22.3.3 实际问题与二次函数-----抛物线型 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
21.3.3 抛物线型
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 掌握如何建立二次函数模型，会把实际问题转化为二次函数问题．
2. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3. 能运用二次函数的图象与性质解决问题．
学习目标
重点
难点
生活中我们可以看到很多抛物线形的物体，比如拱桥、喷泉、隧道等。
新课引入
例 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m. 水面下降1m，水面宽度增加多少？
一、利用二次函数解决实物抛物线形问题
新知学习
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图．
设这条抛物线表示的二次函数为 y = ax2.（a≠0）
由抛物线经过点( 2,-2 )，可得 -2 = a×22，a = -
这条抛物线表示的二次函数为 y = － x2.
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3.
所以当水面下降 1m 时，水面宽度为 m.
水面下降 1m，水面宽度增加 m.
当 y = -3时，- x2 = -3, 解得 x1= ，x2= - (舍去).
思考
还有其他建立坐标系的方式吗？
x
y
O
①
P(2,2)
A(4,0)
M
x
y
O
②
P(-2,2)
B(-4,0)
M
x
O
P(0,2)
A(2,0)
+c
③
y
归纳
解决抛物线型建筑问题“四步骤”
1.建立恰当的平面直角坐标系；
2.根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；
3.恰当选用二次函数的表达式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式；
4.利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解.
针对训练
1. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=- x2+2x+c表示．
(1) 请写出该抛物线的函数关系式；
解：(1) 根据题意得 C( 0 , 4 )，
把 C( 0 , 4 )，
代入 y =﹣ x2+2x+c得 c = 4，
所以抛物线解析式为y = -
x2
+2x+4.
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
∴这辆货车能安全通过.
（2）抛物线解析式为y＝﹣ x2+2x+4
(x﹣6)2+10，
∴对称轴为x＝6，
由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为( 2,0 ) 或 ( 10,0 )，
当x＝2或 x＝10 时，y＝ >6，
二、利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析 式y=a(x-6)2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米.
问题1 当h=2.6时,求y与x的函数解析式.
分析：利用h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出,将点(0, 2)代入解析式求出即可.
解：∵h = 2.6，球从O点正上方 2m 的 A 处发出,
∴抛物线 y = a(x-6)2+h 过点 (0, 2)，
∴2 = a(0-6)2+2.6,解得:a= - ,
故 y 与 x 的函数解析式为 y= - (x-6)2+2.6.
问题2 当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.
点拨：利用当x=9时，y= - (x-6)2+2.6=2.45,当y=0 时, - (x-6)2+2.6=0,分别得出结果.
解：当x=9时, y= - (x-6)2+2.6=2.45>2.43,
所以球能过球网;
当y=0时, - (x-6)2+2.6=0,
解得: x1=6+2 >18, x2=6-2 (舍去),
故会出界.
问题3 若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围是多少
分析：根据当球正好过点 (18,0) 时，抛物线 y=a(x-6)2+h 还过点 (0, 2)，以及当球刚能过网，此时函数图象过 (9, 2.43)，抛物线 y=a(x-6)2+h 还过点 (0, 2) 时分别得出 h 的取值范围，即可得出答案.
(3)当球正好过点 (18,0) 时，抛物线 y=a(x-6)2+h 还过点 (0,2),
当球刚能过网,此时函数图象过 (9,2.43)，
抛物线y=a(x-6)2+h 还过点(0,2)，代入解析式得
代入解析式得
此时二次函数解析式为y= - (x-6)2+ ,
此时球若不出边界，则h≥ ；
故若球一定能越过球网，又不出边界,h的取值范围是：h≥ .
此时球要过网，则h≥ ,
针对训练
1.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
∵与x轴交于点A ( 60,0 ) ，
解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣h)2+k，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为(15,45 ) ，
∴y＝a ( x - 15 )2+45，
∴0＝a ( 60 - 15 )2+45，
∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
解得：a＝-
∴解析式为 y＝- ( x﹣15 )2+45，
令x＝0得：y＝- ( 0﹣15 )2+45＝40，
∴点 B 的坐标为( 0,40 ) ，
随堂练习
1、某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系.根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).设右边抛物线为y=a(x-h)2+k，
由待定系数法可求得抛物线解析式为 y=- (x-1)2+2.25.
代入y=0时，0=- (x-1)2+2.25，解得x1=2.5；x2=-0.5(舍去).
可求得点C的坐标为(2.5,0) ;同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
根据对称性，如果不计其他因素，
那么水池的半径至少要2.5m，
才能使喷出的水流不致落到池外.
2.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
(1) 若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数解析式；
解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为(0，0.5)，对称轴为y轴，设抛物线的函数解析式为y=ax2+0.5.抛物线经过点(450，81.5)，代入上式，得81.5=a×4502+0.5.
解得 .
故所求解析式为
(2) 计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长.
(2)当x=450－100=350时，得
当x=450－50=400时，得
即距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长分别为49.5m、64.5m.
抛
物
线
型
拱桥问题
运动中的
抛物线问题
根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，然后利用函数解析式解决问题．
(1)运动中的距离、时间、速度问题；
(2)物体的运动路线(轨迹)问题.
课堂小结
谢谢
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