高中数学人教A版必修5 2.2 等差数列课后练习
一、单选题
1．（2020高二上·望城期末）等差数列 中， ， ，则公差 等于（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2020高二上·桂林期末）在等差数列 中， ，公差 ，则 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2020高二上·东莞期末）在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2020高二上·黄陵期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ）
A．一鹿、三分鹿之一 B．一鹿
C．三分鹿之二 D．三分鹿之一
5．（2020高二上·渭滨期末）在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．25 B．28 C．31 D．34
6．（2020高二上·南县期末）已知 是公差为2的等差数列，且 ，则 （ ）
A．3 B．9 C．18 D．24
7．（2020高三上·北海月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝36，则a5＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2020高二上·徐州期中）在等差数列 中， ，S，是数列 的前n项和，则S2020=（ ）
A．2019 B．4040 C．2020 D．4038
二、多选题
9．（2020高二上·徐州期中）已知Sn是等差数列 (n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列 的公差d<0
B．数列 中Sn的最大项为S10
C．S10>0
D．S11>0
10．（2020高二上·连云港期中）已知数列 是等差数列，前n项和为 且 下列结论中正确的是（ ）
A． 最小 B． C． D．
11．（2020高二上·中山月考）已知等差数列 前项和为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是递减数列 D． 为 的最大值
12．（2020高二上·娄底期中）首项为正数，公差不为0的等差数列 ，其前 项和为 ，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则使 的最大的n为15
C．若 ， ，则 中 最大
D．若 ，则
三、填空题
13．（2020高二上·浦东期末）已知数列 为等差数列且a5=2，则其前9项和S9= .
14．（2020高三上·邯郸期末）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
15．（2020高二上·西青期末）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 = .
16．（2020高二上·上海期末）已知数列 为等差数列，其前n项和为 ，若 ， ，则数列 的通项公式为 .
四、解答题
17．（2020高三上·贵溪月考）已知在等差数列 中， ，且 ，求数列 的通项公式．
18．（2020高二上·咸阳期末）已知 为等差数列 的前n项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最小值.
19．（2020高三上·启东期中）在① ， ；② ， ；③ ， 这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列 满足________.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ，以及使得 取得最大值时 的值.
20．（2020高一上·运城期中）等差数列{ }中， .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ） 设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】由等差数列的性质可知：
所以 .
故答案为：A
【分析】由等差数列项的性质计算出公差即可。
2．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】 。
故答案为：C.
【分析】利用等差数列通项公式结合已知条件，进而求出等差数列第三项的值。
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】设等差数列 的公差为 ，可得，解出 ，即可得解。
4．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意得在等差数列 中，
，
解得 ，
．
簪裹得一鹿．
故答案为：B．
【分析】由题意得在等差数列 中， ，求出，由此即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为在等差数列 中， ， ，
所以 ， ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据 ， ，解得 ，再利用等差数列的通项公式，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 是公差为 的等差数列， ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】用等差数列的通项公式得，由此求出答案。
7．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】∵{an}是等差数列，∴ ， ．
故答案为：B．
【分析】利用等差数列项的性质以及等差数列的前n项和公式计算出结果即可。
8．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】等差数列 中， ，
，
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，再利用等差数列的前n项和公式，从而求出等差数列前2020项的和。
9．【答案】A,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，且 ，
所以数列的公差 ，且数列 中Sn的最大项为S5，所以A符合题意，B不符合题意，
所以 ， ，
所以C符合题意，D不符合题意，
故答案为：AC。
【分析】因为 ，再结合等差数列前n项和公式，得出 且 ，再利用等差数列的性质得出数列的公差 ，且数列 中Sn的最大项为S5，所以A符合题意，B不符合题意，再利用等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质得 ， ，所以C符合题意，D不符合题意，从而选出正确的答案。
10．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列数列 的公差为 .
由 有 ，即
所以 ,则D符合题意.
A. ,无法判断其是否有最小值，A不符合题意.
B. ,B符合题意.
C. ,所以 ，C符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由数列 是等差数列及 求出之间的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式，即可进行判断。
11．【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： 在等差数列 中 ， ，
设公差为 ，则 ，
即 ，所以数列 是递减数列， 正确．
， 错误．
， 正确．
，
对应的抛物线开口向下，对称轴为 ， 当 或 ， 取得最大值， 正确．
故答案为：BCD．
【分析】首先根据题意由已知条件可知数列 是递减数列进而C正确；由已知条件得出再由等差数列的通项公式得出从而A错误以及B正确；结合等差数列前n项和公式即可得到关于首项的一元二次方程，结合二次函数的性质即可求出最大值，从而判断出选项D正确。
12．【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】A选项，若 ，则 ，
那么 .A不正确；
B选项，若 ，则 ，
又因为 ，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为 ，
所以使 的最大的 为15.B符合题意；
C选项，若 ， ，
则 ， ，则 中 最大.C符合题意；
D选项，若 ，则 ，而 ，不能判断 正负情况.D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.
13．【答案】18
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为数列 为等差数列，所以 ，
故答案为：18
【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出。
14．【答案】16
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 等差数列，由 ，又 ，
所以 ，即 .
又 所以
则
故答案为：16
【分析】根据等差数列的性质得到，结合已知条件求得，然后由等差数列的前项和公式得到，可得m的值。
15．【答案】1
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由等差数列的前 项和公式可得： ，
故答案为：1.
【分析】利用等差数列的性质结合 ，求得 的值。
16．【答案】n
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为数列 为等差数列，且 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：
【分析】首先由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式，再结合已知条件即可求出首项和公差的值由此得到数列的通项公式。
17．【答案】解：已知在等差数列 中， ，即
又因为 ，所以 ，解得
故数列 的通项公式是： .
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【分析】由等差数列的定义可得 ，再由 ，利用等差数列的求和公式求出，进而得出数列 的通项公式。
18．【答案】（1）解： ， ，
，得 ， ，
数列 的通项公式为
（2）解： .
当 时， 取得最小值
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出 ， ，代入通项公式即可求解；
（2）利用等差数列的前项和公式可得 ，配方即可求得 的最小值 。
19．【答案】（1）解：选条件①，
因为数列 是等差数列，设公差为 ，
由 解得： ，
所以 ，
选条件②，
因为数列 是等差数列，设公差为 ，
解得：
所以 ，
选条件③，
因为数列 是等差数列，设首项为 ，公差为 ，
由 即 ，解得 ，
所以
（2）解：由（1）知 ，
，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 前 项都是正值，从第 项起是负值， 故当 时， 最大.
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 选条件①， （1）利用等差数列前 项和公式列方程求出 ，由此能求出数列 的通项公式；
（2）求出 ，从而求出当 时， 最大；
选条件②，（1） 利用等差数列通项公式列出方程组求出 ，由此能求出数列 的通项公式；（2）求出 ，从而求出当 时， 最大；
选条件③， （1）利用等差数列前 项和公式列方程组求出 ，由此能求出数列 的通项公式；（2）求出 ，从而求出当 时， 最大；
20．【答案】解：（Ⅰ）设数列 的公差为d，由题意有 .
解得 .
所以 的通项公式为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .
当n=1,2,3时， ；
当n=4,5时， ；
当n=6,7,8时， ；
当n=9,10时， .
所以数列 的前10项和为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求 ， ，从而求得 ；（Ⅱ）由（Ⅰ）求 ，再求数列 的前10项和.
1 / 1高中数学人教A版必修5 2.2 等差数列课后练习
一、单选题
1．（2020高二上·望城期末）等差数列 中， ， ，则公差 等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】由等差数列的性质可知：
所以 .
故答案为：A
【分析】由等差数列项的性质计算出公差即可。
2．（2020高二上·桂林期末）在等差数列 中， ，公差 ，则 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】 。
故答案为：C.
【分析】利用等差数列通项公式结合已知条件，进而求出等差数列第三项的值。
3．（2020高二上·东莞期末）在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】设等差数列 的公差为 ，可得，解出 ，即可得解。
4．（2020高二上·黄陵期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ）
A．一鹿、三分鹿之一 B．一鹿
C．三分鹿之二 D．三分鹿之一
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意得在等差数列 中，
，
解得 ，
．
簪裹得一鹿．
故答案为：B．
【分析】由题意得在等差数列 中， ，求出，由此即可得出答案。
5．（2020高二上·渭滨期末）在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．25 B．28 C．31 D．34
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为在等差数列 中， ， ，
所以 ， ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据 ， ，解得 ，再利用等差数列的通项公式，即可得出答案。
6．（2020高二上·南县期末）已知 是公差为2的等差数列，且 ，则 （ ）
A．3 B．9 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 是公差为 的等差数列， ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】用等差数列的通项公式得，由此求出答案。
7．（2020高三上·北海月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝36，则a5＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】∵{an}是等差数列，∴ ， ．
故答案为：B．
【分析】利用等差数列项的性质以及等差数列的前n项和公式计算出结果即可。
8．（2020高二上·徐州期中）在等差数列 中， ，S，是数列 的前n项和，则S2020=（ ）
A．2019 B．4040 C．2020 D．4038
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】等差数列 中， ，
，
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，再利用等差数列的前n项和公式，从而求出等差数列前2020项的和。
二、多选题
9．（2020高二上·徐州期中）已知Sn是等差数列 (n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列 的公差d<0
B．数列 中Sn的最大项为S10
C．S10>0
D．S11>0
【答案】A,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，且 ，
所以数列的公差 ，且数列 中Sn的最大项为S5，所以A符合题意，B不符合题意，
所以 ， ，
所以C符合题意，D不符合题意，
故答案为：AC。
【分析】因为 ，再结合等差数列前n项和公式，得出 且 ，再利用等差数列的性质得出数列的公差 ，且数列 中Sn的最大项为S5，所以A符合题意，B不符合题意，再利用等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质得 ， ，所以C符合题意，D不符合题意，从而选出正确的答案。
10．（2020高二上·连云港期中）已知数列 是等差数列，前n项和为 且 下列结论中正确的是（ ）
A． 最小 B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列数列 的公差为 .
由 有 ，即
所以 ,则D符合题意.
A. ,无法判断其是否有最小值，A不符合题意.
B. ,B符合题意.
C. ,所以 ，C符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由数列 是等差数列及 求出之间的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式，即可进行判断。
11．（2020高二上·中山月考）已知等差数列 前项和为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是递减数列 D． 为 的最大值
【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： 在等差数列 中 ， ，
设公差为 ，则 ，
即 ，所以数列 是递减数列， 正确．
， 错误．
， 正确．
，
对应的抛物线开口向下，对称轴为 ， 当 或 ， 取得最大值， 正确．
故答案为：BCD．
【分析】首先根据题意由已知条件可知数列 是递减数列进而C正确；由已知条件得出再由等差数列的通项公式得出从而A错误以及B正确；结合等差数列前n项和公式即可得到关于首项的一元二次方程，结合二次函数的性质即可求出最大值，从而判断出选项D正确。
12．（2020高二上·娄底期中）首项为正数，公差不为0的等差数列 ，其前 项和为 ，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则使 的最大的n为15
C．若 ， ，则 中 最大
D．若 ，则
【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】A选项，若 ，则 ，
那么 .A不正确；
B选项，若 ，则 ，
又因为 ，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为 ，
所以使 的最大的 为15.B符合题意；
C选项，若 ， ，
则 ， ，则 中 最大.C符合题意；
D选项，若 ，则 ，而 ，不能判断 正负情况.D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.
三、填空题
13．（2020高二上·浦东期末）已知数列 为等差数列且a5=2，则其前9项和S9= .
【答案】18
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为数列 为等差数列，所以 ，
故答案为：18
【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出。
14．（2020高三上·邯郸期末）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
【答案】16
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 等差数列，由 ，又 ，
所以 ，即 .
又 所以
则
故答案为：16
【分析】根据等差数列的性质得到，结合已知条件求得，然后由等差数列的前项和公式得到，可得m的值。
15．（2020高二上·西青期末）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 = .
【答案】1
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由等差数列的前 项和公式可得： ，
故答案为：1.
【分析】利用等差数列的性质结合 ，求得 的值。
16．（2020高二上·上海期末）已知数列 为等差数列，其前n项和为 ，若 ， ，则数列 的通项公式为 .
【答案】n
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为数列 为等差数列，且 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：
【分析】首先由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式，再结合已知条件即可求出首项和公差的值由此得到数列的通项公式。
四、解答题
17．（2020高三上·贵溪月考）已知在等差数列 中， ，且 ，求数列 的通项公式．
【答案】解：已知在等差数列 中， ，即
又因为 ，所以 ，解得
故数列 的通项公式是： .
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【分析】由等差数列的定义可得 ，再由 ，利用等差数列的求和公式求出，进而得出数列 的通项公式。
18．（2020高二上·咸阳期末）已知 为等差数列 的前n项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）解： ， ，
，得 ， ，
数列 的通项公式为
（2）解： .
当 时， 取得最小值
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出 ， ，代入通项公式即可求解；
（2）利用等差数列的前项和公式可得 ，配方即可求得 的最小值 。
19．（2020高三上·启东期中）在① ， ；② ， ；③ ， 这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列 满足________.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ，以及使得 取得最大值时 的值.
【答案】（1）解：选条件①，
因为数列 是等差数列，设公差为 ，
由 解得： ，
所以 ，
选条件②，
因为数列 是等差数列，设公差为 ，
解得：
所以 ，
选条件③，
因为数列 是等差数列，设首项为 ，公差为 ，
由 即 ，解得 ，
所以
（2）解：由（1）知 ，
，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 前 项都是正值，从第 项起是负值， 故当 时， 最大.
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 选条件①， （1）利用等差数列前 项和公式列方程求出 ，由此能求出数列 的通项公式；
（2）求出 ，从而求出当 时， 最大；
选条件②，（1） 利用等差数列通项公式列出方程组求出 ，由此能求出数列 的通项公式；（2）求出 ，从而求出当 时， 最大；
选条件③， （1）利用等差数列前 项和公式列方程组求出 ，由此能求出数列 的通项公式；（2）求出 ，从而求出当 时， 最大；
20．（2020高一上·运城期中）等差数列{ }中， .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ） 设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】解：（Ⅰ）设数列 的公差为d，由题意有 .
解得 .
所以 的通项公式为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .
当n=1,2,3时， ；
当n=4,5时， ；
当n=6,7,8时， ；
当n=9,10时， .
所以数列 的前10项和为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求 ， ，从而求得 ；（Ⅱ）由（Ⅰ）求 ，再求数列 的前10项和.
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