高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、单选题
1.(2020高二上·天津月考)对于空间任意一点 和不共线的三点 , , ,有如下关系: ,则( )
A. , , , 四点必共面
B. , , , 四点必共面
C. , , , 四点必共面
D. , , , , 五点必共面
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】对于空间任一点 和不共线三点 , , ,若点 满足 且 ,则 , , , 四点共面.而 ,其中 ,所以 , , , 四点共面.
故答案为:B.
【分析】由空间共线向量定理求解即可.
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量 , , 是( )
A.有相同起点的向量 B.等长向量
C.共面向量 D.不共面向量
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】如图所示,
因为 ,而 ,
,即
由于 与 不共线,所以 , , 三向量共面.
故答案为:C.
【分析】利用已知条件结合平行六面体ABCD-A1B1C1D1的结构特征,进而利用共面向量的判断方法,从而结合三角形法则和向量共线定理,再利用平面向量基本定理,进而推出 , , 三向量共面。
3.(2020高二上·天津月考)若 在直线l上,则直线 的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由题意可得:直线 的一个方向向量 ,
又∵ ,
∴ 是直线 的一个方向向量.
故答案为:A.
【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量 ,即可得到它的一个方向向量,再利用平面向量共线(平行)的坐标表示即可得出答案.
4.(2020高二上·尚义期中)以下四组向量:① , ;② , ;③ , ;④ , .其中 , 分别为直线 , 的方向向量,则它们互相平行的是( )
A.②③ B.①④ C.①②④ D.①②③④
【答案】D
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示
【解析】【解答】①∵ ,∴②∵ ,∴ .③∵ ,∴ .④∵ ,∴ ,
故答案为:D。
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示,从而求出互相平行的两向量的序号。
5.若直线l的一个方向向量 ,平面α的一个法向量为 ,则( )
A. B.
C. D.A、C都有可能
【答案】B
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解: 直线的一个方向向量为 ,平面α的一个法向量为
则 , ,
故答案为:B.
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,再结合方向向量和法向量推出 , 再利用向量共线定理,进而得出直线与平面的位置关系,从而找出正确答案。
6.如果直线l的方向向量是 ,且直线l上有一点P不在平面 内,平面 的法向量是 ,那么( ).
A.直线l与平面 垂直 B.直线l与平面 平行
C.直线l在平面 内 D.直线l与平面 相交但不垂直
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为直线l的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,
又因为 ,所以直线l在平面 内或与平面 平行,又因为直线l上有一点P不在平面 内,所以直线l与平面 平行.
故答案为:B
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,再结合方向向量和法向量得出向量 和向量 的坐标,再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系,所以直线l在平面 内或与平面 平行,又因为直线l上有一点P不在平面 内,所以得出直线l与平面 的位置关系,从而找出正确答案。
7.若直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则可能使 的是
A. ,0, , ,0,
B. ,3, , ,0,
C. ,2, , ,0,
D. , , , ,3,
【答案】D
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解:若 ,则 ,
而 中 ,不满足条件;
中 ,不满足条件;
中 ,不满足条件;
中 ,满足条件.
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,再结合方向向量和法向量的求解方法,再利用数量积的坐标表示结合若 ,则 ,从而找出正确答案。
8.(2018高二上·海口期中)若平面 的一个法向量为 ,平面 的一个法向量是 ,则平面 与 所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】D
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】依题意得, ,
则 ,
所以平面 平面 ,
即 与 所成的角是 ,
故答案为:D.
【分析】根据空间向量夹角的余弦公式可求出两平面法向量的余弦值为0,从而得到答案。
9.如图所示,在正方体 中, 是底面正方形 的中心, 是 的中点, 是 的中点,则直线 , 的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系;用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,
则 , , , ,
∴ , .
∵ ,
∴直线 , 的位置关系是异面垂直.
故答案为:C
【分析】建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,再结合已知条件求出点的坐标,再结合向量的坐标表示求出向量的坐标,再利用数量积为0两直线垂直的等价关系,结合数量积的坐标表示,进而结合异面直线的判断方法,从而判断出直线 , 的位置关系。
10.已知平面α的法向量为 =(1,2,-2),平面β的法向量为 =(-2,-4,k).若α⊥β,则k=( )
A.4 B.-4 C.5 D.-5
【答案】D
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】∵α⊥β,∴ .∴ =-2-8-2k=0.∴k=-5。
故答案为:D
【分析】利用面面垂直结合法向量的定义,进而推出线线垂直,即,再利用两向量垂直数量积为的等价关系,进而结合数量积的坐标表示,从而求出k的值。
二、多选题
11.下列命题中是假命题的为( )
A.若向量 ,则 与 , 共面
B.若 与 , 共面,则
C.若 ,则 , , , 四点共面
D.若 , , , 四点共面,则
【答案】B,D
【知识点】平面向量的基本定理;共面向量定理
【解析】【解答】对于A:由平面向量基本定理得 与 , 共面,A是真命题;
对于B:若 , 共线, 不一定能用 , 表示出来,B是假命题;
对于C:若 ,则 三个向量在同一个平面内, , , , 四点共面,C是真命题;
对于D:若 , , 共线,点P不在此直线上,则 不成立,D是假命题;
故答案为:BD
【分析】利用已知条件和向量共面的判断方法,再结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法,进而得出假命题的选项。
三、填空题
12.若 , , 是平面内的三点,设平面的法向量 ,则 .
【答案】2:3:(-4)
【知识点】平面向量数量积的坐标表示;利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 ,得 ,
因为为平面的法向量,则有 ,即 ,
由向量的数量积的运算法则有 ,解得 ,
所以 ,
故正确答案为 2:3:(-4) 。
【分析】利用点的坐标结合向量的坐标表示,进而求出向量的坐标,再利用两向量垂直数量积为0,结合数量积的坐标表示,进而求出x,y,z的关系式,从而得出x,y,z的比值。
13.已知点 是平行四边形 所在平面外一点,如果 ,对于结论:① ;② ;③ 是平面 的法向量;④ .其中正确的说法的序号是 .
【答案】①②③
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由 ,
在①中, ,所以 ,所以 ,所以是正确的;
在②中, ,所以 ,所以 ,所以是正确的;
在③中,由于 , ,且 ,可知 是平面 的法向量,所以是正确的;
在④中, ,
假设存在实数 使得 ,则 ,此时无解,所以是不正确的,
所以正确命题的序号为①②③。
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系,结合数量积的坐标表示,再利用法向量的定义和三角形法则以及共线定理,进而得出正确命题的序号。
14.已知 , , 分别是平面 、 、 的一个法向量,则 、 、 三个平面中两两垂直的有 对.
【答案】0
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】 , , 分别是平面 、 、 的一个法向量,
且 , , ,
因此, 、 、 三个平面中任意两个都不垂直.
故答案为:0。
【分析】利用已知条件和法向量的定义,再结合数量积为0两向量垂直的等价关系,再利用数量积的坐标表示,进而得出 、 、 三个平面中两两垂直的对数。
15.已知 在平面 内, , 平面 ,则直线 与 的位置关系是 .
【答案】垂直
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】 平面 , 平面 , ,
在 中, , ,
且 ,
平面 , 平面 ,
。
故答案为:垂直.
【分析】利用线面垂直的定义证出线线垂直,即 ,在 中,因为 , 所以 ,再利用线线垂直证出线面垂直,即 平面 ,再利用线面垂直的定义证出线线垂直,从而判断出直线 与 的位置关系。
16.若平面 的一个法向量为 ,平面 的一个法向量为 ,且 ,则 .
【答案】-3
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】∵α∥β,
∴ ∥ ,
∴存在实数λ使得 =λ ,
即(﹣3,y,2)=λ(6,﹣2,z),
∴ ,解得λ=﹣ ,y=1,z=﹣4,
∴y+z=﹣3。
故答案为﹣3。
【分析】利用面面平行的性质定理证出线线平行,进而得出两向量平行,再利用向量共线的坐标表示,进而求出x,y,z的值,从而求出y+z的值。
四、解答题
17.如图,已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直, , , 是线段 的中点.求证: 平面 .
【答案】证明: 四边形 为矩形,则 ,
平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
平面 ,
又 四边形 为正方形,以点 为坐标原点, 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ,
则 , , , , .
所以 , , .
设 是平面 的法向量,则 , ,
所以 ,得 ,
取 ,得 , ,则 .
因为 ,所以 ,即 与 共线.
所以 平面
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】 利用四边形 为矩形,则 ,因为平面 平面 ,所以利用面面垂直的性质定理证出线面垂直,即 平面 ,又因为四边形 为正方形,所以以点 为坐标原点, 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ,再利用已知条件,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法和数量积为0两向量垂直的等价关系,再利用数量积的坐标表示,进而证出两向量垂直,再结合向量共线定理,进而证出线面垂直,即证出 平面 。
18.如图,在直三棱柱 中, , , , .
(1)求证: ;
(2)在线段 上是否存在点 ,使得 ?
【答案】(1)证明:直三棱柱 中, , , , , 、 、 两两垂直,
以 为坐标原点,直线 、 、 分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,
则 ,0, , ,0, , ,0, , ,4, , ,4, ,
,0, , , , , ,
(2)解:假设在 上存在点 ,使得 ,
则 , , ,其中 ,
于是 , , ,则 , , ,由于 ,0, ,且 ,
,得 , 在 上存在点 ,使得 ,这时点 与点 重合.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】(1) 直三棱柱 中, , , , , 、 、 两两垂直,以 为坐标原点,直线 、 、 分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合数量积为0两向量垂直的等价关系,进而结合数量积的坐标表示,从而证出两向量垂直,进而证出线线垂直,即 。
(2) 假设在 上存在点 ,使得 , 再利用共线向量的坐标表示结合两向量垂直数量积为0的等价关系,进而求出在 上存在点 ,使得 ,这时点 与点 重合。
19.如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且 点G在AH上,且 =m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.
【答案】解:连接BD,BG.
∵ = - , = ,∴ = - ,
∵ = + ,∴ = + - =- + + .
∵ ,∴ = ,∴ = (- + + )= + + .
又∵ = - ,∴ = + + ,
∵ =m,∴ =m· = + + ,
∵ =- + = - + ,
∴ =(1 ) +( -1) + .
又∵G,B,P,D四点共面,∴1 =0,m= .
即m的值是 .
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】 连接BD,BG ,利用共线定理和三角形法则表示向量的方法,再结合已知条件和平面向量基本定理,进而结合四点共面的判断方法,从而求出m的值。
1 / 1高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、单选题
1.(2020高二上·天津月考)对于空间任意一点 和不共线的三点 , , ,有如下关系: ,则( )
A. , , , 四点必共面
B. , , , 四点必共面
C. , , , 四点必共面
D. , , , , 五点必共面
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量 , , 是( )
A.有相同起点的向量 B.等长向量
C.共面向量 D.不共面向量
3.(2020高二上·天津月考)若 在直线l上,则直线 的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
4.(2020高二上·尚义期中)以下四组向量:① , ;② , ;③ , ;④ , .其中 , 分别为直线 , 的方向向量,则它们互相平行的是( )
A.②③ B.①④ C.①②④ D.①②③④
5.若直线l的一个方向向量 ,平面α的一个法向量为 ,则( )
A. B.
C. D.A、C都有可能
6.如果直线l的方向向量是 ,且直线l上有一点P不在平面 内,平面 的法向量是 ,那么( ).
A.直线l与平面 垂直 B.直线l与平面 平行
C.直线l在平面 内 D.直线l与平面 相交但不垂直
7.若直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则可能使 的是
A. ,0, , ,0,
B. ,3, , ,0,
C. ,2, , ,0,
D. , , , ,3,
8.(2018高二上·海口期中)若平面 的一个法向量为 ,平面 的一个法向量是 ,则平面 与 所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.如图所示,在正方体 中, 是底面正方形 的中心, 是 的中点, 是 的中点,则直线 , 的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直
10.已知平面α的法向量为 =(1,2,-2),平面β的法向量为 =(-2,-4,k).若α⊥β,则k=( )
A.4 B.-4 C.5 D.-5
二、多选题
11.下列命题中是假命题的为( )
A.若向量 ,则 与 , 共面
B.若 与 , 共面,则
C.若 ,则 , , , 四点共面
D.若 , , , 四点共面,则
三、填空题
12.若 , , 是平面内的三点,设平面的法向量 ,则 .
13.已知点 是平行四边形 所在平面外一点,如果 ,对于结论:① ;② ;③ 是平面 的法向量;④ .其中正确的说法的序号是 .
14.已知 , , 分别是平面 、 、 的一个法向量,则 、 、 三个平面中两两垂直的有 对.
15.已知 在平面 内, , 平面 ,则直线 与 的位置关系是 .
16.若平面 的一个法向量为 ,平面 的一个法向量为 ,且 ,则 .
四、解答题
17.如图,已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直, , , 是线段 的中点.求证: 平面 .
18.如图,在直三棱柱 中, , , , .
(1)求证: ;
(2)在线段 上是否存在点 ,使得 ?
19.如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且 点G在AH上,且 =m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】对于空间任一点 和不共线三点 , , ,若点 满足 且 ,则 , , , 四点共面.而 ,其中 ,所以 , , , 四点共面.
故答案为:B.
【分析】由空间共线向量定理求解即可.
2.【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】如图所示,
因为 ,而 ,
,即
由于 与 不共线,所以 , , 三向量共面.
故答案为:C.
【分析】利用已知条件结合平行六面体ABCD-A1B1C1D1的结构特征,进而利用共面向量的判断方法,从而结合三角形法则和向量共线定理,再利用平面向量基本定理,进而推出 , , 三向量共面。
3.【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由题意可得:直线 的一个方向向量 ,
又∵ ,
∴ 是直线 的一个方向向量.
故答案为:A.
【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量 ,即可得到它的一个方向向量,再利用平面向量共线(平行)的坐标表示即可得出答案.
4.【答案】D
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示
【解析】【解答】①∵ ,∴②∵ ,∴ .③∵ ,∴ .④∵ ,∴ ,
故答案为:D。
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示,从而求出互相平行的两向量的序号。
5.【答案】B
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解: 直线的一个方向向量为 ,平面α的一个法向量为
则 , ,
故答案为:B.
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,再结合方向向量和法向量推出 , 再利用向量共线定理,进而得出直线与平面的位置关系,从而找出正确答案。
6.【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为直线l的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,
又因为 ,所以直线l在平面 内或与平面 平行,又因为直线l上有一点P不在平面 内,所以直线l与平面 平行.
故答案为:B
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,再结合方向向量和法向量得出向量 和向量 的坐标,再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系,所以直线l在平面 内或与平面 平行,又因为直线l上有一点P不在平面 内,所以得出直线l与平面 的位置关系,从而找出正确答案。
7.【答案】D
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解:若 ,则 ,
而 中 ,不满足条件;
中 ,不满足条件;
中 ,不满足条件;
中 ,满足条件.
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法,再结合方向向量和法向量的求解方法,再利用数量积的坐标表示结合若 ,则 ,从而找出正确答案。
8.【答案】D
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】依题意得, ,
则 ,
所以平面 平面 ,
即 与 所成的角是 ,
故答案为:D.
【分析】根据空间向量夹角的余弦公式可求出两平面法向量的余弦值为0,从而得到答案。
9.【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系;用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,
则 , , , ,
∴ , .
∵ ,
∴直线 , 的位置关系是异面垂直.
故答案为:C
【分析】建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,再结合已知条件求出点的坐标,再结合向量的坐标表示求出向量的坐标,再利用数量积为0两直线垂直的等价关系,结合数量积的坐标表示,进而结合异面直线的判断方法,从而判断出直线 , 的位置关系。
10.【答案】D
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】∵α⊥β,∴ .∴ =-2-8-2k=0.∴k=-5。
故答案为:D
【分析】利用面面垂直结合法向量的定义,进而推出线线垂直,即,再利用两向量垂直数量积为的等价关系,进而结合数量积的坐标表示,从而求出k的值。
11.【答案】B,D
【知识点】平面向量的基本定理;共面向量定理
【解析】【解答】对于A:由平面向量基本定理得 与 , 共面,A是真命题;
对于B:若 , 共线, 不一定能用 , 表示出来,B是假命题;
对于C:若 ,则 三个向量在同一个平面内, , , , 四点共面,C是真命题;
对于D:若 , , 共线,点P不在此直线上,则 不成立,D是假命题;
故答案为:BD
【分析】利用已知条件和向量共面的判断方法,再结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法,进而得出假命题的选项。
12.【答案】2:3:(-4)
【知识点】平面向量数量积的坐标表示;利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 ,得 ,
因为为平面的法向量,则有 ,即 ,
由向量的数量积的运算法则有 ,解得 ,
所以 ,
故正确答案为 2:3:(-4) 。
【分析】利用点的坐标结合向量的坐标表示,进而求出向量的坐标,再利用两向量垂直数量积为0,结合数量积的坐标表示,进而求出x,y,z的关系式,从而得出x,y,z的比值。
13.【答案】①②③
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由 ,
在①中, ,所以 ,所以 ,所以是正确的;
在②中, ,所以 ,所以 ,所以是正确的;
在③中,由于 , ,且 ,可知 是平面 的法向量,所以是正确的;
在④中, ,
假设存在实数 使得 ,则 ,此时无解,所以是不正确的,
所以正确命题的序号为①②③。
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系,结合数量积的坐标表示,再利用法向量的定义和三角形法则以及共线定理,进而得出正确命题的序号。
14.【答案】0
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】 , , 分别是平面 、 、 的一个法向量,
且 , , ,
因此, 、 、 三个平面中任意两个都不垂直.
故答案为:0。
【分析】利用已知条件和法向量的定义,再结合数量积为0两向量垂直的等价关系,再利用数量积的坐标表示,进而得出 、 、 三个平面中两两垂直的对数。
15.【答案】垂直
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】 平面 , 平面 , ,
在 中, , ,
且 ,
平面 , 平面 ,
。
故答案为:垂直.
【分析】利用线面垂直的定义证出线线垂直,即 ,在 中,因为 , 所以 ,再利用线线垂直证出线面垂直,即 平面 ,再利用线面垂直的定义证出线线垂直,从而判断出直线 与 的位置关系。
16.【答案】-3
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】∵α∥β,
∴ ∥ ,
∴存在实数λ使得 =λ ,
即(﹣3,y,2)=λ(6,﹣2,z),
∴ ,解得λ=﹣ ,y=1,z=﹣4,
∴y+z=﹣3。
故答案为﹣3。
【分析】利用面面平行的性质定理证出线线平行,进而得出两向量平行,再利用向量共线的坐标表示,进而求出x,y,z的值,从而求出y+z的值。
17.【答案】证明: 四边形 为矩形,则 ,
平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
平面 ,
又 四边形 为正方形,以点 为坐标原点, 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ,
则 , , , , .
所以 , , .
设 是平面 的法向量,则 , ,
所以 ,得 ,
取 ,得 , ,则 .
因为 ,所以 ,即 与 共线.
所以 平面
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】 利用四边形 为矩形,则 ,因为平面 平面 ,所以利用面面垂直的性质定理证出线面垂直,即 平面 ,又因为四边形 为正方形,所以以点 为坐标原点, 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ,再利用已知条件,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合空间向量的方法和数量积为0两向量垂直的等价关系,再利用数量积的坐标表示,进而证出两向量垂直,再结合向量共线定理,进而证出线面垂直,即证出 平面 。
18.【答案】(1)证明:直三棱柱 中, , , , , 、 、 两两垂直,
以 为坐标原点,直线 、 、 分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,
则 ,0, , ,0, , ,0, , ,4, , ,4, ,
,0, , , , , ,
(2)解:假设在 上存在点 ,使得 ,
则 , , ,其中 ,
于是 , , ,则 , , ,由于 ,0, ,且 ,
,得 , 在 上存在点 ,使得 ,这时点 与点 重合.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】(1) 直三棱柱 中, , , , , 、 、 两两垂直,以 为坐标原点,直线 、 、 分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,进而求出点的坐标,再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再结合数量积为0两向量垂直的等价关系,进而结合数量积的坐标表示,从而证出两向量垂直,进而证出线线垂直,即 。
(2) 假设在 上存在点 ,使得 , 再利用共线向量的坐标表示结合两向量垂直数量积为0的等价关系,进而求出在 上存在点 ,使得 ,这时点 与点 重合。
19.【答案】解:连接BD,BG.
∵ = - , = ,∴ = - ,
∵ = + ,∴ = + - =- + + .
∵ ,∴ = ,∴ = (- + + )= + + .
又∵ = - ,∴ = + + ,
∵ =m,∴ =m· = + + ,
∵ =- + = - + ,
∴ =(1 ) +( -1) + .
又∵G,B,P,D四点共面,∴1 =0,m= .
即m的值是 .
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】 连接BD,BG ,利用共线定理和三角形法则表示向量的方法,再结合已知条件和平面向量基本定理,进而结合四点共面的判断方法,从而求出m的值。
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