2014年河南省高中数学优质课大赛
人教A版 选修1-1
《双曲线及其标准方程》
教学设计说明
鹤壁高中 乔肖燕
【教材内容本质】
本内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书选修1-1第2章第2节双曲线的第一课时，双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，教材中的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，最后学习抛物线，这样设计使得学生在学习双曲线时，前有椭圆知识及学习方法的铺垫，后有抛物线学习的延续，有利于学生学习和掌握．
本课的主要学习内容有：①实物感知双曲线图形，学习双曲线的概念； ②推导双曲线标准方程； ③学习标准方程的简单求法.
【教材地位和作用】
双曲线作为圆锥曲线中最复杂的一种，常常与圆、不等式、向量等知识交汇，形成综合问题，这类问题往往视角独特，情境新颖.多涉及轨迹问题、定值问题、最值问题、范围问题等，而且考查的知识点都不是单一的，用来考查学生综合运用知识去分析问题和解决问题的能力.所以双曲线的学习是对学生综合能力的一种提高.
【教学目标分析】
知识与技能目标：
通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；
通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程.
过程与方法目标：
通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生观察分析抽象的能力，体验解析思想，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣；
情感、态度与价值观：
学生在掌握知识，发展能力的过程中，增强自信心，追求务实性，培养动手和动脑意识，在这样的过程中体会到学习的乐趣.
【教学问题诊断】
学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法，而双曲线问题，它与椭圆问题有类似性，知识的正迁移作用可在本节课中充分显示．也就是说，学生在经过前期解析几何的系统学习，已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力，学习本课已具备一定的基础．
在学习过程方面，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性，因此学生概括起来有更高的难度．
在理解定义方面，对于为什么需要加绝对值；有什么样的关系，这样的关系从何而来，从而导致与的有怎么样大小关系；距离之差的绝对值这一常数的取值范围是什么，为什么要有这样的范围限定，对于不符合这个范围的常数，点的轨迹会是什么等等这些问题，都要比椭圆复杂一点，在今后的学习过程中，这三点都属于易错点，因此，教师有责任提醒学生关注这些细节，当然了，也可以让学生在实践的过程中自己发现这些问题，从而加深自己对定义的理解和把握.
求解双曲线的标准方程是一个重点，本节课只是初步涉及，对定义的考查也会渗透到标准方程的求解过程中，但学生利用定义的意识不够强烈，教师要引导学生多思考，少算算，注重方法.
另外，与椭圆除了本身内容的区别之外，初中所学的反比例函数图象在学生的头脑里有一个原有认知，而这个认知对于现在的学习会产生一定帮助的同时，其方程形式的不同也会带来一定的认知冲突．但在本节课我的安排是暂不涉及这个问题的解释，在以后的学习过程中会提到这一问题，让学生明白初中时学习的双曲线并不是今天我们所学习的“标准”的双曲线.
【教法特点分析】
本节课我主要采用启发、探究式教学，让学生在探索的过程中发现特征，总结规律，这一点主要体现在以下两个环节：
引入双曲线定义
教师手动演示拉链动画，学生仔细观察，总结动点在运动过程中满足的特征：
靠近的一支满足
靠近的一支满足
剖析双曲线的定义
定义中我给学生强调要注意三点，其中的第三点是讨论常数的取值范围，我没有生硬地给出，而是由学生小组讨论得出，我认为主动发现要比被动接受效果好得多.也许有些同学不能够把全部情况讨论清楚，但是团结起来力量大，可以结合多组讨论的结果对问题进行总结,问题一定能够得到圆满的解决.
另外，在例题和课堂练习这些环节，我设计的是以学生动手为主，数学中的计算也是一种很重要的能力，解析几何的考查以计算量大为一个特点，因此，要充分让学生动手计算，培养运算能力，这样也可以提高学生上课的学习效果.
我采用了多媒体辅助教学，利用现代信息技术增强课堂的趣味性，提高课堂教学效果.
【预期效果分析】
本节课我的设计理念以调动学生的积极性为主线，充分体现学生的主体作用，让学生在学习的过程中一定要“动”起来，这个“动”体现在脑动、手动、嘴动三个方面.通过“动”起来，学生能够达到以下几个目标：
理解掌握定义中的要点，不仅要“知其然”，还要知其“所以然”；
推导双曲线的标准方程时最关键的一步是化简，这一步要学生自己动手，目的不仅仅是提高学生的运算能力，更要让学生明白，再复杂的事情，只要自己肯动脑，讲究方法，就一定能够克服困难，解决问题;
对于定义，要在理解的基础上把定义运用到解题中去，我设计的例题和课堂练习中都有对定义的考查，让学生明白定义不仅仅是一个知识点，更是一个解决问题的强有力的工具.
课件15张PPT。双曲线及其标准方程鹤壁高中数学组 乔肖燕学习难点：
双曲线标准方程推导过程中的化简.学习目标：
1.了解双曲线的定义及几何图形；
2.掌握双曲线的标准方程的两种形式；
3.学会利用定义去求解双曲线的标准方程,
并提高自身的运算能力.学习重点：
双曲线的定义和标准方程；
不同的条件下双曲线的标准方程的求法.冷 却 塔 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数
的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.定义中“绝对值”三个字去掉后点的轨迹是什么？一、双曲线的定义定义剖析:新课讲授 通常情况下，我们把|F1F2|记为 ；常数记为 .（小于|F1F2|）显然,点的轨迹是双曲线的一支.1.注意“平面内”三个字.轨迹为直线F1F2上且以F1、F2为端点向外的两条射线.此时轨迹不存在.此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线.3.常数是否有范围限制？新课讲授①若常数等于|F1F2|，则轨迹是什么？②若常数大于|F1F2|，则轨迹是什么？③若常数等于0，则轨迹是什么？ 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数
的点的轨迹叫做双曲线.一、双曲线的定义 小于|F1F2|在不满足这一条件的情况下，点的轨迹会是什么？二、双曲线的标准方程① 建系 ② 设点设 是双曲线上任一点， 焦距为 ,那么焦点
再设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 .③ 写出限制条件新课讲授以直线 为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系.④ 代入数据，列出等式将上述方程化为： ⑤化简整理得： 由双曲线定义知 即两边同时除以 得：其中这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在 轴上，焦点是 类比焦点在x轴上的双曲线的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？如何判断双曲线的焦点所在轴? 焦点在系数为正数的轴上.因此，双曲线的标准方程为例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.根据已知条件，|F1F2|=10,||PF1|-|PF2||=8，例题讲解解：因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为故 那么变式训练2、已知F1(-5,0), F2(5,0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=8.求点P的轨迹方程.例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.变式训练3、已知F1(-5,0), F2(5,0)，动点P满足||PF1|-|PF2||=10.求点P的轨迹方程.变式训练1、已知F1(0,-5), F2(0,5)，动点P满足||PF1|-|PF2||=8.求点P的轨迹方程.例题讲解例2.已知双曲线的焦点是 ,且经过点M(2,-5). 求双曲线的标准方程.解法一:又因为双曲线经过点M(2,-5),方程联立可求得:因此，双曲线的标准方程为由题意知由题意知,双曲线的焦点在 轴上,所以设双曲线
的标准方程为例题讲解例2.已知双曲线的焦点是 ,且经过点M(2,-5). 求双曲线的标准方程.解法二:由双曲线的定义知:双曲线的标准方程是:双曲线的焦点在 轴上例题讲解课堂练习1、已知双曲线的焦点在坐标轴上，a=7,b=3,则双曲线的标准
方程是 .
848页练习1、2；
54页习题2.2 A组1、2题;
自己动手制作表格，列出椭圆与双曲线的区别和联系.课堂小结课后作业1、双曲线的定义2、双曲线的标准方程的两种形式3、双曲线的标准方程的求解方法
2014年河南省高中数学优质课大赛
人教A版 选修1-1
《双曲线及其标准方程》
教学设计
鹤壁高中 乔肖燕
课题：双曲线及其标准方程
授课人：河南省鹤壁市鹤壁高中 乔肖燕 2014年4月
【教材内容分析】
本节课是高中数学选修1-1第二章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学生理解和掌握.
【学情分析】
知识结构分析：
学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系.
能力体系分析：
本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算能力.
【教学目标】
通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；
通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；
通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生的观察和分析能力，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣.
【教学重点】
双曲线的定义；
双曲线标准方程的两种形式.
【教学难点】
双曲线标准方程的推导方法及化简过程.
【教具准备】
多媒体投影仪，几何画板动画
【教学方法】
采用启发、探究式教学.
【教学环节】
教学环 节
教学内容
师生活动
设计意图
(一)
创
设
情
境
，
感
知
图
形
回顾初中时学习过的反比例函数的图像；
观察电厂的冷却塔图片，它的轴截面的外轮廓就是双曲线的一部分.
教师引入，学生回忆初中所学内容；
多媒体展示图片，学生观察，实物感知双曲线的形状.
教师引入课题，告知学生本节课的学习目标、学习重点和学习难点.这一段可由一名学生代表阅读.
通过学生熟悉的知识以及生活中的实例让学生感知双曲线的形状，这样的两个例子简单、生动，学生易于接受.
(二)
动
画
演
示
，
引
入
定
义
双曲线是如何形成的？可以如何给双曲线下定义？借助经典的拉链动画，引导学生总结动点在运动过程中的特征，从而引入双曲线的定义.
教师手动演示双曲线的形成过程，先演示靠近的一支，由学生总结动点特征:
并解释为什么有这样的特征:随着拉链的闭拢和拉开，两条线段减小或增加的量相等，所以差值始终是同一个常数.
再演示靠近的那一支，仍然由学生总结特征:
接着，强调以上两个常数是相等的，两支曲线合在一起叫做双曲线，引导学生把两个式子合二为一:
并把数学式子转化成自然语言，概述双曲线的定义：平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线.(此处暂时不说常数的范围.)
充分调动学生的积极性，突出学生的主体地位，并且通过总结特征提高学生的语言表达能力，对图形的认知能力.
学生概述定义时往往会漏掉常数的范围，这个问题暂时保留，下一个环节来解决。
保留常数的范围这一问题，由学生自己发现，方能印象更加深刻.
教学环 节
教学内容
师生活动
设计意图
(三)
剖
析
定
义
，
夯
实
基
础
剖析定义中的要点：
①“平面内”三个字容易漏掉，去掉后不严谨；
②由学生发现“绝对值”三个字的重要性；
③常数是不是像椭圆中一样有范围限制？如果有的话，是什么？为什么？
刚才给出定义时没有加上常数的范围，定义叙述不完整，所以现在要对定义进行补充，确保定义的严谨性.最终双曲线的定义为：
平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下，焦距用表示，常数用表示，显然这里有
第一点教师做提醒；
第二点要点拨学生去掉“绝对值”三个字后点的轨迹会是什么，学生慎重考虑后应该能够找到正确答案:去掉绝对值后轨迹变成了双曲线的一支.之后教师提醒学生做题时需注意这一点；
第三点由学生分组去讨论，然后派代表说明本组的讨论结果，直至解决问题,得到结论：
①常数等于时，点的轨迹是直线上以为端点向外的两条射线；
②常数大于时，点的轨迹不存在；
③常数等于0时，点的轨迹是线段的垂直平分线.
以双曲线和椭圆作比较，两类曲线中和的大小关系不同，在椭圆中，而在双曲线中，要提醒学生注意.
学生的表达往往不严谨，“平面内”这三个字是很容易被忽略的，所以教师要强调.第二点学生略作思考，就能够意识到这三个字的重要性；第三点对学生而言最为困难，如果强硬给出的话，学生被动接受，不利于学生的理解和掌握，所以我采取小组讨论的做法，由学生自己得出范围，加深学生对范围的理解.
(四)
类
比
椭
圆
，
推
导
方
程
回顾椭圆的标准方程的推导步骤，推导双曲线的标准方程. 标准方程为
其中
椭圆的标准方程有两种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程：
其中
两种形式的标准方程，应该如何判断焦点所在轴？
学生思考并做答：在等式右边是1或其它正常数时，焦点在系数为正数的轴上.这与椭圆判断焦点所在轴的方法也不一样，同样要给学生强调.
学生刚刚学习过椭圆，对椭圆的标准方程的推导过程印象比较深刻，用同样的步骤推导双曲线的标准方程：
①建系
以直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.
②设点
设双曲线上任意一点坐标为，焦距为则常数记为.
③写出限制条件
④列出等式
⑤化简这一步由学生自己动手完成，并且找一个学生演板，最终化简为
像椭圆一样，为了使双曲线方程的形式更加简洁，结合
可设其中(意义讲性质时再涉及).于是双曲线的方程可化为这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程，焦点坐标为
双曲线与椭圆标准方程中的关系不同，要给学生强调，这也是今后在做题过程中学生易混淆的地方.
培养学生的运算能力.
通过双曲线与椭圆的对比，学生可以加深对两种曲线的理解.
(五)
例
题
讲
解
，
学
以
致
用
例1、已知双曲线的焦点
双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.
对例题的条件进行修改，得到如下三个变式训练：
已知
动点满足
求点的轨迹方程.
已知
动点满足求点的轨迹方程.
已知
动点满足
求点的轨迹方程.
例2、已知双曲线的焦点
且经过点
求双曲线的标准方程.
例1难度系数不大，给学生适当的时间，自己去做，一般情况下学生会在练习本上直接写出本题的正确答案，所以教师要通过投影给出规范的解题步骤.
三个变式均是对定义的考查，如果学生对定义中的要点理解到位，就可以顺利地把三个变式求解出来.
教师要强调双曲线的一支方程和变式训练3中两条射线的方程应如何表示，这是易错点.
例2较之例1难度略大，计算量也稍大，所以要给学生充分的思考时间.这道题由两个学生演板，一般情况下学生会利用和双曲线过点列方程求解，这一方法思路自然，运算较繁；有些数学程度较好并且善于思考的同学会想到利用定义求出即，再利用即可求出从而双曲线的方程得以求出，这一方法相对来讲计算量较小，而且紧扣本节课的学习重点.要给学生强调定义的重要性.
本节课的重点就是双曲线的定义及标准方程，而定义中的要点一是绝对值，二是常数的范围，设计例1就是要使学生正确把握定义，正确理解定义.
例2让学生演板，体现了学生在课堂上的主体作用，两种方法的对比会让学生明白解题时技巧的重要性，从而引导学生在日常学习中一定要多动脑思考，不止为做题而做题，一道题目有多种解法时，可权衡一下哪一种解法更有利于节省时间，提高效率.
(六)
课
堂
练
习
，
沙
场
练
兵
1、已知双曲线的焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为 .
2、过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，为其右焦点，的值等于 .
3、在中，
动点满足
则动点的轨迹方程为
.
教师通过投影打出三道题目，学生自己审题，动手计算.然后教师提问学生回答自己计算得到的答案:
1、或
2、8.
3、
学生动手去做，通过学生的做题状况教师能够看出学生对本节课知识点的掌握情况，三道练习题由浅入深，层层深入，使学生体会到学习的快乐和收获.
第3题稍有难度，用到了正弦定理，有些学生可能会不明白为什么要有这一点涉及到双曲线的性质，正好为学习双曲线的性质做铺垫.
(七)
课
堂
小
结
，
整
理
收
获
请同学们回顾本节课我们所学习的主要内容.
由学生自己总结本节课的收获：
①双曲线的定义；
②双曲线的标准方程的两种形式；
③双曲线标准方程的求解方法.
学生叙述不完整或不准确的地方，教师予以补充或纠正，同时提醒学生要牢记定义.
学生总结，加深理解，印象深刻，形成学生自己的认知结构.突出重点，抓住关键，培养学生的概括能力.
(八)
课
后
作
业
，
及
时
反
馈
课本第48页练习1、2；
课本第54页习题2.2A组1、2；
自己动手制作表格，列出椭圆与双曲线的区别和联系.
课下独立完成，同学之间交流
检验学生课内的掌握情况，并让学生明白，学习不仅仅是课堂上的事，课下的时间自己要合理支配，科学安排.
附：
板
书
设
计
投
影
仪
大
屏
幕
双曲线及其标准方程
双曲线的定义 学生演板：
双曲线标准方程的推导
即 学生演板（两名学生）：
双曲线的标准方程 例2的求解过程
其中，
【教后心得】
本章教材中的设计与老教材基本上没有太大变化，可以说，任何一个有几年教龄的高中教师，对本节课都是比较熟悉的，可是，要想讲好这堂课，还是需要花费很大功夫.本节课我自认为有可取之处，简述如下：
①课堂效果不错，学生热情高涨，能积极主动地思考并回答问题，和老师配合得很好；
②在讲解定义的过程中，我采用了暂时保留常数取值范围的做法，由学生自己讨论得出，而并非教师生硬的给出，学生被动接受，这样学生的学习效果更好；
③问题的设计环环相扣，吸引学生动脑思考；例题基本上全靠学生动手去做，学生在自己解决问题的过程中能够发现问题，及时解决，充分体现了学生在课堂上的主体作用.
当然，这节课肯定有不足之处，希望能得到各位前辈的指点，我会在探索中逐渐成长，在成长中不断进步，完善自己，为河南省乃至全国的教育事业贡献绵薄之力！最后，感谢各位评委耐心地读完我的教学设计，谢谢！你们辛苦了！
