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初中数学湘教版七年级下册3.2提公因式法 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·建平期末）多项式 各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·济宁期中）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（ ）
A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+9
3．（2020八下·南岸期末）把 进行因式分解，提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八下·武侯期末）多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是（ ）
A．m+2 B．m﹣2 C．m+4 D．m﹣4
5．（2020九上·龙岗期末）方程x2=2x的解是（ ）
A．x=2 B．x1=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=2
6．（2020七下·溧水期末）分解因式a2－2a，结果正确的是（ ）
A．a（a－2） B．a（a＋2） C．a（a2－2） D．a（2－a）
7．（2020七下·蚌埠月考）把 分解因式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020八下·宝安月考）某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy （4y-__）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）
A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l
9．（2020八下·宝安月考）下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ ）
A．x3﹣x+1 B．（a﹣b）﹣4（b﹣a）2
C．11a2b﹣7b2 D．5a（m+n）﹣3b2（m+n）
10．（2020八下·西安月考）如果多项式 abc+ ab2﹣a2bc的一个因式是 ab，那么另一个因式是（ ）
A．c﹣b+5ac B．c+b﹣5ac C． ac D．﹣ ac
二、填空题
11．（2020八上·昌黎期中）分式 中分子、分母的公因式为
12．（2020八上·巴彦淖尔期中）多项式 的公因式是 ．
13．（2020七上·松江期末）分解因式： ．
14．（2020八上·伊通期末）若 ， ，则 ＝ ．
三、解答题
15．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
16．用提公因式法分解因式:
（1）6m2n-15n2m+30m2n2;
（2）-4x3+16x2-26x;
（3）x(x+y)+y(x+y).
17．（2020九上·讷河月考）分解因式：
18．先将代数式因式分解，再求值：
2x（a﹣2）﹣y（2﹣a），其中a=0.5，x=1.5，y=﹣2．
19．（2020八下·皇姑期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 （填提公因式法或公式法中的一个）；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝ ；
1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝ （直接填空）；
（3）运用上述结论求值：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，其中x＝ ﹣1.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解： ＝xy（6＋3x 4xz3），
故多项式 各项的公因式是xy.
故答案为：A.
【分析】公因式就是每一项都含有的因式，观察可得此多项式的公因式。
2．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解： ，
，
，
公因式是 ．
故答案为：C．
【分析】先把这三个式子因式分解，再找到它们的公因式．
3．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
∴都有因式2ax.
故答案为：D.
【分析】 多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.
4．【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】2m+4=2(m+2)，
m2+4m+4=(m+2)2，
∴多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是(m+2)，
故答案为：A．
【分析】根据公因式定义，对每个多项式整理然后即可选出有公因式的项．
5．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2=2x，
x（x-2）=0，
x=0或x-2=0，
∴ x1=0，x2=2 .
故答案为：D.
【分析】利用因式分解法把方程化成x（x-2）=0，即可求出方程的解.
6．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-2），
故答案为：A.
【分析】原式提取公因式得到结果.
7．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案选：B
【分析】先将 变为 ，再提公因式分解因式即可．
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．
故答案为：C．
【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．
9．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】A、x3﹣x+1，不能利用提公因式法分解因式，故此选项符合题意；
B、（a﹣b）﹣4（b﹣a）2，可以提公因式（a﹣b），能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、11a2b﹣7b2，可以提公因式b，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
D、5a（m+n）﹣3b2（m+n）可以提公因式（m+n），能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】分别确定每个选项的公因式可得答案．
10．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： abc+ ab2﹣a2bc＝ ab（c﹣b+5ac），
故另一个因式为（c﹣b+5ac），
故答案为：A.
【分析】利用提取公因式法将已知 多项式分解因式，即可得到另一个因式。
11．【答案】4m
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：分子为4mn2，分母为20m2
∴分子和分母的公因式为4m
【分析】根据公因式的含义即可得到答案。
12．【答案】5m2n
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中，
各项系数的最大公约数是5，
各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，
所以它的公因式是5m2n．
故答案是：5m2n．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】直接提取公因式（m-n）即可.
14．【答案】-36
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
∵ ， ，
∴原式 ．
故答案是： -36 ．
【分析】将代数式因式分解得到，再将 ， 整体代入计算即可。
15．【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
16．【答案】（1）原式=3mn(2m-5n+10mn);
（2）原式=-2x(2x2-8x+13);
（3）原式=(x+y)(x+y)=(x+y)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式，每一项都含有公因式3mn，因此提取公因式即可。
（2）观察此多项式，每一项都含有公因式-2x，因此提取公因式即可。
（3）观察此多项式，每一项都含有公因式（x+y），因此提取公因式即可。
17．【答案】解：原式 ，
，
，
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】利用提公因式法分解因式即可得．
18．【答案】解：原式=2x（a﹣2）+y（a﹣2）=（a﹣2）（2x+y），
当a=0.5，x=1.5，y=﹣2时，原式=（0.5﹣2）×（3﹣2）=﹣1.5．
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将a，x以及y代入计算即可求出值．
19．【答案】（1）提公因式法
（2）（1+x）4；（1+x）n+1
（3）解： （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）4，
当x＝ ﹣1时，原式＝（1+ ﹣1）4＝（ ）4＝36.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）4；
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n-1]
＝（1+x）n[（1+x）（1+x）n-n]
＝（1+x）n（1+x）
＝（1+x）n+1；
【分析】（1）观察阅读材料中的过程，确定出分解因式方法即可；（2）由题意根据题中的方法确定出所求即可；（3）由题意可知原式利用题中的方法化简，把x的值代入计算即可求出值.
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初中数学湘教版七年级下册3.2提公因式法 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·建平期末）多项式 各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解： ＝xy（6＋3x 4xz3），
故多项式 各项的公因式是xy.
故答案为：A.
【分析】公因式就是每一项都含有的因式，观察可得此多项式的公因式。
2．（2020九上·济宁期中）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（ ）
A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+9
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解： ，
，
，
公因式是 ．
故答案为：C．
【分析】先把这三个式子因式分解，再找到它们的公因式．
3．（2020八下·南岸期末）把 进行因式分解，提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
∴都有因式2ax.
故答案为：D.
【分析】 多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.
4．（2020八下·武侯期末）多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是（ ）
A．m+2 B．m﹣2 C．m+4 D．m﹣4
【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】2m+4=2(m+2)，
m2+4m+4=(m+2)2，
∴多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是(m+2)，
故答案为：A．
【分析】根据公因式定义，对每个多项式整理然后即可选出有公因式的项．
5．（2020九上·龙岗期末）方程x2=2x的解是（ ）
A．x=2 B．x1=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2=2x，
x（x-2）=0，
x=0或x-2=0，
∴ x1=0，x2=2 .
故答案为：D.
【分析】利用因式分解法把方程化成x（x-2）=0，即可求出方程的解.
6．（2020七下·溧水期末）分解因式a2－2a，结果正确的是（ ）
A．a（a－2） B．a（a＋2） C．a（a2－2） D．a（2－a）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-2），
故答案为：A.
【分析】原式提取公因式得到结果.
7．（2020七下·蚌埠月考）把 分解因式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案选：B
【分析】先将 变为 ，再提公因式分解因式即可．
8．（2020八下·宝安月考）某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy （4y-__）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）
A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．
故答案为：C．
【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．
9．（2020八下·宝安月考）下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ ）
A．x3﹣x+1 B．（a﹣b）﹣4（b﹣a）2
C．11a2b﹣7b2 D．5a（m+n）﹣3b2（m+n）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】A、x3﹣x+1，不能利用提公因式法分解因式，故此选项符合题意；
B、（a﹣b）﹣4（b﹣a）2，可以提公因式（a﹣b），能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、11a2b﹣7b2，可以提公因式b，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
D、5a（m+n）﹣3b2（m+n）可以提公因式（m+n），能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】分别确定每个选项的公因式可得答案．
10．（2020八下·西安月考）如果多项式 abc+ ab2﹣a2bc的一个因式是 ab，那么另一个因式是（ ）
A．c﹣b+5ac B．c+b﹣5ac C． ac D．﹣ ac
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： abc+ ab2﹣a2bc＝ ab（c﹣b+5ac），
故另一个因式为（c﹣b+5ac），
故答案为：A.
【分析】利用提取公因式法将已知 多项式分解因式，即可得到另一个因式。
二、填空题
11．（2020八上·昌黎期中）分式 中分子、分母的公因式为
【答案】4m
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：分子为4mn2，分母为20m2
∴分子和分母的公因式为4m
【分析】根据公因式的含义即可得到答案。
12．（2020八上·巴彦淖尔期中）多项式 的公因式是 ．
【答案】5m2n
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中，
各项系数的最大公约数是5，
各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，
所以它的公因式是5m2n．
故答案是：5m2n．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
13．（2020七上·松江期末）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】直接提取公因式（m-n）即可.
14．（2020八上·伊通期末）若 ， ，则 ＝ ．
【答案】-36
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
∵ ， ，
∴原式 ．
故答案是： -36 ．
【分析】将代数式因式分解得到，再将 ， 整体代入计算即可。
三、解答题
15．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
16．用提公因式法分解因式:
（1）6m2n-15n2m+30m2n2;
（2）-4x3+16x2-26x;
（3）x(x+y)+y(x+y).
【答案】（1）原式=3mn(2m-5n+10mn);
（2）原式=-2x(2x2-8x+13);
（3）原式=(x+y)(x+y)=(x+y)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式，每一项都含有公因式3mn，因此提取公因式即可。
（2）观察此多项式，每一项都含有公因式-2x，因此提取公因式即可。
（3）观察此多项式，每一项都含有公因式（x+y），因此提取公因式即可。
17．（2020九上·讷河月考）分解因式：
【答案】解：原式 ，
，
，
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】利用提公因式法分解因式即可得．
18．先将代数式因式分解，再求值：
2x（a﹣2）﹣y（2﹣a），其中a=0.5，x=1.5，y=﹣2．
【答案】解：原式=2x（a﹣2）+y（a﹣2）=（a﹣2）（2x+y），
当a=0.5，x=1.5，y=﹣2时，原式=（0.5﹣2）×（3﹣2）=﹣1.5．
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将a，x以及y代入计算即可求出值．
19．（2020八下·皇姑期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 （填提公因式法或公式法中的一个）；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝ ；
1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝ （直接填空）；
（3）运用上述结论求值：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，其中x＝ ﹣1.
【答案】（1）提公因式法
（2）（1+x）4；（1+x）n+1
（3）解： （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）4，
当x＝ ﹣1时，原式＝（1+ ﹣1）4＝（ ）4＝36.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）4；
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n-1]
＝（1+x）n[（1+x）（1+x）n-n]
＝（1+x）n（1+x）
＝（1+x）n+1；
【分析】（1）观察阅读材料中的过程，确定出分解因式方法即可；（2）由题意根据题中的方法确定出所求即可；（3）由题意可知原式利用题中的方法化简，把x的值代入计算即可求出值.
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