22.1.3 第1课时 y=ax2+k（a≠0）的图像和性质 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
22.1.3 课时1
y=ax +k(a≠0)的图像和性质
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.会用描点法画出y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的图象与性质，并会应用.
重点
难点
学习目标
新课引入
y＝ax2 a>0 a<0
图象
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大
关于y轴（直线x＝0）对称
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧(x<0)y随x增大而减小
在对称轴右侧(x>0)y随x增大而增大
在对称轴左侧(x<0)y随x增大而增大
在对称轴右侧(x>0)y随x增大而减小
y
O
x
y
O
x
开口
在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图象．
一、二次函数 y=ax2+k的图象和性质
解：列表：
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
··· ···
··· ···
新知学习
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出三个函数的图象.
7
8
9
10
问题1：观察图象，比较三个函数图象有何异同？
1.相同点：
① 均为抛物线
②开口向上，且大小相同
③对称轴都是y轴；
④在对称轴左侧(x<0)y随x增大而减小
在对称轴右侧(x>0)y随x增大而增大
2.不同点：
顶点位置不同，函数最小值不同
问题2：抛物线 y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点是什么？
观察图得：
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
( 0,1 )
( 0,-1 )
y 轴
y 轴
向上
( 0,0 )
y 轴
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
我们发现二次函数解析式中的常数项就是顶点坐标的纵坐标
在同一坐标系内画出二次函数 y=-x2，
y=-x2-2，y=-x2+2的图象.
做一做
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
问题3：观察图象，比较三个函数图象有何异同？
1.相同点：
① 均为抛物线
②开口向下，且大小相同
③对称轴都是y轴；
④在对称轴左侧(x<0)y随x增大而增大
在对称轴右侧(x>0)y随x减小而减小
2.不同点：
顶点位置不同，函数最大值不同
问题4：抛物线 y=-x2，y=-x2-2，y=-x2+2的开口方向、对称轴和顶点是什么？
观察图得：
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向下
向下
( 0,-2 )
( 0,2 )
y 轴
y 轴
向下
( 0,0 )
y 轴
我们发现二次函数解析式中的常数项也是顶点坐标的纵坐标
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
①抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎么决定？
④k决定什么？
开口方向和开口大小；当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小.
②它的对称轴是什么？
③顶点坐标是什么？
k 决定顶点的纵坐标
对称轴是 y 轴（直线 x=0)；
顶点坐标为(0，k).
问题5：你能知道二次函数y=ax2+k的性质吗？
归纳
a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k=0 a<0,k>0 a<0,k<0 a<0,k=0 a<0,k<0
图象
开口 对称轴 顶点坐标 函数的 增减性 最值 向上且大小相同
向下且大小相同
y轴（直线 x=0）
（0，k）
x<0 时,y 随 x 的增大而减小; x>0 时,y 随 x的增大而增大.
x<0 时，y 随 x的增大而增大; x> 0时，y 随 x的增大而减小.
x=0时，y最小值=k.
x=0时，y最大值=k.
二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
归纳
O
y
x
O
y
x
由图象可得，
①把抛物线y=2x2向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2+1；
②把抛物线y=2x2+1向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2；
问题6：观察抛物线 ， 与 有何关系？
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
思考
上
1个
下
1个
由图象可得，
③把抛物线y=2x2向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2-1；
④把抛物线y=2x2-1向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2；
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
下
1个
上
1个
由图象可得，
⑤把抛物线y=2x2+1向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2-1；
⑥把抛物线y=2x2-1向___平移___单位长度，就得到抛物线y=2x2+1；
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
下
2个
上
2个
抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=ax2 (a≠0)之间有什么关系？
上加，下减，
且只变常数项
归纳
y=ax2
向上平移k个单位
y=ax2 +k
向下平移k个单位
y=ax2 - k
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图象，观察三条抛物线的位置关系，请分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值.
解：列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
··· ···
描点、连线，画出这三个函数的图象.
y
x
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
函数 开口方向 对称轴 顶点 最值
向上
y轴
(0,0)
(0,2)
(0,-2)
x=0
y最小值=0
x=0
y最小值=2
x=0
y最小值=-2
例2 已知二次函数y=3x +1,点A( a ，y1)，B(b，y2)，C( c ，y3)为该函数图象上的点.
①若-4解：∵函数开口向上，顶点坐标为(0,-1)，
∴当x=0时，y最小值=1，当x=- 4时，y=49，
∵y=3x +1关于 y 轴对称，
∴x=-4的函数值和 x=4的函数值相等，
∵在对称轴右侧，此函数值随x的增大而增大
∴y最大值=49，1②若a=-3,b=2,c=-1，试比较y1，y2，y3的大小关系.
解法1 代数法：∵k=1，∴y=3x +1将-3，2，-1分别代入函数解析式，求
出 y1=28，y2=13，y3= 4，进而比较大小.
解法2 对称性：
因为y=3x +1，所以a= 3 >0 ,所以图象开口朝上，可以画出草图：
因为函数的图象过 (2, y2) ，也即过它关于y轴的对称点(-2, y2)，
∵ 0< 1 < 2 < 3，
∴ y1>y2>y3 .
y
O
x
2
y2
-2
(2, y2)
(-2, y2)
-1
-3
y1
y3
②若a=-3,b=2,c=-1，试比较y1，y2，y3的大小关系.
解法3 数形结合法：
因为y=3x +1，所以a=3>0 ,所以图象开口朝上，由三点的横坐标可以知道三点与对称轴的距离，明确三点的大致位置，从而画出草图：
2
x
-1
y
O
-3
y2
y1
所以y1>y2>y3
y3
例3.将抛物线y＝2x2－3向上平移2个单位长度得到新的抛物线是_________.
例4.将抛物线y＝-x2+1向下平移5个单位长度得到新的抛物线是_________.
例5.抛物线 向___平移___个单位后，会得到抛物线
例6.抛物线 向___平移___个单位后，会得到抛物线
y＝2x2 -1
y＝-x2 -4
下
9
上
4
随堂练习
1.（多选）对于二次函数y＝-x2＋2，下列说法正确的是(　　)
A．最小值为2 B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴
CD
2. 对于二次函数y＝-x2-，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y1B
3.当A(1，a),B(-2,b),C(-3,c)在抛物线y＝2x2－3上时，比较a,b,c的大小关系.
解法1 代数法：代数法：将 1，－2，-3分别代入函数解析式，求出a=-1，b=5 ，c= 15 ,进而比较大小.
解法2 对称性：因为y＝2x2－3 ，所以a=2 >0 ,所以图象开口朝上，可以画出草图：
因为函数的图象过(1,a)也即过它关于y轴的对称点(－1,a)，
∵－3<－2<－1<0,
∴ay
O
x
b
-2
(1,a)
(-1,a)
-1
-3
c
1
3.当A(1，a)，B(-2,b)，C(-3,c)在抛物线y＝2x2－3上时，求a，b，c 的大
小关系.
解法3 数形结合法：
由三点的横坐标可以知道三点与
对称轴的距离，明确三点的大致
位置，从而画出草图：
1
x
y
O
-2
-3
b
a
c
所以c>b>a
a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k=0 a<0,k>0 a<0,k<0 a<0,k=0 a<0,k<0
图象
开口 对称轴 顶点坐标 函数的 增减性 最值 向上，且大小相同
向下且大小相同
y轴（直线 x=0）
（0，k）
x<0 时，y 随 x 的增大而减小; x>0 时，y 随 x的增大而增大.
x<0 时，y 随 x的增大而增大; x> 0时，y 随 x的增大而减小.
x=0时，y最小值=k.
x=0时，y最大值=k.
二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
课堂小结
抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=ax2 (a≠0)之间有什么关系？
上加，下减，
且只变常数项
y=ax2
向上平移k个单位
y=ax2 +k
向下平移k个单位
y=ax2 - k
谢谢
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