第五章 二元一次方程组
6．二元一次方程与一次函数
教学目标：
1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系；
2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；
3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法．
教学重点
二元一次方程和一次函数的关系；
教学难点
数形结合和数学转化的思想意识．
教学过程
一、设置问题情境
1．方程x+y=5的解有多少个？；；是这个方程的解吗？
2．点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y＝的图像上吗？
3．在一次函数y=的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=的图像相同吗？
二、新知探索
探究方程与函数的相互转化
内容：1．解方程组
2．上述方程移项变形转化为两个一次函数y= 和,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像（教材123页图5-1）．
3．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？
二元一次方程的解和相应的两条直线的关系：
（1）求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标．
（2）求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．
（3）解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．
总结：一般地，从图形的角度看，解一 ( http: / / www.21cnjy.com )个二元一次方程组就相当于确定相应两条直线交点的坐标．利用一次函数图像可以粗略估计两直线交点坐标也可以找到二元一次方程组的近似解．要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组．
三、二元一次方程组的解与函数图像之间的关系特殊情况
想一想
内容：在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象（教材124页图5-2）有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？
二元一次方程的解和相应的两条直线的关系
（1）观察发现直线平行无交点；
（2）小组研究计算发现方程组无解；
（3）从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成立；
（4）归纳小结：两平行直线的相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解。
四、练习
1．已知一次函数 y = 3x - 1 与 y = 2x 图象的交点是（1，2），求方程组
的解．
2．有一组数同时适合方程 x + y = 2 和 x + y = 5 吗？一次函数与的图象之间有什么关系？
3．求两条直线与和轴所围成的三角形面积．
4．如图，两条直线与的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
五、课堂小结
1．二元一次方程和一次函数的图像的关系；
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
2．方程组和对应的两条直线的关系：
方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；
两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；
3．解二元一次方程组的方法有3种：
（1）代入消元法；
（2）加减消元法；
（3）图像法． 要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解．
目的：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．
六、 作业布置
习题5．7
板书设计与教学反思
第４题第五章 二元一次方程组
5. 应用二元一次方程组——里程碑上的数
教学目标：
1．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型．
3．在解决问题过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想。
4.让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气．
教学重点
教学生会用图表分析数字问题。
教学难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
教学过程
一、课前导学
１．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙ.
２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：１００ａ＋１０ｂ＋ｃ.
３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：１００ａ＋ｂ.
４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：
１０００ａ＋ｂ.
5、小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？
１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；
１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；
１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 表达式
１２：００ x y 10x+y
１３：００ y x 10y+x
１４：００ x 0 y 100x+y
相等关系：１、１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７.
２、路程差：
１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），
１３：００－１４：００： （１００x＋y）－（ １０y＋x），
路程差相等：
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
根据以上分析，得方程组
x＋y＝７ ，
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
解方程组
x＋y＝７，
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
整理得
因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．
二、 范例学习
例1 ： 两个两位数的和是6 ( http: / / www.21cnjy.com )8，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，
在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为 100 x + y
；
在较大数的左边接着写上较小的数，所写的数可表示为 100 y + x
例2：有一个三位数，现将最左边的数字移到最右 ( http: / / www.21cnjy.com )边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．
分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：
百位数字 十位数字 个位数字 表达式
原数 x y 100 x + y
新数 y x 10 y + x
相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数
２．９百位数字＝两位数－３
解： 设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，
根据题意的得：
１００x＋y＝１０y＋x，
９x＝y－３.
解得 x＝４，
y＝3９.
答：原来的三位数是４３９．
三、 学习自测
1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7: ( http: / / www.21cnjy.com )00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是18 。
分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
时刻 十位数字 个位数字 表达式
７：００ x y １０x＋y
８：００ y x １０y＋x
９：００ ８（１０x＋y）
2．选一选
小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路 ( http: / / www.21cnjy.com )，另一段为下坡路。她跑步去学校共用了30分。已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时，下坡时的平均速度是12千米/时。问小颖上、下坡各多少千米？
Ａ．1.2，3.6；
Ｂ．1.8，3；
Ｃ．1.6，3.2．
分析：本题间接设未知数更简洁.
解：设上坡x时，下坡y时，据题意得：
6x+12y=4.8 ，
x＋y＝0.5.
解之得 x＝0.2
y＝0.3.
选Ａ。
3．列方程 CIN公司第二季度 ( http: / / www.21cnjy.com )进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？
分析：设第二季度的进口额为x万元，出口额为y万元：
进口额 出口额 进出口总额
一季度
二季度 x y ９８０
+=，
x + y =980.
若设第一季度的进口额为x万元，出口额为y万元，则：
进口额 出口额 进出口总额
一季度 x y ９８０÷（１＋４０％）
二季度 （１＋３９％） x （１＋４１％） y ９８０
x＋y＝ ９８０÷（１＋４０％），
（１＋３９％）x＋（１＋４１％）y＝９８０.
四、 小结：
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样 ( http: / / www.21cnjy.com )的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用．
六、 布置作业
1．甲、乙两个两位数，若把 ( http: / / www.21cnjy.com )甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．
2．某车间每天能生产甲种零 ( http: / / www.21cnjy.com )件600个，或者乙种零300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件 各应生产几天？
板书设计与教学反思
x＋y＝７， x = 1 ，
y＝６x. 解得 y =6.第五章 二元一次方程组
2. 求解二元一次方程组（第1课时）
教学目标：
（1）会用代入消元法解二元一次方程组；
（2）了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
教学重点：
用代入消元法解二元一次方程组.
教学难点：
在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
教学过程：
一、课前导学
1、解一元一次方程的基本步骤是什么？
2、二元一次方程组的解的含义是什么？
3、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式？
（1）、x+y=8
（2）、4x-y=5
4、回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.
教师指导学生规范表达
解：设去了x个成人，则去了个儿童，根据题意，得：
解得：
将代入,
解得：8－5=3.
答：去了5个成人， 3个儿童.
上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.所以将中的①变形，得③，我们把代入方程②，即将②中的y用代替，这样就有.“二元”化成“一元”.
二、探索新知
（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）
解：由①得：. ③
将③代入②得：
.
解得：.
把代入③得：.
所以原方程组的解为：
（提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有误）
三、范例学习
1.例：解下列方程组：
(1) (2)
（根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成）
(1)解：将②代入①，得：.
解得：.
把代入②，得：.
所以原方程组的解为：
(2)由②，得：. ③
将③代入①，得：.
解得：.
将y=2代入③，得：.
所以原方程组的解是
2、思考总结：（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）
⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？
⑵上面解方程组的基本思路是什么？
⑶主要步骤有哪些？
⑷我们观察例题的解法会发 ( http: / / www.21cnjy.com )现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？
(学生讨论，教师评价)
1.在解上面两个二元一次方程组时，我们 ( http: / / www.21cnjy.com )都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.
2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.
3.解上述方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽 ( http: / / www.21cnjy.com )量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
四、练习提高
1.教材随堂练习（在随堂练习中，可 ( http: / / www.21cnjy.com )以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代换的思想，若有条件可以提出，为下一课做点铺垫也可以）
2.补充练习：用代入消元法解下列方程组：
(1) (2) ⑶
（注：[2]题可以用整体代入法来解，把第二个方程变为，再将它代入第一个方程，得；[3]题分数线有括号功能；[4]题如果有时间，学生学有余力可作为补充题目.）
五、课堂小结
总结解二元一次方程组的基本思路是“消元” ( http: / / www.21cnjy.com )，即把“二元”变为“一元”； 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解.
六、布置作业
1.课本习题5.2
板书设计与教学反思第五章 二元一次方程组
8．三元一次方程组
教学目标：
1、通过对二元一次方程组的类比学习 ( http: / / www.21cnjy.com )，了解三元一次方程组的概念，会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决；
2、经历找等量关系、建立方程模型的活动过 ( http: / / www.21cnjy.com )程. 在解方程组的过程中体会其基本思想就是“消元”.无论是解二元一次方程组、还是三元一次方程组，基本策略都是化多为少、逐一解决，具体措施都是“代入”或“加减”，以实现“消元”，转化为一元一次方程，从而得解；
3、让学生感受把新知转化为已知、 ( http: / / www.21cnjy.com )把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想；感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好习惯.
教学重点：了解三元一次方程组的概念，会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决；
教学难点：感受化归思想；
教学过程
一、课前导学
1、 解二元一次方程组有哪几种方法 ？它们的实质是什么？
2、 x+y-2z=7 是二元一次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )吗？ ；你认为它应该是 。 由此可知，含有 未知数，并且含有 整式方程，叫做三元一次方程
3、已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
教师提问：(1)、如果设这三数分别为x，y，z，用它们可以表示哪些等量关系？
答案：；；
（2）、这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
师生互动
未知数个数和方程都比二元一次方程组多一个；
含未知数项的次数都是一次.
在这个方程组中，和都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程
，
像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组 ( http: / / www.21cnjy.com )成的一组方程，叫做三元一次方程组关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系,
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
二、范例学习
例1：解方程组（代入消元、加减消元），
思路：
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个 ）
解法一：①＋ ③，得 3x+2y=43 ④
x-y=1 ②
3x+2y=43 ④
2. 化“二元”为“一元” 。
由②得 x=y+1, 把x=y+1代入④中得 3（y+1)+2y=43
整理得 y=8
把y=8代入②中得 x=9
把x=9,y=8代入 ①得z=6
x=9
y=8
z=6
学生活动：加减消元
教师点评：（力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点）
1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行；
2.用代入消元法：由于方程组③式的特点，可将③式分别代入①②式，消去x，从而转化为关于y，z的二元一次方程组的求解；
3.用加减消元法：由于③式中没有含z，可以将①，②式联立相加，消掉z，从而得到关于x， y的二元一次方程组的求解；
4.总结求解三元一次方程组的 ( http: / / www.21cnjy.com )整体思路——消元，实现三元 二元一元的转化.在消元过程中，消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果选择合适，可提高计算的效率.
三、理解巩固
解方程（1） （2）
思路点拨：
（1）引导学生观察方程组（2）的特点，此方程组与前面不一样，三个方程都不缺“谁”，消谁好，用什么方法消？
（2）通过对（1）（2） ( http: / / www.21cnjy.com )的对比，引导学生总结出消元的具体做法是：①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时，如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个.
（3）在前面例题和练习的基础上，对本课解 ( http: / / www.21cnjy.com )过的三个方程组进行比较，谈谈解决的方法.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元 二元一元的转化.在消元过程中，消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果选择合适，可提高计算的效率. 具体做法是：①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时，如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个.③用加减消元时，如果方程组中三个方程均含有三个未知数，通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组.
四、实际应用
1、某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级多5%，求三个年级各有多少学生？
解：由题意设七，八，九年级的学生人数分别为x,y,z人，得方程：
由②可将z用y表示，由③可将x用y表示，代入①可得到关于y的一元一次方程.
解得： 所以，七，八，九年级的学生人数分别为231,220,200人.
五、课堂小结
（1）三元一次方程组的概念；
（2）三元一次方程组的解法；
注意选好要消的“元”，选好要消的“法”：代入消元、加减消元；
(3)谈谈求解多元一次方程组的思路，提炼化归的思想.
第六环节：布置作业； 课本习题5.9
板书设计与教学反思
三元
一次方程组
二元
一次方程组
一元
一次方程
消元
消元第五章 二元一次方程组
3. 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
教学目标：
1、在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能；掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤
2、经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过 ( http: / / www.21cnjy.com )程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力;
3、进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
教学重点
根据等量关系列二元一次方程组解应用题.
教学难点
1、读懂古算题;
2、根据题意找出等量关系，列出方程.
教学过程
一、课前导学
内容1：例1 今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
提问：（1）"上有三十五头"的意思是什么？"下有九十四足"呢？
（2）你能解决这个有趣的问题吗？
方法1、用一元一次方程求解
解：设有鸡x只，则有兔（35-x）只,得
所以有鸡23只，兔12只.
方法2.用二元一次方程求解：
解：设有鸡x只，兔y只，则
x+y=35, ①
2x+4y=94. ②
×2,得 2x+2y=70 , ③
②－③,得 2y=24,
y=12,
把 y=12 代入①，得x=23.
所以有鸡23只，兔12只.
二、范例学习
例1： 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
提问：1."将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？
2."若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？
解：设绳长x尺，井深y尺，则
-y=5 , ①
-y=1. ② 联列①，②
①-②，得 -=4,
=4,
x=48,
将 x=48 代入①，得 y=11.
答：绳长48尺，井深11尺.
小结：列二元一次方程组解应用题的步骤
1） 审清题意，设未知数;
2） 弄清各个量之间的关系，找出等量关系;
3） 列出方程，联立方程，得二元一次方程组;
4） 解二元一次方程组;
5） 作答.
并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程.
例2 ：古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，
不知人数不知银.
只知每人五两多六两，
每人六两少五两，
问你多少人数多少银？
三、学习自测
1、设甲数为x，乙数为y，则甲数的2倍与 ( http: / / www.21cnjy.com ) 乙数的3倍的和为15 ，列出方程为 。
2、一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛 ( http: / / www.21cnjy.com )8条腿，现 有 蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组 为 。
3、小刚有5角硬币和一元硬币有8 ( http: / / www.21cnjy.com )枚，币值 共有6元5角，设5角的有x枚，一元的有y枚，列出的方程组为 。
4、列方程解古算题："今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？
（在引例及例题的基础上，学生已基本掌握了列 ( http: / / www.21cnjy.com )二元一次方程组解决实际问题的方法，此题可由学生独立完成.当然由于本题是古文，可以先找学生说出题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两"金"，2头牛、5只羊共价值8两"金"，每头牛、每只羊各价值多少"金"？在题的结果上强调只要分数表示即可；要学生板书整个解题过程.）
解：设每头牛值"金" x 两，设每只羊值"金" y 两,则有方程：
5x+2y=10 , ①
2x+5y=8. ②
①×2,得 10x+4y=20 , ③
②×5, 得 10x+25y=40 , ④
④-③, 得 21y=20,
解得 y=, 把 y= 代入②得：x=.
所以，每头牛值"金" 两，设每只羊值"金"两.
5、买一些4分和8分的邮票，共花6元8角，已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？
四、课堂小结
1． 通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？
2．这里面应该注意的是什么？关键是什么？
3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。
4． 列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？
五、布置作业
习题 1，2
板书设计与教学反思第五章 二元一次方程组
2. 求解二元一次方程组（第2课时）
教学目标：
(1)会用加减消元法解二元一次方程组.
(2)进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
(3) 选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.
教学重点：
用加减消元法解二元一次方程组.
教学难点：
在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
教学过程
一、课前导学
1、根据等式性质填空:
<1>若a=b,那么a±c= . (等式性质1)
<2>若a=b,那么ac= . (等式性质2)
思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗
2、 解二元一次方程组的基本思路是什么？
3、用代入法解方程的步骤是什么？
4、巩固练习，在练习中发现新的解决方法
解二元一次方程组
方案1：
解：把②变形，得：, ③
把③代入①，得：,
解得：.
把代入②，得：.
所以方程组的解为.
学生可能的解答方案2：
方案2：解：由②得, ③
把当做整体将③代入①，得：,
解得：.
把代入③，得：.
所以方程组的解为.
（此种解法体现了整体的思想）
方案2：解：根据等式的基本性质
方程①+方程②得：,
解得：,
把代入①，解得：,
所以方程组的解为.
解答方案3：（观察发现：两个方程中一个含有，而另一个是，两者互为相反数）
二、范例学习
例1 解下列二元一次方程组
(1)
分析：观察到方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
解：②-①，得：,
解得：,
把代入①，得：,
解得：,
所以方程组的解为.
(解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下两点：
(1)注意解此题的易错点是②-①时是，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x，不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；
(2)把代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.
2：用加减消元法解下列方程组：
（1）， （2）.
例2 解方程组
（先留一定的时间让学生观察此方程组，让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生说明自己观察到方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？如学生提出用代入消元法，可以让学生先按此法完成，然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决？让学生讨论尝试，学生可能得到的结论如下）
1.对于用加减消元法解，x、y的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法.
2.是不是可以这样想，将方程组中的方程用等式的基本性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的.
3.只要在方程①和方程②的两边分别除以2和3，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了.
4.不同意3的做法.如果这样做，是可以解决这一问题，但y的系数和常数项都变成了分数，这样解是不是变麻烦了吗？那还不如用代入消元法了.不如找x的系数2和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得③,在方程②两边同乘以2，得④,然后③-④，就可以将x消去，得,把代入①得，.所以方程组的解为
（在引导的过程中，肯定学生的好的想法.） ( http: / / www.21cnjy.com )其实在我们学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.请大家把解答过程写出来.
解：①×3，得：， ③
②×2,得：， ④
③－④，得：.
将代入①，得：.
所以原方程组的解是.
内容 ：议一议
根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
(由学生分组讨论、总结并请学生代表发言)
［师生共析］
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
①变形----找出两个方程中同一个未知数系数 ( http: / / www.21cnjy.com )的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．
②加减消元，得到一个一元一次方程.
③解一元一次方程．
④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．
过手训练：用加减消元法解方程组：.
注意：对于较复杂的二元一次方程组，应 ( http: / / www.21cnjy.com )先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.
三、巩固新知
1、完成课本随堂练习
2、补充练习：
①选择：二元一次方程组的解是（ ）.
A. B. C. D.
3、，求x,y的值.
4、解方程组 .
四、课堂小结
1.关于二元一次方程组的两种解法：代入 ( http: / / www.21cnjy.com )消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
2. 用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等．
3. 用加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；
②加减消元；
③解一元一次方程；
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
五、布置作业
1.课本习题5.3
2.阅读读一读·你知道计算机是如何解方程组吗.
板书设计与教学反思
②
①
②第五章 二元一次方程组
4. 应用二元一次方程组——增收节支
教学目标
1、能运用列表分析法分析数量关系,熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题,掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。
2、经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养学习数学应用能力。
3、通过问题的解决进一步认识数学与现实 ( http: / / www.21cnjy.com )世界的密切联系,通过对问题的解决，培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的意识。
教学重点：运用列表分析法分析数量关系
教学难点：列二元一次方程组解决简单的实际问题
教学过程
课前导学
1、增长率问题：
增长后的量 =
2、行程问题： 路程 = ×
3、利润问题： 利润 = -
利润率 =
打折后价格 =
某工厂去年的总产值是x万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值是__________万元;
若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;
若该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方程____________________.
(1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x- (1-10%) y=780
经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x)=b
(其中:a表示基数；x表示增降率；b表示目标数；增时为加，降时为减)
二、新课讲解
例1 ：公司去年的利润（总产值—总 ( http: / / www.21cnjy.com )支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
分析：关键:找出等量关系.
今年的总产值=去年总产值×(1+20%） 今年的总支出=去年的总支出×(1—10%）
相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！
（题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个２×３的表格来分析看）
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去 年 x y 200
今 年 (1+20%) x (1-10%) y 780
得到两个等式：
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则
今年的总产值=（1+20%）x万元，
今年的总支出=（1-10%）y万元。
由题意得:
解得
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元。
例2： 医院用甲、乙两种原料为手术后 ( http: / / www.21cnjy.com )的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析：找出等量关系.
每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量，
每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量，
每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量，
每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量，
由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关系之间的关系，有利于根据相等关系列方程。
（题目中可分析蛋白质含量，铁的含量；甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙两种原料和病人配置的营养品，所以画个2× 3的表格来分析；学生通常对要分析那些数量关系不太明确，所以讲解时要说明为什么会这样画表格）
解：设每餐需要甲、乙两种原料各x, y克，则有下表：
甲原料x克 乙原料y克 所配制的营养品
其中含蛋白质量 0.5x单位 0.7 y单位 35单位
其中含铁质量 x单位 0.4 y单位 40单位
由上表可以得到的等式：
化简得：
（1）×2得 10x+14y=700 (5)
(5)－(4)得 10y=300
y=30
将y=30代入(3)得 x=28
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克。
此题数量关系较为复杂，可提示引导学生思考，然后继续教学生画表格分析数量关系的方法；也可鼓励学生先画图表分析再纠正；然后由学生解答。
学法小结：
1．图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚。
2．借助方程组解决实际问题
三、练习、合作学习；
1．育才学校去年有学生3 ( http: / / www.21cnjy.com )100名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名
设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为 。
分析：找出等量关系.
去年寄宿学生＋去年走读学生＝3100名
今年寄宿学生＋今年走读学生＝3100 ×（1+4.4%）
题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数．画个2 × 3的表格来分析
寄宿学生 走读学生 学生总数
去年 x y 3100
今年 （1+6%）x （1-2%）y 3100 ×（1+4.4%）
解：
内容：鼓励学生自己画表格分析、思考，然后请学生讲分析过程，讲解清楚有条理的给予肯定表扬，不足的给予补充，提高学生学习的信心。
2．编题
有一个方程组：
你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？
活动规则：
四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流．
3、小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开 ( http: / / www.21cnjy.com )店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？
分析：找出等量关系.
题目中可分析上衣，裤子；成本．实际售价和利润．画个２ × ３的表格来分析
上衣成本＋裤子成本＝500元
上衣利润＋裤子利润＝157元
解：设上衣的成本价为ｘ元，裙子的成本价为ｙ元：
成本（元） 实际售价（元） 利润（元）
上衣 x
裤子 y
解：设上衣的成本价为x元，裙子的成本价为y元，则上衣利润 元， 裤子利润为0.9(1+40%)y-y元，依题意得
整理得:
……①
…… ②
②－① ×26,得9x=2700,
∴x =300.
把其代入①，得y=500－300=200
答：上衣成本300元，裙子成本200元。
4、新年来临爸爸想送Mi ( http: / / www.21cnjy.com )ke一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Mike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。
你能帮助他吗？
（1）解：设书包单价为x元，则随身听单价为y元,根据题意可列出方程：
解之得：
答：书包单价92元，随身听单价360元。
2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×=361.6（元）
∵ 361.6<400
∴可以选择在人民商场购买。
在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）。
因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。
因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。
学习反思；
你的收获是什么？
通过本节的学习活动，你会用列表分析数据吗？
你能用列方程组的方法解决实际问题吗？
3．你体会到方程思想在生活中的存在吗？
四、小结：
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
板书设计与教学反思第五章 二元一次方程组
1．认识二元一次方程组
教学目标：
（1）理解二元一次方程（组）及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程（组）的解；
（2）会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组；
（3）通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力,了解变与不变的辩证统一的思想.
教学重点：
（1）掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义；
（2）判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
教学难点：
从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.
教学过程:
一、课前导学
情境1
实物投影，并呈现问题：在一望无际的呼伦贝 ( http: / / www.21cnjy.com )尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
小组讨论，教师引导：
这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：.
情境2
实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山 ( http: / / www.21cnjy.com )公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？
小组讨论，教师引导：
这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有x个成年人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程和.
二、新知探讨
1、思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？
归纳：二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
①、含有两个未知数；
②、所含未知数的项的最高次数是一次.
③、都是整式方程。
2、巩固练习：
A、下列方程有哪些是二元一次方程：
（1），（2），（3），
（4），（5），（6）.
B、如果方程是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ .
3、二元一次方程组概念
学生思考：上面的方程 中的x含义相同吗？y呢？（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同.）由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足和，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成，从而得出二元一次方程组的概念：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.如：
注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象.
再呈现一些辨析题，让学生进行巩固练习：
判断下列方程组是否是二元一次方程组：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
4、上面的情境，得出有关方程的解的概念
A、适合方程吗？呢？呢？你还能找到其他x,y值适合方程吗？
B、适合方程吗？呢？
C、你能找到一组值x,y同时适合方程和吗？各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论.
由学生回答上面3个问题，老师作出结论：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.
如x=6, y=2是方程x+ y =8的一个解，记作 ；同样，也是方程的一个解，同时 又是方程的一个解.
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
例如，就是二元一次方程组的解.
然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）
（1）、下列四组数值中，哪些是二元一次方程的解？
（A） （B） （C） （D）
（2）、二元一次方程的解有：
……
（3）、二元一次方程组的解是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）、以为解的二元一次方程组是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
三、课堂小结
1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解.
3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值.
四、布置作业
习题5.1
板书设计与教学反思第五章 二元一次方程组
7. 用二元一次方程组确定一次函数表达式
教学目标：
1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.
2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
3.进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
4.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
教学目标：利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
教学目标：体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
教学过程
一、课前导学
1、二元一次方程组与一次函数有何联系
2、二元一次方程组有哪些解法？
3、A，B两地相距100千米，甲、乙两 ( http: / / www.21cnjy.com )人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找 出交点的横坐标就行了
你明白他的想法吗？用他的方法做一做
对于乙，s 是t的一次函数，可设 ( http: / / www.21cnjy.com ) s=kt+b. 当t=0时，s=100；当t=1时，s=80.将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，也即可以求出乙 s 与t 之间的函数表达式. 你能求出甲的表达式吗？
你明白他的想法吗？用他的方法做一做!
1 时后乙距A地 80千米,即乙的速度是20千米/时
2 时后甲距A 地 30千米,故甲的速度是 15千米/时
你明白他的想法吗？用他的方法做一做!
设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100
二、 范例学习
例1： 某长途汽车客运 ( http: / / www.21cnjy.com )站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
写出y与x之间的函数表达式；
旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设，根据题意，可得方程组
解该方程组，得
所以
（2）当x=30时，y=0．
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
例2 ： 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示.
分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；
若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
解：（1）当0≤x≤15时，设，根据题意得
，解得
所以当0≤x≤15时，；
当x＞15时，设根据题意，可得方程组
解这个方程组，得
所以当x＞15时，．
（２）当x＝10时，代入中，得y=18．
当y=51时，代入中，得x=25．
三、练习与提高
1. 图中的两条直线，的交点坐标可以看做方程组 的解
答案：
2. 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米） ( http: / / www.21cnjy.com )是所挂物体质量x（千克）的一次函数．当所挂物体的质量为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的函数关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．
答案： 当x=4时，y=16.5
四、课堂小结
1、函数与方程之间的关系．
2、在解决实际问题时从不同角度思考问题，就会得到不一样的方法，从而拓展自己的思维．
3、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
五、布置作业：习题5·8
板书设计与教学设计反思
小明
图象表示
(A)
0
4
1
2
3
t/时
s/千米
120
100
80
60
40
20
(B)
小颖
S=15t
S=100-20t
小亮
x（吨）
y（元）
15
20
39
27
O
o
y
x
1
2
3
4
1
2
3
4
