【精品解析】高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）设 ，且 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ；② ；③ ；④ ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020高二上·惠州期末）在正方体 中，点E为上底面A1C1的中心，若 ，则x，y的值是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2019高二上·文昌月考）如图，平行六面体 中，AC与BD的交点为点M， ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知空间四点 ， ， ， 共面，则 的值为（　　）
A．4 B．1 C．10 D．11
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知 ， ， ， ，则向量 与 之间的夹角 为（　　）.
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）空间四边形 的各边和对角线均相等， 是 的中点，那么（　　）.
A．
B．
C．
D． 与 的大小不能比较
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在长方体 中， ， ， ， 分别是平面 ，平面 的中心，则 ， 两点间的距离为（　　）.
A．1 B． C． D．
9．（2018高二上·海口期中）如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）在以下三个命题中，真命题的个数是（　　）.
①若三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；③若 ， 是两个不共线的向量，而 （ 且 ），则 构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（　　）
A． B．
C． D．
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）在空间四点 ， ， ， 中，若 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（　　）.
A． ， ， ， 四点不共线
B． ， ， ， 四点共面，但不共线
C． ， ， ， 四点不共面
D． ， ， ， 点中任意三点不共线
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 =2 ，则下列结论正确的是（　　）
A． +2 -2 B． =-2 +3
C． =2 -3 D． =2 -2
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值是　 　．
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知 ， .若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是　 　.
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）设向量 ， .其中 .则 与 夹角的最大值为　 　.
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 　 　.
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在空间四边形 中， 和 为对角线， 为 的重心 是 上一点， 以 为基底，则 　 　．
19．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知空间的个基底 ，若 ， 共线，则 　 　， 　 　.
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在三棱锥 中，G是 的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.
（1）用向量 表示向量 ，并证明你的结论；
（2）设 ，请写出点P在 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.
21．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在三棱柱 中， ，D，E分别是 的中点.求证：
（1） 平面 ；
（2） 平面 .(用向量方法证明)
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】 ， ， ， 共面，
① ， ， 不能作为空间向量的一个基底．
， ， ， ， ， 不共面，
② ， ， 可作为空间向量的一个基底．
同理， ， ， 不共面， ， ， 不共面，
③ ， ， ；④ ， ， 都可作为空间向量的一个基底．
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义即三个向量不共面对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；棱柱的结构特征
【解析】【解答】根据题意，结合正方体的性质，
可知 ，
所以有 ， ，
故答案为：A．
【分析】利用正方体的结构特征结合已知条件，再利用向量的三角形法则结合平面向量基本定理，从而求出x，y的值。
3．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，设 的中点为 ，连接 、 、 ，
易知 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）
设三棱柱 的侧棱与底面边长均为1，
则 ， ， ，
由余弦定理，得
故应选B.
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及三棱柱的几何性质，即可求出异面直线所成的角结合已知条件变得大小，由三角形内的几何计算关系结合余弦定理即可求出所成角的余弦值 。
4．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 .
故答案为：C
【分析】根据向量基本原理和向量的线性运算，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】依题意得 ， ， ，
、 、 、 四点共面， 、 、 共面，
存在实数 、 ，使得 ，
即 ，所以 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】由空间向量共面的定义以及性质定理即可得到关于x、 、 的方程组计算出结果即可。
6．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
两边平方得： ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】由向量和数量积的运算性质代入数值计算出夹角的余弦值由此求出夹角的大小。
7．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，设为a，E是边BC的中点，即有AE⊥BC，即 ，取BD的中点F，连接AF，EF，可得AF＝AE＝ a，EF＝ a，
由余弦定理可得cos∠AEF＝ ，可得 与 夹角的余弦值为 ，则 ，所以 .
故答案为：C．
【分析】首先根据题意由空间四边形的几何性质结合中点的性质，即可得出平行关系以及边之间的关系，再由余弦定理代入数值计算出夹角的余弦值，由此判断出进而得到答案。
8．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，结合空间向量模的定义代入数值计算出结果即可。
9．【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连AE，∵ △CBD是等腰Rt△， ∴ BE⊥CD且BE=1.AB⊥底面BCD，
∴ AB⊥BE，由勾股定理， ∴ AE= ，
故答案为：B。
【分析】根据题意结合直线与平面垂直的性质，易证AB⊥BE，再利用勾股定理可求出答案。
10．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】①正确，作为基底的向量必须不共面；
②正确；
③错误，因为 ， ， 共面，所以 不能构成基底.
故只有①②正确.
故答案为：C.
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共面即可判断出①②正确由此得到答案。
11．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量 ， ， 共面，构不成基底；
B对应的命题是错误的，若四点共面，则 ， ， 共面，构不成基底；
C对应的命题是正确的，若四点共面，则 ， ， 构不成基底；
D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量 ， ， 构不成基底.
故答案为：B
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】因为 =2 ，
又 ，
所以 ，
整理得 =2 -2 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由空间向量的加、减法运算法则整理即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】连接 ，如图所示：
因为 ，所以 或其补角为异面直线 与 所成角.
， ， .
在 中， .
故答案为：
【分析】根据题意作出辅助线由直三棱柱的几何性质即可得出线线平行由此求出异面直线所成的角，由三角形内的几何计算关系结合勾股定理以及余弦函数的定义代入数值计算结果即可。
15．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
因为 与 的夹角为钝角，所以 且 ，
由 ，得 ，所以 .
若 与 的夹角为 ，则存在 ，使 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
【分析】首先由已知条件结合空间数量积的坐标运算公式计算出，再由夹角的取值范围即可得出t的取值范围。
16．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】向量 的终点都在以 为圆心，1为半径的圆上；
向量 的终点都在以 为圆心，1为半径的圆上；
且为圆 与圆 的距离为1，
如图所示，两向量的夹角最大，为 .
【分析】根据题意由空间两个向量坐标之间的关系即可得出两个向量的终点的轨迹方程，由向量的夹角运算公式求出最大值即可。
17．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】由向量的加、减法运算法则结合 平行六面体的几何性质计算出结果即可。
18．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意，连接 则
．
.
故答案为 .
【分析】根据题意作出辅助线由向量加、减法运算法则计算出结果即可。
19．【答案】1；-1
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】∵ ， 共线，∴ ，使 ，
∴ ，得
解得
故答案为：1，-1
【分析】由空间向量共面的性质定理得到关于x、y、的方程组求解出结果即可。
20．【答案】（1）解： .
证明如下：
（2）解：若 ，点P在 的内部（不包括边界），
的充分必要条件是： ，且
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 （1）由题意根据空间向量的加法法则推出向量 使得它用基底{ }表示即可 ；
(2)根据题意设出，则点P在内部的充分必要条件是：且结合平面向量三点共线的结论即可得出结果即可．
21．【答案】（1）证明：设 .
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又 平面 平面 ，
∴ 平面
（2）证明：易知 ，
∵ ，
∴
即
两式相加，整理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又 ，
∴ .
又 ，
∴ 平面
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】 （1）根据题意由向量的线性运算性质即可得出，由此结合线面平行的判定定理即可得证出结论。
（2）根据题意由向量以及数量积的运算性质结合向量垂直与数量积之间的运算性质推导出和，由线面垂直的判定定理即可证明出 平面
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）设 ，且 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ；② ；③ ；④ ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】 ， ， ， 共面，
① ， ， 不能作为空间向量的一个基底．
， ， ， ， ， 不共面，
② ， ， 可作为空间向量的一个基底．
同理， ， ， 不共面， ， ， 不共面，
③ ， ， ；④ ， ， 都可作为空间向量的一个基底．
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义即三个向量不共面对选项逐一判断即可得出答案。
2．（2020高二上·惠州期末）在正方体 中，点E为上底面A1C1的中心，若 ，则x，y的值是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；棱柱的结构特征
【解析】【解答】根据题意，结合正方体的性质，
可知 ，
所以有 ， ，
故答案为：A．
【分析】利用正方体的结构特征结合已知条件，再利用向量的三角形法则结合平面向量基本定理，从而求出x，y的值。
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，设 的中点为 ，连接 、 、 ，
易知 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）
设三棱柱 的侧棱与底面边长均为1，
则 ， ， ，
由余弦定理，得
故应选B.
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及三棱柱的几何性质，即可求出异面直线所成的角结合已知条件变得大小，由三角形内的几何计算关系结合余弦定理即可求出所成角的余弦值 。
4．（2019高二上·文昌月考）如图，平行六面体 中，AC与BD的交点为点M， ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 .
故答案为：C
【分析】根据向量基本原理和向量的线性运算，即可求解.
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知空间四点 ， ， ， 共面，则 的值为（　　）
A．4 B．1 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】依题意得 ， ， ，
、 、 、 四点共面， 、 、 共面，
存在实数 、 ，使得 ，
即 ，所以 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】由空间向量共面的定义以及性质定理即可得到关于x、 、 的方程组计算出结果即可。
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知 ， ， ， ，则向量 与 之间的夹角 为（　　）.
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
两边平方得： ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】由向量和数量积的运算性质代入数值计算出夹角的余弦值由此求出夹角的大小。
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）空间四边形 的各边和对角线均相等， 是 的中点，那么（　　）.
A．
B．
C．
D． 与 的大小不能比较
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，设为a，E是边BC的中点，即有AE⊥BC，即 ，取BD的中点F，连接AF，EF，可得AF＝AE＝ a，EF＝ a，
由余弦定理可得cos∠AEF＝ ，可得 与 夹角的余弦值为 ，则 ，所以 .
故答案为：C．
【分析】首先根据题意由空间四边形的几何性质结合中点的性质，即可得出平行关系以及边之间的关系，再由余弦定理代入数值计算出夹角的余弦值，由此判断出进而得到答案。
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在长方体 中， ， ， ， 分别是平面 ，平面 的中心，则 ， 两点间的距离为（　　）.
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，结合空间向量模的定义代入数值计算出结果即可。
9．（2018高二上·海口期中）如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连AE，∵ △CBD是等腰Rt△， ∴ BE⊥CD且BE=1.AB⊥底面BCD，
∴ AB⊥BE，由勾股定理， ∴ AE= ，
故答案为：B。
【分析】根据题意结合直线与平面垂直的性质，易证AB⊥BE，再利用勾股定理可求出答案。
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）在以下三个命题中，真命题的个数是（　　）.
①若三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；③若 ， 是两个不共线的向量，而 （ 且 ），则 构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】①正确，作为基底的向量必须不共面；
②正确；
③错误，因为 ， ， 共面，所以 不能构成基底.
故只有①②正确.
故答案为：C.
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共面即可判断出①②正确由此得到答案。
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）在空间四点 ， ， ， 中，若 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（　　）.
A． ， ， ， 四点不共线
B． ， ， ， 四点共面，但不共线
C． ， ， ， 四点不共面
D． ， ， ， 点中任意三点不共线
【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量 ， ， 共面，构不成基底；
B对应的命题是错误的，若四点共面，则 ， ， 共面，构不成基底；
C对应的命题是正确的，若四点共面，则 ， ， 构不成基底；
D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量 ， ， 构不成基底.
故答案为：B
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 =2 ，则下列结论正确的是（　　）
A． +2 -2 B． =-2 +3
C． =2 -3 D． =2 -2
【答案】D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】因为 =2 ，
又 ，
所以 ，
整理得 =2 -2 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由空间向量的加、减法运算法则整理即可得出答案。
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值是　 　．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】连接 ，如图所示：
因为 ，所以 或其补角为异面直线 与 所成角.
， ， .
在 中， .
故答案为：
【分析】根据题意作出辅助线由直三棱柱的几何性质即可得出线线平行由此求出异面直线所成的角，由三角形内的几何计算关系结合勾股定理以及余弦函数的定义代入数值计算结果即可。
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知 ， .若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
因为 与 的夹角为钝角，所以 且 ，
由 ，得 ，所以 .
若 与 的夹角为 ，则存在 ，使 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
【分析】首先由已知条件结合空间数量积的坐标运算公式计算出，再由夹角的取值范围即可得出t的取值范围。
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）设向量 ， .其中 .则 与 夹角的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】向量 的终点都在以 为圆心，1为半径的圆上；
向量 的终点都在以 为圆心，1为半径的圆上；
且为圆 与圆 的距离为1，
如图所示，两向量的夹角最大，为 .
【分析】根据题意由空间两个向量坐标之间的关系即可得出两个向量的终点的轨迹方程，由向量的夹角运算公式求出最大值即可。
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】由向量的加、减法运算法则结合 平行六面体的几何性质计算出结果即可。
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在空间四边形 中， 和 为对角线， 为 的重心 是 上一点， 以 为基底，则 　 　．
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意，连接 则
．
.
故答案为 .
【分析】根据题意作出辅助线由向量加、减法运算法则计算出结果即可。
19．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）已知空间的个基底 ，若 ， 共线，则 　 　， 　 　.
【答案】1；-1
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】∵ ， 共线，∴ ，使 ，
∴ ，得
解得
故答案为：1，-1
【分析】由空间向量共面的性质定理得到关于x、y、的方程组求解出结果即可。
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在三棱锥 中，G是 的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.
（1）用向量 表示向量 ，并证明你的结论；
（2）设 ，请写出点P在 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.
【答案】（1）解： .
证明如下：
（2）解：若 ，点P在 的内部（不包括边界），
的充分必要条件是： ，且
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 （1）由题意根据空间向量的加法法则推出向量 使得它用基底{ }表示即可 ；
(2)根据题意设出，则点P在内部的充分必要条件是：且结合平面向量三点共线的结论即可得出结果即可．
21．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理）如图，在三棱柱 中， ，D，E分别是 的中点.求证：
（1） 平面 ；
（2） 平面 .(用向量方法证明)
【答案】（1）证明：设 .
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又 平面 平面 ，
∴ 平面
（2）证明：易知 ，
∵ ，
∴
即
两式相加，整理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又 ，
∴ .
又 ，
∴ 平面
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】 （1）根据题意由向量的线性运算性质即可得出，由此结合线面平行的判定定理即可得证出结论。
（2）根据题意由向量以及数量积的运算性质结合向量垂直与数量积之间的运算性质推导出和，由线面垂直的判定定理即可证明出 平面
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