21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共20张PPT)

(共20张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
学习目标
重点
难点
方程ax +bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
新课引入
(b -4ac≥0)
问题：求根公式是由一元二次方程的系数来表示的，那么除了这个特点之外，一元二次方程根和与系数之间还有什么其它关系？
你能将方程(x－x1)(x－x2)＝0 ( x1，x2为方程两根 ) 化为x2＋px＋q＝0的形式吗？x1，x2与p，q之间有什么关系
整理方程(x-x1)(x-x2)=0
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
一般形式
一次项系数p= - (x1+x2), 常数项q=x1 ·x2.
如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2，那么x1+x2= -p， x1 ·x2=q.
新知学习
一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）中， 它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
知识点
由求根公式知
思考
若 x1，x2是一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个根， 则有：
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
说明：b2-4ac≥0.
归纳
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0 ； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
　　　　　
二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 已知关于 x 的一元二次方程 x ＋ax＋a - 5 = 0，若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根.
解: 将 x = 1 代入方程得，1 + a + a - 5 = 0，
解得 a = 2.
由根与系数的关系可知，该方程的另一个根为 -3.
例2 已知x1，x2 是 一元二次方程 x ＋ax＋16 = 0的两个根， ，求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
解得 a = 8
例3 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x ＋4x - 3 = 0的两个根，利用根系数之间的关系，求下列各式的值.
(1) (2) (3) (4)
解：根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
常见求值公式变形
1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
1
-2
2.已知m，n为一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根，则m -mn+n
的值为（ ）
A.25 B. 27 C. 5 D. -5
A
随堂练习
3. 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0，
即 -8k + 4≥0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2
= 2k2 - 8k + 4 = 4.
解得 k1 = 0，k2 = 4.
∵ ，∴ k = 0.
4.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围；
解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+3)x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(2k+3)2-4k2>0，
解得 k>.
(2)若 ，求k的值.
(2)∵ x1，x2 是方程 x2+(2k+3)x+k2＝0 的实数根，
∴ x1+x2 =-(2k+3)，x1x2=k2，
∴ ，解得 k1=3，k2=-1.
经检验， k1=3，k2=-1都是原分式方程的根，
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1、 x2，那么
一元二次方程
的根与系数
的关系
内容
常见应用
课堂小结
谢谢
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