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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
【答案】B
【知识点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B． 的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若向量 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则
【答案】D
【知识点】向量的模；相等向量与相反向量；共面向量定理
【解析】【解答】因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，A是假命题；
由 知， ，且 与 同方向，但A与C，B与D不一定重合，B是假命题；
因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 这种写法，C是假命题；
因为 ，所以 ，即 与 共线，故 ，D是真命题．
故答案为：D．
【分析】 根据空间中任意两个向量必然共面，可判断A；根据相等向量和相反向量的定义，可判断B；根据向量不能比较大小，可判断C；根据相反向量共线，可判断D由此即可得出答案．
3．在正方体 中，下列各式的运算结果为向量 的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，①错；
，②错；
，③对；
，④对．
故答案为：C．
【分析】结合正方体的几何性质以及向量的加减运算法则对选项逐一判断即可得出 ③④ 正确由此得出答案。
4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 ，则四边形ABCD是（ ）
A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形
【答案】B
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由已知得 ，即 是相等向量，因此 的模相等，方向相同，
即四边形ABCD是平行四边形.故答案为：B.
【分析】由相等向量的定义结合平行四边形的定义即可得出答案。
5．给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 ， 满足 ，则 ；③若空间向量 ， ， 满足 ， ，则 ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量 与 的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故答案为：D.
【分析】由空间向量的性质结合单位性质、相等向量以及向量模的定义结合命题的真假对选项逐一判断即可得出答案。
6．如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量 模相等的向量有（ ）.
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
【答案】C
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】向量模相等即向量的长度相等.根据平行六面体的性质可知，与向量 模相等的向量为 ， ， ， ， ， ， ，共7个.故答案为：C.
【分析】根据题意由向量相等的定义结合平行六边形的几何性质即可得出答案。
7．空间任意四个点A、B、C、D，则 等于 ( ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为：C.
【分析】由向量的加法运算法则计算出结果即可。
8．如图所示，在平行六面体 中， 与 的交点为M．设 ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由图可得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由向量的加减运算法则计算出结果即可。
9．已知向量 ，且 = +2 ， =-5 +6 ， =7 -2 ，则一定共线的三点是（ ）
A．A B D B．A B C C．B C D D．A C D
【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】A.因为 ，所以A B D共线；
B.因为 ，所以A B C不共线；
C.因为 ，所以B C D不共线；
D.因为 ，所以A C D不共线；
故答案为：A
【分析】由向量共线的性质定理对选项逐一判断即可得出答案。
10．有下列说法：
①若 ，则 与 ， 共面；②若 与 ， 共面，则 ；③若 ，则 共面；④若 共面，
则 .其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：①若 ， 中有一个为 ，则 与 ， 共面；若 ， 均不为为 ，则根据平面向量基本定理可知， 与 ， 共面，所以①正确；②若 ， 则 不一定能用 ， 表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量基本定理可知，③正确；④与②类似，当 三点共线时，点 不在此直线上，则 就不成立；
故答案为：C.
【分析】利用向量共线定理、向量共面基本定理即可判断出结论．
二、多选题
11．已知正方体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的线性运算；空间向量的加减法
【解析】【解答】A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：ABC.
【分析】根据题意由向量加法的线性运算法则对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
12．已知正方体 中， ，若 ，则 ， ．
【答案】1；
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解： ， ，所以 ， .
故答案为：1， .
【分析】根据题意由向量加法的运算法则以及正方体的几何性质代入数值计算出结果即可。
13．如图，在直三棱柱 中，若 ，则 ．（用 表示）
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】在直三棱柱 中，若 ，
则
故答案为：
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
14．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
15．直三棱柱 中，若 ，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】直三棱柱 中，若
故答案为
【分析】结合直三棱柱的几何性质以及向量的加、减运算法则整理即可得出答案。
16．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD,若 BCD是正三角形，且E为其中心，则 的化简结果为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图，取BC的中点F，连结DF，则 ，
∴ .
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及向量加、减法的运算法则计算出结果即可。
17．已知 是不共面向量， ，若 三个向量共面，则实数 等于 ．
【答案】
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】若向量 ， ， 共面，则存在 ，使得 ，
∴ ，
∴ 解得 ．
故答案为：
【分析】由向量共面的性质定理即可得到关于x、y、的方程组求解出结果即可。
18．对于空间中的非零向量 ， ， ，有下列各式：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中一定不成立的是 （填序号）．
【答案】②
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据空间向量的加减法运算,对于① 恒成立；
对于③当 , 方向相同时,有 ；
对于④当 , 方向相同且 时,有| .
对于②由向量减法可知 ,所以②一定不成立．
故答案为: ②
【分析】结合向量的加、减法运算法则以及向量的性质即可得出答案。
19．如图所示， 、 分别是空间四边形 的边 、 的中点.试判断向量 与向量 、 是否共面.
【答案】解：由题图可得 ，①； ，②.
， .
由①②得 ，即 ，
故向量 与向量 、 共面
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【分析】利用向量的加、减法运算法则以及向量共面的性质定理整理即可得出结果。
四、解答题
20．如图，点M，N分别在对角线 上，且 ．求证：向量 共面．
【答案】证明：如图，在 上取点 ，使 ，
又 ，
，又 ，
，
同理， ，
故由 、 、 共面可知，
向量 ， ， 共面
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】根据题意由已知条件结合线线平行的性质定理即可得出线线平行，再由向量共面的性质定理即可得出结果。
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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B． 的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若向量 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则
3．在正方体 中，下列各式的运算结果为向量 的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 ，则四边形ABCD是（ ）
A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形
5．给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 ， 满足 ，则 ；③若空间向量 ， ， 满足 ， ，则 ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量 模相等的向量有（ ）.
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
7．空间任意四个点A、B、C、D，则 等于 ( ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在平行六面体 中， 与 的交点为M．设 ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知向量 ，且 = +2 ， =-5 +6 ， =7 -2 ，则一定共线的三点是（ ）
A．A B D B．A B C C．B C D D．A C D
10．有下列说法：
①若 ，则 与 ， 共面；②若 与 ， 共面，则 ；③若 ，则 共面；④若 共面，
则 .其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
二、多选题
11．已知正方体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）.
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知正方体 中， ，若 ，则 ， ．
13．如图，在直三棱柱 中，若 ，则 ．（用 表示）
14．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
15．直三棱柱 中，若 ，则 ．
16．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD,若 BCD是正三角形，且E为其中心，则 的化简结果为 ．
17．已知 是不共面向量， ，若 三个向量共面，则实数 等于 ．
18．对于空间中的非零向量 ， ， ，有下列各式：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中一定不成立的是 （填序号）．
19．如图所示， 、 分别是空间四边形 的边 、 的中点.试判断向量 与向量 、 是否共面.
四、解答题
20．如图，点M，N分别在对角线 上，且 ．求证：向量 共面．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】向量的模；相等向量与相反向量；共面向量定理
【解析】【解答】因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，A是假命题；
由 知， ，且 与 同方向，但A与C，B与D不一定重合，B是假命题；
因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 这种写法，C是假命题；
因为 ，所以 ，即 与 共线，故 ，D是真命题．
故答案为：D．
【分析】 根据空间中任意两个向量必然共面，可判断A；根据相等向量和相反向量的定义，可判断B；根据向量不能比较大小，可判断C；根据相反向量共线，可判断D由此即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，①错；
，②错；
，③对；
，④对．
故答案为：C．
【分析】结合正方体的几何性质以及向量的加减运算法则对选项逐一判断即可得出 ③④ 正确由此得出答案。
4．【答案】B
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由已知得 ，即 是相等向量，因此 的模相等，方向相同，
即四边形ABCD是平行四边形.故答案为：B.
【分析】由相等向量的定义结合平行四边形的定义即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量 与 的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故答案为：D.
【分析】由空间向量的性质结合单位性质、相等向量以及向量模的定义结合命题的真假对选项逐一判断即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】向量模相等即向量的长度相等.根据平行六面体的性质可知，与向量 模相等的向量为 ， ， ， ， ， ， ，共7个.故答案为：C.
【分析】根据题意由向量相等的定义结合平行六边形的几何性质即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为：C.
【分析】由向量的加法运算法则计算出结果即可。
8．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由图可得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由向量的加减运算法则计算出结果即可。
9．【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】A.因为 ，所以A B D共线；
B.因为 ，所以A B C不共线；
C.因为 ，所以B C D不共线；
D.因为 ，所以A C D不共线；
故答案为：A
【分析】由向量共线的性质定理对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：①若 ， 中有一个为 ，则 与 ， 共面；若 ， 均不为为 ，则根据平面向量基本定理可知， 与 ， 共面，所以①正确；②若 ， 则 不一定能用 ， 表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量基本定理可知，③正确；④与②类似，当 三点共线时，点 不在此直线上，则 就不成立；
故答案为：C.
【分析】利用向量共线定理、向量共面基本定理即可判断出结论．
11．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的线性运算；空间向量的加减法
【解析】【解答】A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：ABC.
【分析】根据题意由向量加法的线性运算法则对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】1；
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解： ， ，所以 ， .
故答案为：1， .
【分析】根据题意由向量加法的运算法则以及正方体的几何性质代入数值计算出结果即可。
13．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】在直三棱柱 中，若 ，
则
故答案为：
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】直三棱柱 中，若
故答案为
【分析】结合直三棱柱的几何性质以及向量的加、减运算法则整理即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图，取BC的中点F，连结DF，则 ，
∴ .
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及向量加、减法的运算法则计算出结果即可。
17．【答案】
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】若向量 ， ， 共面，则存在 ，使得 ，
∴ ，
∴ 解得 ．
故答案为：
【分析】由向量共面的性质定理即可得到关于x、y、的方程组求解出结果即可。
18．【答案】②
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据空间向量的加减法运算,对于① 恒成立；
对于③当 , 方向相同时,有 ；
对于④当 , 方向相同且 时,有| .
对于②由向量减法可知 ,所以②一定不成立．
故答案为: ②
【分析】结合向量的加、减法运算法则以及向量的性质即可得出答案。
19．【答案】解：由题图可得 ，①； ，②.
， .
由①②得 ，即 ，
故向量 与向量 、 共面
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【分析】利用向量的加、减法运算法则以及向量共面的性质定理整理即可得出结果。
20．【答案】证明：如图，在 上取点 ，使 ，
又 ，
，又 ，
，
同理， ，
故由 、 、 共面可知，
向量 ， ， 共面
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】根据题意由已知条件结合线线平行的性质定理即可得出线线平行，再由向量共面的性质定理即可得出结果。
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