22.1.4 第1课时y=ax2+bx+c的图象和性质 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
22.1.4课时1 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.会用配方法将二次函数y = ax2＋bx＋c化成y=a(x-h)2+k.
2.能熟练求出二次函数y = ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴，说出函数
的性质.
3.了解二次函数y = ax2＋bx＋c中a、b、c与图象的关系.
难点
重点
学习目标
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
增减性
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
直线x=h
直线x=h
当xh时，y随着x的增大而增大.
当xh时，y随着x的增大而减小.
x=h时，y最小=k
x=h时，y最大=k
新课引入
如何研究二次函数的图象和性质呢？
用描点法画出函数图像，再观察函数图像总结其性质
新知学习
问题1 你能画出函数 的图象吗？
解：列表
… 2 4 6 8 10 ...
… ...
x
11
5
3
5
11
观察表格，你可以得到哪些信息？
①当 x < 6 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 6 时，y 随 x 的增大而增大；
②二次函数的顶点坐标为(6,3)；
③二次函数的对称轴为直线x=6；
④二次函数的最小值是3.
… 2 4 6 8 10 ...
… ...
x
11
5
3
5
11
1
10
x
y
5
10
O
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
6
7
8
9
11
(2)描点
(3)连线，用平滑的曲线画出函数图象
由图象可知:
①与y轴的交点坐标为(0,21)
②开口向上
③顶点坐标为(6,3)
④对称轴：直线x=6
⑤y最小值=3
⑥增减性：
(6,3)
x=6
当 x < 6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x > 6 时，y 随 x 的增大而增大；
问题2 联系上节课所学习的二次函数顶点式，有没有更简单的方法画出函数 的图象？
可以利用配方法，将 化成 y=a(x-h)2+k的形式
3.“化”：化成顶点式.
1. “提”：提出
二次项系数；
2.“配”：括号内配成完全平方式(一次项系数绝对值一半的平方)；
＝ (x－6) 2＋3
问题3：怎么利用配方法进行转化？
配
方
＝ (x2－12x)＋21
＝ (x2－12x＋36－36)＋21
＝ (x－6) 2－18＋21
例1. 将下列二次函数的一般式用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式，并写出它们的对称轴和顶点坐标.
(1) y=x2-2x+1； (2) y=2x2-4x+6．
解：原式= ( x - 1 ) 2
对称轴为直线x=1
顶点坐标为(1,0)
解：原式= 2( x2 - 2x ) + 6
= 2( x2 - 2x+1-1 )+6
= 2( x -1 )2- 2 + 6
=2( x -1 )2 + 4
对称轴为直线x=1 顶点坐标为(1,4)
解：原式=
(3)
∴对称轴为直线x=3
顶点坐标为(3,1)
(4)
解：原式=
∴对称轴为直线x=-8
顶点坐标为(-8,29)
如何用配方法将一般式 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) 化成
y = a(x-h)2+k的形式？
y=ax +bx+c
思考
步骤：
1. “提”：提出二次项系数；
2.“配”：括号内配成完全平方式
(一次项系数绝对值一半的平方)；
3.“化”：化成顶点式.
归纳
一般地，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线 y=ax2+bx+c 的 对称轴是直线
顶点坐标是
抛物线与y轴的交点为(0,c)
(1)
x
y
O
归纳
从二次函数y = ax2+bx+c的图象可以看出：
若a>0，
当x< 时，y 随 x 的增大而减小；当x > 时，y随 x 的增大而增大;
y = ax2+bx+c
(2)
x
y
O
若a<0，
当 x< 时，y 随 x的增大而增大；当x> 时，y 随 x 的增大而减小；
y = ax2+bx+c（a＜0）
例2 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）y=3x2+2x； （2）y= －x2－2x；
（3）y= －2x2+8x－8； （4）y= x2－4x+3.

开口向下，
对称轴为x= －1，
顶点为（ －1 ，1）.
开口向上，
对称轴为直线 x =－ ，
顶点为（－ ， ）.
开口向下，
对称轴为x=2
顶点为（2，0）.
开口向上，
对称轴为x=4，
顶点为（4，-5）.
例3 对于二次函数 y = x2 + x - 4，下列说法正确的是 (　　)
A. 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大
B. 当 x = 2 时，y 有最大值 -3
C. 图象的与y轴的交点坐标为 ( -2 , -7 )
D. 若A(-2，a),B(0, b),C(3,c)三点在此抛物线上，则a>b>c
B
原式=
∴当x=0时，y=-4，所以与y轴的交点坐标为
(0,-4),所以C错误
∵开口向下
∴当 x < 2 时，y 随 x 的增大而增大,
∴A错误
∴有最大值，最大值为顶点坐标的纵横坐
标值-3，所以B正确
将-2，0，3代入二次函数解析式中可得
a=-7，b=-4，c=
∴c>b>a，所以D错误
的图示过程如下：
列表
… -2 0 2 4 6 ...
… ...
x
-7
-4
-3
-4
-7
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
6
(2)描点
(3)连线，用平滑的曲线画出函数图象
也可用图象判断选项
二、二次函数y = ax2+bx+c(a≠0) 的图象与系数的关系
a决定抛物线的开口方向
当开口向上时，a >0；
当开口向下时，a<0．
x
y
O
x
y
O
问题1：画二次函数y = ax2+bx+c(a≠0) 的草图第一步要确定开口，那怎么确定呢？
对称轴在y轴左侧；
b与a决定对称轴的位置
对称轴在y轴右侧；
当b=0 ，即 时，
当b与a异号，即 时，
当b与a同号，即 时，
记忆口诀：左同右异
对称轴是y轴．
问题2：怎么确定二次函数y = ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴？
x
x
x
x
c决定抛物线与y轴的交点位置
c＝0
c＞0
c＜0
x
y
O
x
y
O
x
y
O
问题3：怎么确定二次函数y = ax2+bx+c(a≠0) 与y轴的交点位置？
字母的符号 图象的特征
a
b
c
a>0
开口向上
a<0
开口向下
ab>0( a，b同号 )
对称轴在 y 轴左侧
ab<0( a，b异号 )
对称轴在 y 轴右侧
c = 0
图象过原点
c > 0
交于 y 轴正半轴
c < 0
交于 y 轴负半轴
归纳
二次函数y = ax2+bx+c的图象与系数 a、b、c 的关系
b=0
对称轴为 y 轴
左同右异
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断a,b,c的正负
∵开口向上，所以a > 0.
∵图象与y轴的交点在y轴的正半轴，所以c > 0
由图可得，二次函数的对称轴在y轴的右侧，
所以根据左同右异可得a与b异号，所以b < 0.
1. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表：
A.图象的对称轴为直线 x =1
B.当 x < 2 时，y 随 x 的增大而减小
C. 图象开口向下
D. 函数与y轴的交点为(0,1)
则下列说法正确的是( )
D
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
随堂练习
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
① abc＞0；② 2a－b＜0；③ 4a－2b＋c＜0；④ (a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是 (　　)
A．1　　 　 B．2　　　　C．3　　 D．4
由图象开口向下可得 a＜0，
由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，
由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，
则 abc＞0，故①正确；
由对称轴 x = >－1 可得 2a－b＜0，故②正确；
则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即 (a＋c)2－b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2，
故④正确．综上所述，①②③④都正确. 故选 D.
由图象上横坐标为－2 的点在第三象限可得 4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上横坐标为 1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，
由图象上横坐标为－1 的点在第二象限得 a－b＋c＞0，
③ 4a－2b＋c＜0
④ (a＋c)2＜b2
3. 已知二次函数 y = x2 4x 1．
(1) 将函数 y = x2 4x 1 的解析式化为 y = a(x + m)2 + k 的形式，并指出该函数图象的顶点 的坐标；
解：(1)y = x2 4x 1 = (x 2)2 5，
该函数图象的顶点 B 的坐标为 (2， 5).
(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，设抛物线 y = x2 4x 1与 y 轴交点为 C，抛物线的对称轴与 x 轴交点为 A，求四边形 OABC 的面积．
解：如图，令 x = 0，则 y = 1，
∴ OC = 1.
∵ B (2， 5)，
∴ OA = 2，AB = 5.
∴ S四边形OABC =
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 a a＞0 a＜0
开口方向
顶点坐标
对称轴　
增减性　
最值　　
向上
向下
当 x< 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x> 时，y 随着x 的增大而增大.
当 x< 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x> 时，y 随着 x 的增大而减小.
x = 时，y最小=
x = 时，y最大=
字母的符号 图象的特征
a
b
c
a>0
开口向上
a<0
开口向下
ab>0( a，b同号 )
对称轴在 y 轴左侧
ab<0( a，b异号 )
对称轴在 y 轴右侧
c = 0
图象过原点
c > 0
交于 y 轴正半轴
c < 0
交于 y 轴负半轴
二次函数y = ax2+bx+c的图象与系数 a、b、c 的关系
b=0
对称轴为 y 轴
左同右异
谢谢
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