22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.用描点法画二次函数y=ax 的图象，知道抛物线y=ax 是轴对称图形，知道抛物线y=ax 的开口方向与a的符号有关.
2. 理解、掌握二次函数y=ax 的性质：能根据图象说出顶点式抛物线y=ax 的开口方向、对称轴、顶点（抛物线的最高点还是最低点），并判断顶点与a的关系.
3.会利用二次函数y=ax 的性质解决数学问题.
重点
难点
学习目标
新课引入
问题1：下列函数中,哪些是二次函数？
① y=ax2+bx+c（a≠0） ② y=-x +3 ③y=x2 +
④ ⑤ ⑥y=x +x +25
①②⑤
问题2：怎么判断一个函数是不是二次函数？
1.自变量的最高次是2次；
2.二次项系数a≠0；
3.函数解析式必须为整式.
问题3：类比一次函数的学习，我们在学习了二次函数的定义之后还要研究什么？
二次函数的图象和性质
问题4：一次函数的图象是什么？
一条直线
问题5：画函数的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
问题6：研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
函数的图象
我们可以按照画一次函数图象的方法来画二次函数y=ax 的图象吗？
例1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
一、二次函数y=ax2(a＞0)的图象和性质
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
新知学习
观察表格中的数据，你发现了什么？
①横坐标互为相反数时，纵坐标相同
②横坐标互为相反数的点，是关于y轴互相对称的
2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)
3. 连线：如图，用平滑的曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
观察函数图像你能总结出函数y= x 的那些性质呢？
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
6
4
2
-2
9
1
关于y轴对称.
y=x2开口向上
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
6
4
2
-2
9
1
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小(x<0)
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大(x>0)
1.是一条曲线，叫做抛物线 y=x2.
2.图象位于 x轴上方（除原点外）,y>0，但是因为过原点，所以y的取值范围是y≥0
3.在抛物线上任取一点（m,m ），我们发现：
①图象过原点(0,0)，有最低点（抛物线顶点），函数值是最小值
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
分别列表：
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=2x ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
1
2
3
4
5
x
-1
5
4
3
2
1
-1
y
O
-2
-3
-4
-5
-2
6
7
8
函数 有何相同点和不同点？
相同点：1.开口向上
2.都以y轴为对称轴对称
3.都过（0,0）
不同点：开口的大小不同
总结：当a＞0时，a的值越大，开口越小；a的值越小，开口越大.
请总结出a>0时，函数y=ax2图象有何特点？并与同伴交流.
思考
y=ax2 文字语言 图形/符号语言
x取值范围
y取值范围
图象
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
全体实数
非负数
y≥0
抛物线
向上
y轴
原点
(0,0)
最小值（最低点）
x=0时，y最小值=0
在对称轴左侧，抛物线从左到右下降；
x<0时，y随x增大而减小
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升；
x>0时，y随x增大而增大
1
当，
当，
y
O
x
y
O
x
例3 ①函数 y=3x2 的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， 在对称轴的右侧，y随x的增大而 .
向上
y轴
(0，0)
减小
增大
y
②判断点A(2,12)在二次函数图象上吗？
解：当x=2时， y=3x2 =12，所以点A(2,12)在二次函数图象上.
③对于(a,b)和(c,d)这两点，若a＜c＜0，则b和d的大小关系是什么？若0＜a＜c，则b和d的大小关系是什么？
解：若a＜c＜0，则两点在x轴左侧，抛物线向下，所以b＞d
若0＜a＜c，抛物线向上，所以b＜d
④请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C 的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
B(2,-12) C(-2,12) D(-2,-12)
⑤点B、C、D在二次函数y=3x2的图象上吗？在二次函数y=-3x2的图象上吗？
点B、点D在y=-3x2的图象上，点C在y=3x2的图象上.
⑥当-3分析：画草图研究，或者利用对称性研究，可得 0≤y<27
例4. 函数 的图象上有三点(－3,a), (－1,b) ,(2,c)，比较a，b，c的大小关系.
解法1 代数法：将－3，－1，2分别代入函数解析式，求出a=3，b= ，c= ,进而比较大小.
解法2 对称性：因为 ，所以a= >0 ,所以图象开口朝上，可以画出草图：
因为函数的图象过(2,c)也即过它关于y轴的对称点(－2,c)，
∴由图可得a>c>b.
y
O
x
2
c
-2
(2,c)
(-2,c)
-1
-3
a
b
例4 函数 的图象上有三点(－3,a), (－1,b) ,(2,c)，比较a，b，c的大小关系.
解法3 数形结合法：
因为 ，所以a= >0 ,所以图象开口朝上，由三点的横坐标可以知道三点与对称轴的距离，明确三点的大致位置，从而画出草图：
由图可得a,b,c的位置：所以a>c>b
y
O
x
2
-1
-3
a
b
c
归纳
代数法 对称性 数形结合法
特点
直接计算，
比较数字大小
画草图，利用对称性将点都放在函数图象的一侧，利用增减性来判断
画草图，由点的横坐标明确点与对称轴的距离，再结合开口方向，画出点的大致位置，从而判断大小
二次函数比较纵坐标大小方法
例5 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
解：列表如下：
二、二次函数y=ax2(a＜0)的图象和性质
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
－8
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－4.5
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
－4.5
－8
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
-0.5
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y= -x2 … 　 　 　 　 　 　 …　
-9
-4
-1
0　
-1
-9
-4
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
观察抛物线 ，考虑这些抛物线有什么相同点和不同点.
相同点：1、开口向下；
2、对称轴是y轴；
4、顶点坐标是（0，0）；是
抛物线上的最高点；
5、当x<0时，y随x的增大而增
大；当x>0时，y随x的增大
而减小.
不同点：开口大小不一样
总结(结合a>0的开口大小规律)：
当|a|越大时，开口越小；|a|越小时，开口越大
当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？
1、开口向下；
2、对称轴是y轴；
3、a的值越小，开口越小；a的值越大，开口越大；
4、顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点；
5、当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
思考
归纳
二次函数y = ax2(a≠0)的函数图象及其性质
y＝ax2 a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大
关于y轴（直线x＝0）对称
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧(x<0)y随x增大而减小
在对称轴右侧(x>0)y随x增大而增大
在对称轴左侧(x<0)y随x增大而增大
在对称轴右侧(x>0)y随x增大而减小
y
O
x
y
O
x
例 ①函数y= -5x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是
；在对称轴的左侧， y随x的增大而 ，在对称轴的右侧， y随x的增大而 .
②已知A(-1,a)，B(3,b)，则a b(填“>”、“<”或“=”)
向下
y轴
(0，0)
减小
增大
＞
思考
二次函数 y = ax2 与 y = ax2 (a＞0) 的关系是什么？
x
y
O
y = ax2
y = ax2
二次项系数互为相反数时， 开口方向相反，开口大小相同，它们关于 x 轴对称.
随堂练习
②函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ， 顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 .
① 函数 y = 3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 .
向下
y 轴
(0，0)
向上
y 轴
(0，0)
高
低
增大
减小
减小
增大
2.已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-9x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
D
3.已知 是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.
m+1>0①
m +m=2②
解：依题意得
由①得：m>-1
∴m=1，所以二次函数解析式为y=2x
由②得：
是
4.二次函数 (a≠0)与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B. C. D.
D
课堂小结
二次函数y = ax2(a≠0)的函数图象及其性质
y＝ax2 a>0 a<0
图象
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大
关于y轴（直线x＝0）对称
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧(x<0)y随x增大而减小
在对称轴右侧(x>0)y随x增大而增大
在对称轴左侧(x<0)y随x增大而增大
在对称轴右侧(x>0)y随x增大而减小
y
O
x
y
O
x
开口
谢谢
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