高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、单选题
1．（2020高二上·天津月考）对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，有如下关系： ，则（　　）
A． ， ， ， 四点必共面
B． ， ， ， 四点必共面
C． ， ， ， 四点必共面
D． ， ， ， ， 五点必共面
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】对于空间任一点 和不共线三点 ， ， ，若点 满足 且 ，则 ， ， ， 四点共面.而 ，其中 ，所以 ， ， ， 四点共面.
故答案为：B.
【分析】由空间共线向量定理求解即可.
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量 ， ， 是（　　）
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】如图所示，
因为 ，而 ，
，即
由于 与 不共线，所以 ， ， 三向量共面．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平行六面体ABCD－A1B1C1D1的结构特征，进而利用共面向量的判断方法，从而结合三角形法则和向量共线定理，再利用平面向量基本定理，进而推出 ， ， 三向量共面。
3．（2020高二上·天津月考）若 在直线l上，则直线 的一个方向向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由题意可得：直线 的一个方向向量 ，
又∵ ，
∴ 是直线 的一个方向向量．
故答案为：A．
【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量 ，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．
4．（2020高二上·尚义期中）以下四组向量：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， .其中 ， 分别为直线 ， 的方向向量，则它们互相平行的是（　　）
A．②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】①∵ ，∴②∵ ，∴ .③∵ ，∴ .④∵ ，∴ ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出互相平行的两向量的序号。
5．若直线l的一个方向向量 ，平面α的一个法向量为 ，则（　　）
A． B．
C． D．A、C都有可能
【答案】B
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解: 直线的一个方向向量为 ，平面α的一个法向量为
则 ， ，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量推出 ， 再利用向量共线定理，进而得出直线与平面的位置关系，从而找出正确答案。
6．如果直线l的方向向量是 ，且直线l上有一点P不在平面 内，平面 的法向量是 ，那么（　　）.
A．直线l与平面 垂直 B．直线l与平面 平行
C．直线l在平面 内 D．直线l与平面 相交但不垂直
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为直线l的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，
又因为 ，所以直线l在平面 内或与平面 平行，又因为直线l上有一点P不在平面 内，所以直线l与平面 平行.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量得出向量 和向量 的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以直线l在平面 内或与平面 平行，又因为直线l上有一点P不在平面 内，所以得出直线l与平面 的位置关系，从而找出正确答案。
7．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 的是
A． ，0， ， ，0，
B． ，3， ， ，0，
C． ，2， ， ，0，
D． ， ， ， ，3，
【答案】D
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
而 中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，满足条件．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量的求解方法，再利用数量积的坐标表示结合若 ，则 ，从而找出正确答案。
8．（2018高二上·海口期中）若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量是 ，则平面 与 所成的角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】依题意得， ，
则 ，
所以平面 平面 ，
即 与 所成的角是 ，
故答案为：D.
【分析】根据空间向量夹角的余弦公式可求出两平面法向量的余弦值为0，从而得到答案。
9．如图所示，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 的中点，则直线 ， 的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2，
则 ， ， ， ，
∴ ， .
∵ ，
∴直线 ， 的位置关系是异面垂直.
故答案为：C
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，再结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两直线垂直的等价关系，结合数量积的坐标表示，进而结合异面直线的判断方法，从而判断出直线 ， 的位置关系。
10．已知平面α的法向量为 ＝(1，2，－2)，平面β的法向量为 ＝(－2，－4，k)．若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
【答案】D
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】∵α⊥β，∴ .∴ ＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5。
故答案为：D
【分析】利用面面垂直结合法向量的定义，进而推出线线垂直，即，再利用两向量垂直数量积为的等价关系，进而结合数量积的坐标表示，从而求出k的值。
二、多选题
11．下列命题中是假命题的为（　　）
A．若向量 ，则 与 ， 共面
B．若 与 ， 共面，则
C．若 ，则 ， ， ， 四点共面
D．若 ， ， ， 四点共面，则
【答案】B,D
【知识点】平面向量的基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：由平面向量基本定理得 与 ， 共面，A是真命题；
对于B：若 ， 共线， 不一定能用 ， 表示出来，B是假命题；
对于C：若 ，则 三个向量在同一个平面内， ， ， ， 四点共面，C是真命题；
对于D：若 ， ， 共线，点P不在此直线上，则 不成立，D是假命题；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件和向量共面的判断方法，再结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法，进而得出假命题的选项。
三、填空题
12．若 ， ， 是平面内的三点，设平面的法向量 ，则 　 　．
【答案】2：3：（-4）
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 ，得 ，
因为为平面的法向量，则有 ，即 ，
由向量的数量积的运算法则有 ，解得 ，
所以 ，
故正确答案为 2：3：（-4） 。
【分析】利用点的坐标结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，结合数量积的坐标表示，进而求出x,y,z的关系式，从而得出x,y,z的比值。
13．已知点 是平行四边形 所在平面外一点，如果 ，对于结论：① ；② ；③ 是平面 的法向量；④ .其中正确的说法的序号是　 　．
【答案】①②③
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由 ,
在①中， ，所以 ，所以 ，所以是正确的；
在②中， ，所以 ，所以 ，所以是正确的；
在③中，由于 ， ，且 ，可知 是平面 的法向量，所以是正确的；
在④中， ,
假设存在实数 使得 ，则 ，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③。
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，结合数量积的坐标表示，再利用法向量的定义和三角形法则以及共线定理，进而得出正确命题的序号。
14．已知 ， ， 分别是平面 、 、 的一个法向量，则 、 、 三个平面中两两垂直的有　 　对.
【答案】0
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】 ， ， 分别是平面 、 、 的一个法向量，
且 ， ， ，
因此， 、 、 三个平面中任意两个都不垂直.
故答案为：0。
【分析】利用已知条件和法向量的定义，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出 、 、 三个平面中两两垂直的对数。
15．已知 在平面 内， ， 平面 ，则直线 与 的位置关系是　 　.
【答案】垂直
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】 平面 ， 平面 ， ,
在 中， ， ，
且 ，
平面 ， 平面 ，
。
故答案为：垂直.
【分析】利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ,在 中，因为 ， 所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而判断出直线 与 的位置关系。
16．若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且 ，则 　 　．
【答案】-3
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】∵α∥β，
∴ ∥ ，
∴存在实数λ使得 =λ ，
即（﹣3，y，2）=λ（6，﹣2，z），
∴ ，解得λ=﹣ ，y=1，z=﹣4，
∴y+z=﹣3。
故答案为﹣3。
【分析】利用面面平行的性质定理证出线线平行，进而得出两向量平行，再利用向量共线的坐标表示，进而求出x，y，z的值，从而求出y+z的值。
四、解答题
17．如图，已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， ， 是线段 的中点.求证： 平面 .
【答案】证明： 四边形 为矩形，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 四边形 为正方形，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设 是平面 的法向量，则 ， ，
所以 ，得 ，
取 ，得 ， ，则 .
因为 ，所以 ，即 与 共线.
所以 平面
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】 利用四边形 为矩形，则 ，因为平面 平面 ，所以利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，即 平面 ，又因为四边形 为正方形，所以以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，再利用已知条件，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法和数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量共线定理，进而证出线面垂直，即证出 平面 。
18．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 ？
【答案】（1）证明：直三棱柱 中， ， ， ， ， 、 、 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 、 、 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，4， ， ，4， ，
，0， ， ， ， ， ，
（2）解：假设在 上存在点 ，使得 ，
则 ， ， ，其中 ，
于是 ， ， ，则 ， ， ，由于 ，0， ，且 ，
，得 ， 在 上存在点 ，使得 ，这时点 与点 重合．
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】（1） 直三棱柱 中， ， ， ， ， 、 、 两两垂直，以 为坐标原点，直线 、 、 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而结合数量积的坐标表示，从而证出两向量垂直，进而证出线线垂直，即 。
（2） 假设在 上存在点 ，使得 ， 再利用共线向量的坐标表示结合两向量垂直数量积为0的等价关系，进而求出在 上存在点 ，使得 ，这时点 与点 重合。
19．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且 点G在AH上，且 =m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.
【答案】解：连接BD，BG.
∵ = - , = ,∴ = - ,
∵ = + ，∴ = + - =- + + .
∵ ,∴ = ，∴ = (- + + )= + + .
又∵ = - ，∴ = + + ，
∵ =m,∴ =m· = + + ,
∵ =- + = - + ,
∴ =(1 ) +( -1) + .
又∵G,B,P,D四点共面，∴1 =0,m= .
即m的值是 .
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】 连接BD，BG ，利用共线定理和三角形法则表示向量的方法，再结合已知条件和平面向量基本定理，进而结合四点共面的判断方法，从而求出m的值。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、单选题
1．（2020高二上·天津月考）对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，有如下关系： ，则（　　）
A． ， ， ， 四点必共面
B． ， ， ， 四点必共面
C． ， ， ， 四点必共面
D． ， ， ， ， 五点必共面
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量 ， ， 是（　　）
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
3．（2020高二上·天津月考）若 在直线l上，则直线 的一个方向向量为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·尚义期中）以下四组向量：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， .其中 ， 分别为直线 ， 的方向向量，则它们互相平行的是（　　）
A．②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④
5．若直线l的一个方向向量 ，平面α的一个法向量为 ，则（　　）
A． B．
C． D．A、C都有可能
6．如果直线l的方向向量是 ，且直线l上有一点P不在平面 内，平面 的法向量是 ，那么（　　）.
A．直线l与平面 垂直 B．直线l与平面 平行
C．直线l在平面 内 D．直线l与平面 相交但不垂直
7．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 的是
A． ，0， ， ，0，
B． ，3， ， ，0，
C． ，2， ， ，0，
D． ， ， ， ，3，
8．（2018高二上·海口期中）若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量是 ，则平面 与 所成的角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．如图所示，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 的中点，则直线 ， 的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直
10．已知平面α的法向量为 ＝(1，2，－2)，平面β的法向量为 ＝(－2，－4，k)．若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
二、多选题
11．下列命题中是假命题的为（　　）
A．若向量 ，则 与 ， 共面
B．若 与 ， 共面，则
C．若 ，则 ， ， ， 四点共面
D．若 ， ， ， 四点共面，则
三、填空题
12．若 ， ， 是平面内的三点，设平面的法向量 ，则 　 　．
13．已知点 是平行四边形 所在平面外一点，如果 ，对于结论：① ；② ；③ 是平面 的法向量；④ .其中正确的说法的序号是　 　．
14．已知 ， ， 分别是平面 、 、 的一个法向量，则 、 、 三个平面中两两垂直的有　 　对.
15．已知 在平面 内， ， 平面 ，则直线 与 的位置关系是　 　.
16．若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且 ，则 　 　．
四、解答题
17．如图，已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， ， 是线段 的中点.求证： 平面 .
18．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 ？
19．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且 点G在AH上，且 =m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】对于空间任一点 和不共线三点 ， ， ，若点 满足 且 ，则 ， ， ， 四点共面.而 ，其中 ，所以 ， ， ， 四点共面.
故答案为：B.
【分析】由空间共线向量定理求解即可.
2．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】如图所示，
因为 ，而 ，
，即
由于 与 不共线，所以 ， ， 三向量共面．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平行六面体ABCD－A1B1C1D1的结构特征，进而利用共面向量的判断方法，从而结合三角形法则和向量共线定理，再利用平面向量基本定理，进而推出 ， ， 三向量共面。
3．【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由题意可得：直线 的一个方向向量 ，
又∵ ，
∴ 是直线 的一个方向向量．
故答案为：A．
【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量 ，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】①∵ ，∴②∵ ，∴ .③∵ ，∴ .④∵ ，∴ ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出互相平行的两向量的序号。
5．【答案】B
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解: 直线的一个方向向量为 ，平面α的一个法向量为
则 ， ，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量推出 ， 再利用向量共线定理，进而得出直线与平面的位置关系，从而找出正确答案。
6．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为直线l的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，
又因为 ，所以直线l在平面 内或与平面 平行，又因为直线l上有一点P不在平面 内，所以直线l与平面 平行.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量得出向量 和向量 的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以直线l在平面 内或与平面 平行，又因为直线l上有一点P不在平面 内，所以得出直线l与平面 的位置关系，从而找出正确答案。
7．【答案】D
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
而 中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，满足条件．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量的求解方法，再利用数量积的坐标表示结合若 ，则 ，从而找出正确答案。
8．【答案】D
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】依题意得， ，
则 ，
所以平面 平面 ，
即 与 所成的角是 ，
故答案为：D.
【分析】根据空间向量夹角的余弦公式可求出两平面法向量的余弦值为0，从而得到答案。
9．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2，
则 ， ， ， ，
∴ ， .
∵ ，
∴直线 ， 的位置关系是异面垂直.
故答案为：C
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，再结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两直线垂直的等价关系，结合数量积的坐标表示，进而结合异面直线的判断方法，从而判断出直线 ， 的位置关系。
10．【答案】D
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】∵α⊥β，∴ .∴ ＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5。
故答案为：D
【分析】利用面面垂直结合法向量的定义，进而推出线线垂直，即，再利用两向量垂直数量积为的等价关系，进而结合数量积的坐标表示，从而求出k的值。
11．【答案】B,D
【知识点】平面向量的基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：由平面向量基本定理得 与 ， 共面，A是真命题；
对于B：若 ， 共线， 不一定能用 ， 表示出来，B是假命题；
对于C：若 ，则 三个向量在同一个平面内， ， ， ， 四点共面，C是真命题；
对于D：若 ， ， 共线，点P不在此直线上，则 不成立，D是假命题；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件和向量共面的判断方法，再结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法，进而得出假命题的选项。
12．【答案】2：3：（-4）
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 ，得 ，
因为为平面的法向量，则有 ，即 ，
由向量的数量积的运算法则有 ，解得 ，
所以 ，
故正确答案为 2：3：（-4） 。
【分析】利用点的坐标结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，结合数量积的坐标表示，进而求出x,y,z的关系式，从而得出x,y,z的比值。
13．【答案】①②③
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由 ,
在①中， ，所以 ，所以 ，所以是正确的；
在②中， ，所以 ，所以 ，所以是正确的；
在③中，由于 ， ，且 ，可知 是平面 的法向量，所以是正确的；
在④中， ,
假设存在实数 使得 ，则 ，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③。
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，结合数量积的坐标表示，再利用法向量的定义和三角形法则以及共线定理，进而得出正确命题的序号。
14．【答案】0
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】 ， ， 分别是平面 、 、 的一个法向量，
且 ， ， ，
因此， 、 、 三个平面中任意两个都不垂直.
故答案为：0。
【分析】利用已知条件和法向量的定义，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出 、 、 三个平面中两两垂直的对数。
15．【答案】垂直
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】 平面 ， 平面 ， ,
在 中， ， ，
且 ，
平面 ， 平面 ，
。
故答案为：垂直.
【分析】利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ,在 中，因为 ， 所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而判断出直线 与 的位置关系。
16．【答案】-3
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】∵α∥β，
∴ ∥ ，
∴存在实数λ使得 =λ ，
即（﹣3，y，2）=λ（6，﹣2，z），
∴ ，解得λ=﹣ ，y=1，z=﹣4，
∴y+z=﹣3。
故答案为﹣3。
【分析】利用面面平行的性质定理证出线线平行，进而得出两向量平行，再利用向量共线的坐标表示，进而求出x，y，z的值，从而求出y+z的值。
17．【答案】证明： 四边形 为矩形，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 四边形 为正方形，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设 是平面 的法向量，则 ， ，
所以 ，得 ，
取 ，得 ， ，则 .
因为 ，所以 ，即 与 共线.
所以 平面
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】 利用四边形 为矩形，则 ，因为平面 平面 ，所以利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，即 平面 ，又因为四边形 为正方形，所以以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，再利用已知条件，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法和数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量共线定理，进而证出线面垂直，即证出 平面 。
18．【答案】（1）证明：直三棱柱 中， ， ， ， ， 、 、 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 、 、 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，4， ， ，4， ，
，0， ， ， ， ， ，
（2）解：假设在 上存在点 ，使得 ，
则 ， ， ，其中 ，
于是 ， ， ，则 ， ， ，由于 ，0， ，且 ，
，得 ， 在 上存在点 ，使得 ，这时点 与点 重合．
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】（1） 直三棱柱 中， ， ， ， ， 、 、 两两垂直，以 为坐标原点，直线 、 、 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而结合数量积的坐标表示，从而证出两向量垂直，进而证出线线垂直，即 。
（2） 假设在 上存在点 ，使得 ， 再利用共线向量的坐标表示结合两向量垂直数量积为0的等价关系，进而求出在 上存在点 ，使得 ，这时点 与点 重合。
19．【答案】解：连接BD，BG.
∵ = - , = ,∴ = - ,
∵ = + ，∴ = + - =- + + .
∵ ,∴ = ，∴ = (- + + )= + + .
又∵ = - ，∴ = + + ，
∵ =m,∴ =m· = + + ,
∵ =- + = - + ,
∴ =(1 ) +( -1) + .
又∵G,B,P,D四点共面，∴1 =0,m= .
即m的值是 .
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】 连接BD，BG ，利用共线定理和三角形法则表示向量的方法，再结合已知条件和平面向量基本定理，进而结合四点共面的判断方法，从而求出m的值。
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