22.2 二次函数和一元二次方程 课件(共56张PPT)

(共56张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
22.2 二次函数与一元二次方程
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 知道二次函数与一元二次方程之间的联系.
2. 能用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
难点
重点
学习目标
已知一次函数y=2x+2.
(1)求一次函数与x轴和y轴的交点.
(2)当y ≤ -8时，求x的取值范围.
新课引入
解：当x=0时，y=1，所以一次函数与y轴的交点为(0,2)
当y=0时，x=-1，所以一次函数与x轴的交点为(-1,0)
解：当y ≤ -8时，则2x+2≤ -8，所以解得x≤ -5.
通过上题我们复习了一次函数与二元一次方程以及不等式的关系，那么请思考二次函数与二元一次方程有什么关系？怎么求二次函数与x轴和y轴的交点坐标呢？接下来就让我们一起学习本节课的内容.
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度
h ( 单位：m ) 与飞行时间 t (单位：s)之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
一、二次函数与一元二次方程的关系
新知学习
(1) 球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
图中代表最高的点距地面是否大于或等于15m
二次函数最高点的纵坐标是否大于或等于15
思路点拨：高度为15 m，即在函数h=20t-5t2中，令h=15
O
h
t
15
1
3
你能指出为什么
在两个时间(交点处)小球的高度为15m吗？
∴当球飞行 1s 或 3s 时，它的高度为15m.
①解：解方程 15=20t-5t2，
t 2-4t+3=0,
t1=1，t2=3.
②我们也可以利用函数图象来思考，认为是在求直线h=15和h=20t-5t2的交点问题，将直线h=15画出来，即可得出t.
如图所示，运动轨迹先上后下只要最高点的纵坐标大于或等于15，那么必会产生2个交点，也就是在两个时间（交点处）小球的高度为15m.
(2) 球的飞行高度能否达到 20m？如果能，需要多少飞行时间？
①解：解方程 20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思路点拨：高度为20 m，即函数h=20t-5t2中，对应的函数值h=20
(2) 球的飞行高度能否达到 20m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
2
你能结合图指出为什么只在一个时间小球
的高度为20m吗？
②我们也可以利用函数图象来思考，认为是在求直线h=20和h=20t-5t2的交点问题，将直线h=20画出来，即可得出t.
如图所示，最高点纵坐标正好为20，那么直线h=20和二次函数h=20t-5t2只有1个交点，因为小球飞行轨迹在2S(顶点横坐标)时，达到最大高度(最大值)也就是只在一个时间小球的高度为20m.
(3) 球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
①解：解方程 20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为 (-4)2 - 4×4.1<0,
所以方程无实数根.
即小球的飞行高度达不到20.5m.
(3) 球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
O
h
t
你能结合图指出为什么球不能达20.5m的高度吗
20.5
②我们也可以利用函数图象来思考，认为是在求直线h=20.5和h=20t-5t2的交点问题，将直线h=20.5画出来，即可得出t.
如图所示，最高点纵坐标正好为20，那么直线h=20.5和二次函数h=20t-5t2没有交点，因为小球飞行轨迹在2S(顶点横坐标)时，达到最大高度(最大值)，不会再有比20m还高的距离了.
(4) 球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
解：小球飞出时和落地时的高度都为0m，
解方程 0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.
从图来看， 0s 时小球从地面飞出，4s 时小球落回地面.
在函数中y=0的时候
落地的情况
落地的点
思考
你能发现二次函数与一元二次方程之间的关系吗
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m
二次函数y=ax2+bx+c中，
当y=m时，所对应的x的值
特殊的，与x轴的交点坐标为当y=0时，对应一元二次方程的x的值
抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=m交点的横坐标
函数解析式
函数图象
例1 已知函数 y = x2 － 4x + 3.
画出这个函数的图象;
观察图象，当x取哪些值时，函数值为0？
4
2
3
x
1
4
3
2
-1
y
O
-1
1
5
当x=1或x=3时，函数值为0.
例2 用函数的图象求下列方程的解：
（1）x2－ 3x + 2 = 0 ； （2）－x2－ 6x－ 9 = 0；
4
2
3
x
1
4
3
2
-1
y
O
-1
1
5
当x=1或x=2时，函数值为0.
x
1
y
O
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程跟的情况.
（1）x2+x-2=0；
∵ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根.
（2）x2-6x+9=0；
∵ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根.
（3）x2-x+1=0.
∵ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
问题2 你能从函数解析式的角度解释解这三个方程的含义吗？
（1）x2+x-2=0；
已知二次函数y=x2+x-2的值为0，求自变量x的值.
（2）x2-6x+9=0；
已知二次函数y=x2-6x+9的值为0，求自变量x的值.
（3）x2-x+1=0.
已知二次函数y=x2-x+1的值为0，求自变量x的值.
问题3 你能从函数图象的角度解释解这三个方程的含义吗？
（1）x2+x-2=0；
确定抛物线y=x2+x-2与x轴公共点的横坐标.
（2）x2-6x+9=0；
确定抛物线y=x2-6x+9与x轴公共点的横坐标.
（3）x2-x+1=0 .
确定抛物线y=x2-x+1与x轴公共点的横坐标.
问题4 观察下列二次函数图象，与x轴有公共点吗？如果有公共点，写出公共点的坐标.
（1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1
x
1
2
-1
y
O
-2
-1
-2
1
2
4
2
3
x
1
4
3
2
y
O
-1
1
2
x
1
4
3
2
y
O
-1
1
两个（-2,0），（1,0）
一个（3,0）
没有公共点
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两个公共点，最少没有公共点.
4
2
3
x
1
4
3
2
y
O
-1
1
一个
没有
两个
问题5 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2
x
1
2
-1
y
O
-2
-1
-2
1
2
抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，坐标是（-2，0），（1，0）.
二次函数y=x2+x-2当x的值为-2或1时，y=0
y=0时，一元二次方程x2+x-2=0有两个不相等的实数根，分别是-2，1
问题5 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？
（2）y=x2-6x+9
抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点，坐标是（3，0）.
二次函数y=x2-6x+9,当x的值为3时，y=0.
y=0时，一元二次方程x2-6x+9=0有两个有两个相等的实数根，是3
4
2
3
x
1
4
3
2
y
O
-1
1
问题5 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？
（3）y=x2-x+1
抛物线y=x2-6x+9与x轴只有没有公共点.
二次函数y=x2-x+1,当x取任何实数时，y都不等于0.
y=0时，一元二次方程x2-x+1=0没有实数根.
2
x
1
4
3
2
y
O
-1
1
从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可得如下结论
归纳
抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)
与x轴位置关系有三种：
有两个公共点，
有一个公共点，
没有公共点.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
根的三种情况：
有两个不相等的实数根，
有两个相等的实数根，
没有实数根.
从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可得如下结论
归纳
抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标是x0
当x=x0时 ，函数y=ax2+bx+c 的值 y=0
x=x0是方程ax2+bx+c = 0的一个根
问题6 不画图象，你能确定二次函数的解析式、图象与x轴的公共点个数吗？
二次函数的图象与x轴公共点的个数
= b2-4ac
>0，函数图象与x轴有两个公共点
=0，函数图象与x轴有一个公共点
<0，函数图象与x轴有没有公共点
函数图象与x轴有两个公共点， >0
函数图象与x轴有一个公共点， =0
函数图象与x轴有没有公共点， <0
例1. 已知二次函数 y = ax2 + bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示．
(1) 方程ax2 + bx＋c = 0的根是多少？
解：方程ax2 + bx＋c = 0的根就是抛物线 y = ax2 + bx＋c与x轴的公共点的横坐标.
因为二次函数图象对称轴为x=1，其中一个公共点为（3,0），那么根据对称性，另外一个公共点坐标为（-1,0）
所以根为-1或3
例1. 已知二次函数 y = ax2 + bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示．
(2) 方程ax2 + bx＋c = 1的根的情况是什么？
解：补全图象得：
方程ax2 + bx＋c = 1的根就是抛物线 y = ax2 + bx＋c与直线y=1的公共点的横坐标.
由图可得有两个不同的交点，所以有两个不相等的实数根
y=1
例1. 已知二次函数 y = ax2 + bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示．
(2) 方程ax2 + bx＋c = k没有实数根，则k的取值范围是多少？
解：要求方程ax2 + bx＋c = k没有实数根，就是抛物线 y = ax2 + bx＋c与直线y=k没有公共点.
我们发现当直线x=4的时候，抛物线和直线有一个公共点，
把直线在往下平移会有两个，往上平移就没有了
所以k > 4
y=4
例1. 已知二次函数 y = ax2 + bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示．
(2) 方程ax2 + bx＋c = k没有实数根，则k的取值范围是多少？
解：要求方程ax2 + bx＋c = k没有实数根，就是抛物线 y = ax2 + bx＋c与直线y=k没有公共点.
我们发现当直线x=4的时候，抛物线和直线有一个公共点，
把直线在往下平移会有两个，往上平移就没有了
所以k > 4
y=4
例2. 不画图像，判断下列二次函数的图象与x轴公共点的个数.
(1) y=-x2 - 3x＋1
解：∵ = b2-4ac =13>0，∴图像与x轴有两个公共点.
(2) y=x2 - 4x＋4
解：∵ = b2-4ac =0， ∴图像与x轴有一个公共点.
(3) y=2x2 + 3x＋2
解：∵ = b2-4ac =-7<0，∴图像与x轴没有公共点.
三 利用二次函数求一元二次方程的近似解
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
转化
求抛物线y=x2-2x-2与x轴公共点的横坐标.
解：画出函数 y=x -2x-2 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间.
3
y
O
-3
3
x
先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是 -0.8 或 -0.7，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.8 和 -0.7 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.8 与 -0.7 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有 y = x2-2x-2 的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -0.8 或 x = -0.7 都符合要求. 但当 x = -0.7 时更为接近0. 故 x1 ≈ -0.7 . 同理可得另一近似值为 x2≈2.7 .
x … -0.8 -0.7 …
y … 0.24 -0.11 …
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
法二：方程可化为x2-2x =2，即求直线y=2和y=x2-2x的交点的横坐标.
画图得：
4
2
3
x
1
4
3
2
-1
O
-1
1
5
y=2
即产生了2个交点，同样的一个在-1与0之间，另一个在2与3之间
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
法三：方程可化为x2=2x+2，即求一次函数y=2x+2和y=x2的交点的横坐标.
画图得：
4
2
3
x
1
4
3
2
-1
O
-1
1
y=2x+2
-2
即产生了2个交点，同样的一个在-1与0之间，另一个在2与3之间
归纳
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
1. 用描点法画出二次函数的图象；
2. 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与 x 轴有两个交点,其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围（可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值）；
3. 确定方程的近似解；
由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解.
针对训练
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
B
方法总结
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
四 二次函数与一元二次不等式的关系
例4 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是 _____________;
不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.
3
-1
O
x
y
x1= -1， x2=3
x<-1或x>3
-1变式 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是 _____________;
不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.
3
-1
O
x
x1= -1， x2=3
-1x<-1或x>3
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交点 图象 不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 不等式
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
有两个交点x1,x2
(x1＜x2)
有一个交点x0
没有交点
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一元二次不等式的关系
x＜x1或 x>x2 .
x1＜x＜x2.
x0之外的所有实数
无解
所有实数
无解
归纳
x2
x1
x
y
O
x0
x
y
O
x
y
O
二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴交点 图象 不等式 ax2+bx+c>0 (a<0)的解集 不等式
ax2+bx+c<0
(a<0)的解集
有两个交点x1,x2
(x1＜x2)
有一个交点x0
没有交点
x＜x1或 x>x2 .
x1＜x＜x2.
x0之外的所有实数
无解
所有实数
无解
x2
x1
x
y
O
x0
x
y
O
x
y
O
针对训练
1.已知二次函数y=x -6x+8的图象，利用图象回答问题：
(1)方程x -6x+8=0的解是什么？
(2) x取什么值时，y>0 ？
(3) x取什么值时，y<0 ？
x
y
O
2
4
8
解：(1) x1=2,x2=4;
(2)x<2或x>4;
(3)2随堂练习
1.已知二次函数y=x2-2x-1图象如图所示.
(1)根据图像求出一元二次方程x2-2x-1=0根的范围
解：∵一元二次方程x2-2x-1=0的根就是二次函数
y=x2-2x-1与x轴的交点
∴由图得方程有两个根，-1(2)求不等式x2-2x-1>-1的解集
解：由图可得函数值必须在直线y=-1的上方，
∴x的解集为x<0或2y=-1
1.已知二次函数y=x2-2x-1图象如图所示.
(3)根据图像，请判断直线y=k与二次函数y=x2-2x-1
的交点个数.
解：当k<-2时，直线与二次函数无交点
当k=-2时，直线与二次函数有一个交点
当k>-2时，直线与二次函数有两个交点
2.已知二次函数y=-x2+x+2m(m为常数).
(1)若抛物线与x轴有唯一公共点，求m的值;
解：∵抛物线与x轴有唯一公共点
∴ = b2-4ac =12-4·(-1)·2m=1+8m=0
∴
(2)若抛物线与x轴没有公共点，求m的取值范围;
解：∵抛物线与x轴没有公共点
∴ = b2-4ac =12-4·(-1)·2m=1+8m<0
∴
2.已知二次函数y=-x2+x+2m(m为常数).
(3)若抛物线与x轴有两个公共点，求m的取值范围;
解：∵抛物线与x轴有两个公共点
∴ = b2-4ac =12-4·(-1)·2m=1+8m>0
∴
2.若函数 y=x2-2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是( )
A
A. b<1 且 b≠0 B. b>1 C. 0与坐标轴有三个交点
与x轴有两个交点
与y轴有一个交点
3.根据下表判断方程ax +bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是_______________
x 0.4 0.5 0.6 0.7
ax +bx+c -0.64 -0.25 0.16 0.59
0.5＜x＜0.6
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
y=a(x-h)2+k
解方程
一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的根
二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
与x轴交点情况
y=0
由“形”
到“数”
由“数”
到“形”
图象
由图象与x轴的交点位置，
判断方程根的近似值
课堂小结
判别式Δ=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c （a>0）的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集
不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
x
O
y
Δ>0
Δ＝0
Δ＜0
x1 ; x2
没有实数根
xx2
x ≠ x1的任意实数
任意实数
x1无解
无解
x1 =x2
＝
谢谢
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