22.3.2 实际问题与二次函数-----利润问题 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
21.3.2 利润问题
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.明确商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
学习目标
重点
难点
我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？
新课引入
二次函数与利润问题
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
新知学习
你知道这些数量关系吗？
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
（3）单件利润=售价-进价.
分析： 调整价格包括涨价和降价两种情况.让我们一起来分析一下吧！
涨价销售
①设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 元，填空：
建立函数关系式：y = (60-40+x)(300-10x),
即：y = -10x2+100x+6000.
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
60-40
300
(60-40+x)
(300-10x)
(60-40+x)(300-10x)
6000
②自变量 x 的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此需要考虑销售量不为负，故300-10x ≥0，且 x ≥ 0，因此自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y = -10x2+100x+6000，
所以当 时，y = -10×52+100×5+6000 = 6250.
即涨价 5 元时，最大利润是 6250 元.
建立函数关系式：y = (60-40-x)(300+20x)，
即：y = -20x2+100x+6000.
降价销售
①设每件降价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 元，填空：
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
降价销售
60-40
300
(60-40-x)
(300+20x)
(60-40-x)(300+20x)
6000
营销规律是价格下降，销量上升，因此需要考虑单件利润不为负，故 20-x ≥ 0，且x ≥ 0，因此自变量的取值范围是0 ≤ x ≤20.
③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
即降价 2.5 元时，最大利润是 6125 元.
∵6125<6250
∴综上可知，定价 57.5 元时，最大利润是 6125 元.
y = -20x2 + 100x + 6000，
②自变量x的取值范围如何确定？
当 时,
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗
归纳
求解最大利润问题的一般步骤
1. 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”;
2. 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
3. 在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
随堂练习
1.某种商品每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系：y=ax2+bx－75.其图象如图.
(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点(5,0)、(7,16),
将两点坐标代入解析式即可求得：
y=-x2+20x-75，即y=-(x-10)2+25.
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.
(2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)显然，当y=16时，x1=7、x2=13.
∵y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10，
∴点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）,
结合图象分析得，
销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
13
2.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x/(元/件) 4 5 6
y/件 10 000 9 500 9 000
(1)求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
解:(1)设y与x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0),代入
，解得 .
∴y＝-500x+12 000；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(2)由题意得 ,解得3≤x≤12.
设利润为w元，根据题意得，
w＝(x-3)y＝(x-3)(-500x+12 000)＝-500x2+13 500x-36 000
＝-500(x-13.5)2+55 125，
∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大.
∵3≤x≤12，
∴当x＝12时，w取最大值-500×(12-13.5)2+55 125＝54 000. 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元，售价为12元.
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
思路点拨：每件捐赠m元，也就是每件的利润少m元
∵﹣500＜0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大.
∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3.
∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．
(3)根据题意得，w＝(x-3-m)(-500x+12 000)
＝-500x2+(13 500+500m)x-36 000-12 000m，
所以对称轴为 .
利
润
问
题
建立函数关系式
确定最大利润
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取
值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
课堂小结
谢谢
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