【精品解析】高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则

高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则
一、单选题
1．（2018高二下·遵化期中）函数 的导数为（　　）
A． B．
C． D．
2．对于函数 ，若 ，则实数 等于（　　）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 （　　）
A．0 B．-4 C．-2 D．1
4．已知定义在R上的函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．设函数 在点 处的切线为 ，则 在 轴上的截距为（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （　　）
A． B． C．3 D．-3
7．已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 （ 是自然对数的底数）， ，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2018·株洲模拟）设函数 的图象在点 处切线的斜率为 ，则函数 的图象一部分可以是（　　）
A． B．
C． D．
9．设函数 ，其中 ，则导数 的取值范围是（　　）
A．[－2， 2] B． C．[ ，2] D．[ ，2]
10． 与 是定义在 上的两个可导函数，若 , 满足 ,则 与 满足（　　）
A． B． 为常数函数
C． D． 为常数函数
二、多选题
11．给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2020高二下·张家口期中）对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 =0有实数解 ，则称点( ， )为函数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则 　 　.
13．在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程是　 　．
四、解答题
14．已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程．
15．（2020高二下·北京期中）已知函数f(x)＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
（1）求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
16．已知函数f(x)，x (0,+ )的导函数为 ，且满足 ,f(1)=e-1,求f(x)在 处的切线方程.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】求导得： .
故答案为：A.
【分析】由积的求导法则即可求出.
2．【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】 ， ，
所以 ，解得 ，
故答案为：A．
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值x=1代入到导函数的解析式计算出结果即可。
3．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由题意，得 ，则 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值x=0代入到的导函数的解析式计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，则 ， ， ，
所以，切点坐标为 ，所求切线的斜率为 ，因此，所求切线的方程为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值x=0代入到的导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式求出切线的方程。
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【解答】因为函数 ，所以 ，
代入 ，得 ，而 ，
所以 在 处的切线 的方程为：
，整理得 ，
令 ，得
所以 与 轴的截距为1.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出函数的导函数，再把数值x=0代入到的导函数的解析式计算出切线的斜率，由点斜式求出直线的方程令求出直线的截距。
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】依题意 ， ，由于曲线 在点 处的切线与直线 垂直，所以 .
故答案为：B
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值x=1代入到的导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式求出切线的方程，结合直线垂直斜率之间的关系计算出的值。
7．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的四则运算
【解析】【解答】由 ，
得
，即 ，
所以 ，
所以 ，又因为f（0）=1，所以c=1，
所以函数f（x）的解析式是 ；
故答案为：D.
【分析】根据已知条件整理化简即可得出因此得到函数的解析式代入数值计算出c的值，进而得到函数的解析式。
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，由 知 函数为奇函数，所以排除B，D选项，当从右边 时， ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】对y求导，得到g(t)，然后利用g(x)+g(-x)与0的关系，判断奇偶性，即可排除B，D，然后探究右边 t → 0，g(t)的符号，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】根据题意对函数求导把x=1代入到导函数的解析式结合两角和的正弦公式，整理得到的代数式再由正弦函数的性质即可得出的取值范围。
10．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】 ，则 为常数．
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件整理即可得出答案。
11．【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；导数的四则运算
【解析】【解答】对于A， ， ，
当 时， ， ，故 不是凸函数；
对于B， ， ，故 是凸函数；
对于C， ，对任意的 ， ，故 是凸函数；
对于D， ，对任意的 ， ，故 不是凸函数．
故答案为：AD．
【分析】根据题意求出函数f(x)的二阶导数并验证并判断出对任意的恒成立，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】类比推理
【解析】【解答】依题意得， ，令 ，得 ，
函数 的对称中心为 ，则 ，
，
，
故答案为 .
【分析】先求出函数 的“拐点”，从而知道函数 的对称中心为 ，得到 ，进而知道 ，即可得出答案。
13．【答案】3x-y-11=0
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意 ，易知 时， ，又 时， ，
∴所求切线方程为 ，即3x-y-11=0．
故答案为：3x-y-11=0．
【分析】根据题意求出函数的导函数再把x==1代入导函数的解析式求出y的值，由此得出切线的斜率从而得出切线的方程。
14．【答案】解：∵函数 的导函数为 ，
∴曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又 ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
故答案为：
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】根据题意求出函数的导函数再把x=1代入计算出导数值因此得到切线的效率，结合点斜式即可得到切线的方程。
15．【答案】（1）解：由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
（2）解：设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－ ]∪(1，3)∪[2＋ ，＋∞)
【知识点】导数的几何意义；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先求导函数，根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）根据（1）可知k与﹣ 的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式，即可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.
16．【答案】解：∵ ，
∴ ．
令 ，则 ，
∴ （ 为常数），
∴ ，
又 ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又 ，
∴所求切线方程为 ，即 ．
答案：
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】根据题意由已知条件整理，再构造函数对其求导再把x=1代入代入到导函数的解析式计算出导数值，因此得出切线的斜率再由点斜式求出切线的方程即可。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则
一、单选题
1．（2018高二下·遵化期中）函数 的导数为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】求导得： .
故答案为：A.
【分析】由积的求导法则即可求出.
2．对于函数 ，若 ，则实数 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】 ， ，
所以 ，解得 ，
故答案为：A．
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值x=1代入到导函数的解析式计算出结果即可。
3．已知 ，则 （　　）
A．0 B．-4 C．-2 D．1
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由题意，得 ，则 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值x=0代入到的导函数的解析式计算出结果即可。
4．已知定义在R上的函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，则 ， ， ，
所以，切点坐标为 ，所求切线的斜率为 ，因此，所求切线的方程为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值x=0代入到的导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式求出切线的方程。
5．设函数 在点 处的切线为 ，则 在 轴上的截距为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【解答】因为函数 ，所以 ，
代入 ，得 ，而 ，
所以 在 处的切线 的方程为：
，整理得 ，
令 ，得
所以 与 轴的截距为1.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出函数的导函数，再把数值x=0代入到的导函数的解析式计算出切线的斜率，由点斜式求出直线的方程令求出直线的截距。
6．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （　　）
A． B． C．3 D．-3
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】依题意 ， ，由于曲线 在点 处的切线与直线 垂直，所以 .
故答案为：B
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值x=1代入到的导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式求出切线的方程，结合直线垂直斜率之间的关系计算出的值。
7．已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 （ 是自然对数的底数）， ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的四则运算
【解析】【解答】由 ，
得
，即 ，
所以 ，
所以 ，又因为f（0）=1，所以c=1，
所以函数f（x）的解析式是 ；
故答案为：D.
【分析】根据已知条件整理化简即可得出因此得到函数的解析式代入数值计算出c的值，进而得到函数的解析式。
8．（2018·株洲模拟）设函数 的图象在点 处切线的斜率为 ，则函数 的图象一部分可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，由 知 函数为奇函数，所以排除B，D选项，当从右边 时， ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】对y求导，得到g(t)，然后利用g(x)+g(-x)与0的关系，判断奇偶性，即可排除B，D，然后探究右边 t → 0，g(t)的符号，即可得出答案。
9．设函数 ，其中 ，则导数 的取值范围是（　　）
A．[－2， 2] B． C．[ ，2] D．[ ，2]
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】根据题意对函数求导把x=1代入到导函数的解析式结合两角和的正弦公式，整理得到的代数式再由正弦函数的性质即可得出的取值范围。
10． 与 是定义在 上的两个可导函数，若 , 满足 ,则 与 满足（　　）
A． B． 为常数函数
C． D． 为常数函数
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】 ，则 为常数．
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件整理即可得出答案。
二、多选题
11．给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；导数的四则运算
【解析】【解答】对于A， ， ，
当 时， ， ，故 不是凸函数；
对于B， ， ，故 是凸函数；
对于C， ，对任意的 ， ，故 是凸函数；
对于D， ，对任意的 ， ，故 不是凸函数．
故答案为：AD．
【分析】根据题意求出函数f(x)的二阶导数并验证并判断出对任意的恒成立，由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
12．（2020高二下·张家口期中）对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 =0有实数解 ，则称点( ， )为函数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】类比推理
【解析】【解答】依题意得， ，令 ，得 ，
函数 的对称中心为 ，则 ，
，
，
故答案为 .
【分析】先求出函数 的“拐点”，从而知道函数 的对称中心为 ，得到 ，进而知道 ，即可得出答案。
13．在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程是　 　．
【答案】3x-y-11=0
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意 ，易知 时， ，又 时， ，
∴所求切线方程为 ，即3x-y-11=0．
故答案为：3x-y-11=0．
【分析】根据题意求出函数的导函数再把x==1代入导函数的解析式求出y的值，由此得出切线的斜率从而得出切线的方程。
四、解答题
14．已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程．
【答案】解：∵函数 的导函数为 ，
∴曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又 ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
故答案为：
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】根据题意求出函数的导函数再把x=1代入计算出导数值因此得到切线的效率，结合点斜式即可得到切线的方程。
15．（2020高二下·北京期中）已知函数f(x)＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
（1）求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
（2）解：设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－ ]∪(1，3)∪[2＋ ，＋∞)
【知识点】导数的几何意义；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先求导函数，根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）根据（1）可知k与﹣ 的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式，即可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.
16．已知函数f(x)，x (0,+ )的导函数为 ，且满足 ,f(1)=e-1,求f(x)在 处的切线方程.
【答案】解：∵ ，
∴ ．
令 ，则 ，
∴ （ 为常数），
∴ ，
又 ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又 ，
∴所求切线方程为 ，即 ．
答案：
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】根据题意由已知条件整理，再构造函数对其求导再把x=1代入代入到导函数的解析式计算出导数值，因此得出切线的斜率再由点斜式求出切线的方程即可。
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