高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示
一、单选题
1．已知O为原点， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．空间直角坐标系中，已知 ， ，则线段 的中点为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．0 D．-2
4．（2019高二上·三明月考）直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，侧棱长为3， ， 分别为 ， 的中点，则 （ ）
A．2 B．-2 C． D．
5．如图，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． 与 垂直 B． 与 垂直
C． 与 平行 D． 与 平行
6．已知向量 ， ， ，则向量 的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
7．已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，则 的重心坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ， 是空间向量的一组基底， ， ， 是空间向量的另一组基底，若向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则向量 在基底 ， ， 下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（ ）
A．向量 的坐标与点B的坐标相同
B．向量 的坐标与点A的坐标相同
C．向量 与向量 的坐标相同
D．向量 与向量 的坐标相同
10．（2019高二上·随县月考）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量 =（1，1，0），则与 共线的单位向量 =（ ）
A． B． 1， C． D． 1，
12．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)， 与 的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A．± B． C．－ D．±
13．在空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
二、填空题
14．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则 与 的夹角θ的大小是 ．
15．已知
，若
，且
平面
，则
．
16．已知向量 ， ，并且 ， 同向，则 ， 的值分别为 ．
17．若向量 （1，λ，2）， （﹣2，1，1）， ， 夹角的余弦值为 ，则λ= .
18．已知向量 ，且 ，则 ．
19．（2019高二下·上海期末）点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则 的取值范围是 .
20．已知 ， ．若 ，则μ＝ ；若 ，则λ+μ＝ ．
三、解答题
21．（2020高二上·绍兴期末）如图，已知四棱柱 ， 平面 ， 是菱形，点 在 上，且 ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明： 平面 ．
22．已知点 ， ， ．
（1）若D为线段 的中点，求线段 的长；
（2）若 ，且 ，求a的值，并求此时向量 与 夹角的余弦值．
23．如图，建立空间直角坐标系 .单位正方体 顶点A位于坐标原点，其中点 ，点 ，点 .
（1）若点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心，则分别求出向量 的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出 ， 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
，
，
故答案为：A．
【分析】由空间向量的坐标运算计算出结果即可。
2．【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为 .故答案为：D.
【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。
3．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】已知 ， ，
，
∴ .
故答案为：A
【分析】由空间向量和数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为直三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，
所以 ， ， ，
所以 ，
又 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ， ，
因此
.
故答案为：B
【分析】先由直三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，得到 ， ， ，推出 ，再由又 ， 分别为 ， 的中点，得到 ，即可求出结果.
5．【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图：连接 ， ，
在三角形 中， ，C符合题意．
平面 ， ， 与 垂直，A符合题意；
， ， 与 垂直，B符合题意；
∵ ， 与 不可能平行，D不符合题意
故答案为：D．
【分析】 首先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，故排除A、B、C由此得到答案。
6．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】向量 ， ， ，
则向量 ，
故答案为：A.
【分析】由空间向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
7．【答案】B
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】 的重心坐标为 ， ， ．
的重心坐标为 ．
故答案为：B．
【分析】由空间直角坐标系内重心的坐标公式计算出结果即可。
8．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标；共面向量定理
【解析】【解答】 ，则 ，
∴ ，解得 ，即所求坐标为 。
故答案为：C。
【分析】利用空间向量共线的性质定理即可得出关于x、y、z的方程组计算出结果即可。
9．【答案】D
【知识点】空间向量的概念
【解析】【解答】因为点A不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；
由于 ，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】由空间定点向量以及向量坐标的定义对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意得， ，所以 ，当 时， 的最小值为 ，
故答案为：C.
【分析】利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示结合二次函数求最值的方法，从而求出向量的模 的最小值。
11．【答案】C
【知识点】单位向量；共线（平行）向量；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为向量 =（1，1，0）
所以与 共线的单位向量可为 且
解得
所以可得与 共线的单位向量为 或
故答案为：C
【分析】根据题意由空间单位向量和共线向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
12．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ， ，
， ，
所以 ，
所以 ，
且
解得 ，故答案为：C．
【分析】首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角求出结果．
13．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】因为 ， ， ， ，所以, ,可得 ，所以 ，线 与 的位置关系是平行，故答案为：B．
【分析】首先由空间向量共线的坐标公式求出向量的坐标再由平行向量坐标的关系计算出结果即可。
14．【答案】120°
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，
则 ，
所以 ,
又因为 ，所以 .
故答案为：120°
【分析】根据题意由空间点的坐标求出向量的坐标再由夹角的数量积公式代入数值计算出夹角的余弦值，由此得出夹角的大小。
15．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】因为
，
所以
，
即
，所以
．
因为
平面
，
所以
，且
，
即
解得
所以
．
故答案为：
【分析】首先由空间向量垂直与数量积之间的关系代入数值计算出z的值，再由线面垂直的性质定理得出线线垂直以及向量垂直，结合向量垂直的坐标公式计算出x与y的值由此得出结果。
16．【答案】1，3
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】 ， 同向
，
即 ．
得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
①当 时， ，
此时 ， 反向，不符合题意，所以舍去．
②当 时， ，此时 与 同向，
故答案为：1，3.
【分析】根据题意由已知条件即可得出向量共线，利用空间向量平行的坐标运算公式代入数值得到关于x与y 的方程组，求解出结果即可得到向量的坐标，由此即可判断出两个向量是否同向由此即可得出答案。
17．【答案】1
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵向量 （1，λ，2）， （﹣2，1，1），
∴ 2+λ+2＝λ， ， ．
又 ， 夹角的余弦值为 ，∴ ，可知λ＞0．
解得λ＝1．
故答案为：1．
【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式即可得出关于λ的代数式，结合空间向量模的定义计算出λ的值，再由数量积的运算公式计算出夹角的余弦值由此得出λ的值即可。
18．【答案】3
【知识点】向量的模；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
可得 ，
因为 ，解得 ，故答案为3.
【分析】由空间向量的坐标运算求出。再结合结合向量模的定义计算出结果即可。
19．【答案】[﹣ ，0]
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴ （1﹣x，﹣y，﹣1）， （﹣x，1﹣y，0），
∴ x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y ，
由二次函数的性质可得，当x＝y 时， 取得最小值为 ；
当x＝0或1，且y＝0或1时， 取得最大值为0，
则 的取值范围是[ ，0]．
故答案为：[ ，0]．
【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算 x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
20．【答案】；
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】 ，故 ；
，则 ，即 ，故 ，解得
故 .
故答案为： ； .
【分析】首先由数量积的空间坐标公式结合已知条件计算出的值，再由共线向量的空间坐标公式计算出 λ 和的值即可。
21．【答案】证明：（Ⅰ）连结 ，交 于 ，
平面 ， 是菱形，
， ，
， 平面 ，
平面 ， ．
（Ⅱ）以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ， ， ，
则 , ， ， ， ， 0， ， ，
， ， ，
设平面ACE的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
， 平面 ，
平面 .
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）连结 ，交 于 ，推导出 ， ，从而 平面 ，由此能证明 ；（Ⅱ）以 为原点， 为 轴，OC为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 ．
22．【答案】（1）解：由题意，点 ， 且点D为线段 的中点，
可得 ，则 ，所以 ，
即线段 的长为
（2）解：由点 ， ，则 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
则 ，
即向量 与 夹角的余弦值为
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意由空间的斜率坐标公式计算出中点的坐标，再由向量模的定义代入数值计算出结果即可。
(2)首先由空间点的坐标求出向量的坐标再由空间数量积的坐标公式代入数值计算出夹角的余弦值由此即可得出向量的夹角。
23．【答案】（1）解：因为点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心
所以
所以
（2）解：由（1）可得
又由 ，所以
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由正方体的几何性质以及空间中点的性质即可求出各个点的坐标，由此即可求出向量的坐标。
(2)由(1)的结论结合空间数量积的运算公式即可得出的值，再由空间向量模的定义即可求出的值。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示
一、单选题
1．已知O为原点， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
，
，
故答案为：A．
【分析】由空间向量的坐标运算计算出结果即可。
2．空间直角坐标系中，已知 ， ，则线段 的中点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为 .故答案为：D.
【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。
3．已知 ， ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．0 D．-2
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】已知 ， ，
，
∴ .
故答案为：A
【分析】由空间向量和数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
4．（2019高二上·三明月考）直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，侧棱长为3， ， 分别为 ， 的中点，则 （ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为直三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，
所以 ， ， ，
所以 ，
又 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ， ，
因此
.
故答案为：B
【分析】先由直三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，得到 ， ， ，推出 ，再由又 ， 分别为 ， 的中点，得到 ，即可求出结果.
5．如图，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． 与 垂直 B． 与 垂直
C． 与 平行 D． 与 平行
【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图：连接 ， ，
在三角形 中， ，C符合题意．
平面 ， ， 与 垂直，A符合题意；
， ， 与 垂直，B符合题意；
∵ ， 与 不可能平行，D不符合题意
故答案为：D．
【分析】 首先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，故排除A、B、C由此得到答案。
6．已知向量 ， ， ，则向量 的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】向量 ， ， ，
则向量 ，
故答案为：A.
【分析】由空间向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
7．已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，则 的重心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】 的重心坐标为 ， ， ．
的重心坐标为 ．
故答案为：B．
【分析】由空间直角坐标系内重心的坐标公式计算出结果即可。
8．已知 ， ， 是空间向量的一组基底， ， ， 是空间向量的另一组基底，若向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则向量 在基底 ， ， 下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标；共面向量定理
【解析】【解答】 ，则 ，
∴ ，解得 ，即所求坐标为 。
故答案为：C。
【分析】利用空间向量共线的性质定理即可得出关于x、y、z的方程组计算出结果即可。
9．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（ ）
A．向量 的坐标与点B的坐标相同
B．向量 的坐标与点A的坐标相同
C．向量 与向量 的坐标相同
D．向量 与向量 的坐标相同
【答案】D
【知识点】空间向量的概念
【解析】【解答】因为点A不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；
由于 ，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】由空间定点向量以及向量坐标的定义对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2019高二上·随县月考）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意得， ，所以 ，当 时， 的最小值为 ，
故答案为：C.
【分析】利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示结合二次函数求最值的方法，从而求出向量的模 的最小值。
11．已知向量 =（1，1，0），则与 共线的单位向量 =（ ）
A． B． 1， C． D． 1，
【答案】C
【知识点】单位向量；共线（平行）向量；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为向量 =（1，1，0）
所以与 共线的单位向量可为 且
解得
所以可得与 共线的单位向量为 或
故答案为：C
【分析】根据题意由空间单位向量和共线向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
12．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)， 与 的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A．± B． C．－ D．±
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ， ，
， ，
所以 ，
所以 ，
且
解得 ，故答案为：C．
【分析】首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角求出结果．
13．在空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】因为 ， ， ， ，所以, ,可得 ，所以 ，线 与 的位置关系是平行，故答案为：B．
【分析】首先由空间向量共线的坐标公式求出向量的坐标再由平行向量坐标的关系计算出结果即可。
二、填空题
14．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则 与 的夹角θ的大小是 ．
【答案】120°
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，
则 ，
所以 ,
又因为 ，所以 .
故答案为：120°
【分析】根据题意由空间点的坐标求出向量的坐标再由夹角的数量积公式代入数值计算出夹角的余弦值，由此得出夹角的大小。
15．已知
，若
，且
平面
，则
．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】因为
，
所以
，
即
，所以
．
因为
平面
，
所以
，且
，
即
解得
所以
．
故答案为：
【分析】首先由空间向量垂直与数量积之间的关系代入数值计算出z的值，再由线面垂直的性质定理得出线线垂直以及向量垂直，结合向量垂直的坐标公式计算出x与y的值由此得出结果。
16．已知向量 ， ，并且 ， 同向，则 ， 的值分别为 ．
【答案】1，3
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】 ， 同向
，
即 ．
得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
①当 时， ，
此时 ， 反向，不符合题意，所以舍去．
②当 时， ，此时 与 同向，
故答案为：1，3.
【分析】根据题意由已知条件即可得出向量共线，利用空间向量平行的坐标运算公式代入数值得到关于x与y 的方程组，求解出结果即可得到向量的坐标，由此即可判断出两个向量是否同向由此即可得出答案。
17．若向量 （1，λ，2）， （﹣2，1，1）， ， 夹角的余弦值为 ，则λ= .
【答案】1
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵向量 （1，λ，2）， （﹣2，1，1），
∴ 2+λ+2＝λ， ， ．
又 ， 夹角的余弦值为 ，∴ ，可知λ＞0．
解得λ＝1．
故答案为：1．
【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式即可得出关于λ的代数式，结合空间向量模的定义计算出λ的值，再由数量积的运算公式计算出夹角的余弦值由此得出λ的值即可。
18．已知向量 ，且 ，则 ．
【答案】3
【知识点】向量的模；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
可得 ，
因为 ，解得 ，故答案为3.
【分析】由空间向量的坐标运算求出。再结合结合向量模的定义计算出结果即可。
19．（2019高二下·上海期末）点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则 的取值范围是 .
【答案】[﹣ ，0]
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴ （1﹣x，﹣y，﹣1）， （﹣x，1﹣y，0），
∴ x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y ，
由二次函数的性质可得，当x＝y 时， 取得最小值为 ；
当x＝0或1，且y＝0或1时， 取得最大值为0，
则 的取值范围是[ ，0]．
故答案为：[ ，0]．
【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算 x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
20．已知 ， ．若 ，则μ＝ ；若 ，则λ+μ＝ ．
【答案】；
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】 ，故 ；
，则 ，即 ，故 ，解得
故 .
故答案为： ； .
【分析】首先由数量积的空间坐标公式结合已知条件计算出的值，再由共线向量的空间坐标公式计算出 λ 和的值即可。
三、解答题
21．（2020高二上·绍兴期末）如图，已知四棱柱 ， 平面 ， 是菱形，点 在 上，且 ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明： 平面 ．
【答案】证明：（Ⅰ）连结 ，交 于 ，
平面 ， 是菱形，
， ，
， 平面 ，
平面 ， ．
（Ⅱ）以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ， ， ，
则 , ， ， ， ， 0， ， ，
， ， ，
设平面ACE的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
， 平面 ，
平面 .
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）连结 ，交 于 ，推导出 ， ，从而 平面 ，由此能证明 ；（Ⅱ）以 为原点， 为 轴，OC为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 ．
22．已知点 ， ， ．
（1）若D为线段 的中点，求线段 的长；
（2）若 ，且 ，求a的值，并求此时向量 与 夹角的余弦值．
【答案】（1）解：由题意，点 ， 且点D为线段 的中点，
可得 ，则 ，所以 ，
即线段 的长为
（2）解：由点 ， ，则 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
则 ，
即向量 与 夹角的余弦值为
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意由空间的斜率坐标公式计算出中点的坐标，再由向量模的定义代入数值计算出结果即可。
(2)首先由空间点的坐标求出向量的坐标再由空间数量积的坐标公式代入数值计算出夹角的余弦值由此即可得出向量的夹角。
23．如图，建立空间直角坐标系 .单位正方体 顶点A位于坐标原点，其中点 ，点 ，点 .
（1）若点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心，则分别求出向量 的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出 ， 的值.
【答案】（1）解：因为点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心
所以
所以
（2）解：由（1）可得
又由 ，所以
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由正方体的几何性质以及空间中点的性质即可求出各个点的坐标，由此即可求出向量的坐标。
(2)由(1)的结论结合空间数量积的运算公式即可得出的值，再由空间向量模的定义即可求出的值。
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