为 ，则 AC1⊥平面 A1BD
D．若直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1在顶点 A处的离散曲率为 ，则 BC1与平面 ACC1所成角的正弦值为
三．填空题（共 4小题）
13．已知复数﹣5+i与﹣3﹣2i分别表示向量 和 ，则表示向量 的复数为 ．
14．有 10种不同的零食，每 100克可食部分包含的能量（单位：J）如下：100，120，125，165，430，186，
175，234，425，310．这 10种零食每 100克可食部分的能量的第 60百分位数为 ．
*15．三棱锥 A﹣BCD的 4个顶点都在球 O的表面上，已知△BCD是边长为 的等边三角形，AB⊥平面 BCD，
AB＝2，则球 O的表面积为 ．
16．如图，在平面中，圆 O是半径为 1的圆，OA＝2，设 B，C为圆上的任意 2个点，则
的取值范围是 ．
四．解答题（共 6小题）
*17．为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展．本次
大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得
到如下统计表和频率分布直方图：
第 2页（共 2页）
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组数 速度（千米/小时） 参赛人数（单位：人）
少年组 [6，8） 300
成年组 [8，10） 600
专业组 [10，12] b
（1）求 a，b的值；
（2）估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到 0.01）；
（3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取 6人，再从这 6人中随机抽取 2人接受采访，求接受采访的 2人都
来自“成年组”的概率．
2
18．已知向量 ＝（2 ，﹣4）， ＝（sin2x，sin x﹣ ），x∈（0， ）．
（1）若 x＝ ，求 与 的夹角的余弦值；
（2）若 ⊥ ，求 sin（x﹣ ）的值．
19．在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求角 A；
（2）若 D为边 BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB＝2∠ACB，求 的取值范围．
第 3页（共 3页）
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20．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为 AC的中点，
PO⊥平面 ABCD，PO＝2，M为 PD的中点．
（1）证明：PB∥平面 ACM；
（2）求直线 AM与平面 ABCD所成角的正切值．
21．如图，在平面四边形 ABCD中，AB⊥AD， ，AB＝1．
（1）若 ，求△ABC的面积；
（2）若 ， ，求 tan∠CAD．
22．如图，三棱锥 P﹣ABC中，平面 PAC⊥平面 ABC，∠ABC＝ ，点 D、E在线段 AC上，且 AD＝DE＝EC
＝2，PD＝PC＝4，点 F在线段 AB上，且 EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面 PFE．
（Ⅱ）若四棱锥 P﹣DFBC的体积为 7，求线段 BC的长．
第 4页（共 4页）
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