2015连线中考数学一轮复习系列专题11二次函数

基础知识
知识点一、二次函数的有关概念
二次函数的概念：一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项。称为自变量，称为因变量。
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知识点二、二次函数的基本性质
1、二次函数的图像：抛物线。
2、二次函数的常见的几种表达式
①、一般式：
②、顶点式：
3、抛物线的三要素：开口方向（与有关系）、对称轴（与、有关系）、顶点。
4、二次函数的基本性质
表达式 开口方向 对称轴 顶 点 随着的变化
开口向上 开口向下越大，开口越大 对称轴为轴 当时，对称轴的左边随着的增大而减小；对称轴的右边随着的增大而增大。当时，对称轴的左边随着的增大而增大；对称轴的右边随着的增大而减小。
对称轴为
对称轴为
5、二次函数与之间的转化
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二次函数的平移
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二次函数中、、正负的判定
：看开口方向 开口向上； 开口向下。
：看对称轴 对称轴在轴左边，则与正负相同，对称轴在轴右边，则与正负相反。
：看于轴的交点 于轴交于正半轴； 于轴交于负半轴。
知识点四：二次函数解析式的求法
设一般式：
一般题目提供已知三个点坐标，则设所求抛物线解析式一般式，将已知条件带入解析式，得到关于、、的三元一次方程组，解方程组求出、、的值即可得到解析式。
设顶点式：
一般题目提供已知一个点和顶点坐标，则设所求抛物线解析式顶点式，将已知条件带入解析式，得到一个关于的一元一次方程，求出即可得到解析式。
知识点四：二次函数的实际问题
二次函数的实际应用题解题步骤：
分析：分析此题的类型：行程问题、销售问题……
提取：提取题目中的已知条件，并标记：如行程问题，则跟速度、时间、路程有关，应标清楚是什么量。
设题：一般是求什么设什么，但部分题目应先考虑已知条件进行设题。
列：将2、3中的关系用数学式子表示清楚，列出式子。
解：解出式子中未知数的解即可
答：答题。
知识点五：二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；
=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；
<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。
知识点六：二次函数与不等式的关系
①、使得二次函数的函数值的自变量的取值范围，即求的解集；反之，求的解集，即求二次函数的函数值的自变量的取值范围。（此处常用图解法求一元二次不等式的解集）
②、用图像法求一元二次不等式（例子）的解集步骤：
、设：设，则求，即求二次函数的函数值的自变量的取值范围。
、作：根据五点作图法，作出一次函数的图像
、求：求出二次函数与轴的交点坐标
、解：根据直角坐标系特点，轴上方，恒成立；反之，轴下方，恒成立，故求，即看图像在轴下方部分时，的取值范围即可。
重点例题分析
例1：若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
( http: / / www.21cnjy.com )例2：将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(　　)
A．y＝3(x－2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1
C．y＝3(x＋2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋1
例3：(2014年四川资阳，第10题3分 ( http: / / www.21cnjy.com ))二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图11-1，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（　　）
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A． 4个 B．3个 C．2个 D．1个
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例4：（2014年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
X ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（　　）
　A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
( http: / / www.21cnjy.com )例5：（2014 舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A. B.或 C.2或 D.2或﹣或
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例6：（2014·浙江金华，第9题4分）如图11-2是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（ ）
　 B．　 　 4
C．　 　 D．或
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答案：D
解析：由图象可知，当时，或. 故选D．
例7：（2014年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图11-3所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）
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例8：（2014 广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
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例9：(2014年四川资阳，第22题9分) ( http: / / www.21cnjy.com )某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
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（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700 ( http: / / www.21cnjy.com )元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
( http: / / www.21cnjy.com )答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
例10：(2014 襄阳， ( http: / / www.21cnjy.com )第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为　 　；抛物线的解析式为　 　．
（2）在图1中，若点P在线段OC上从点 ( http: / / www.21cnjy.com )O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图2中，若点P在对称轴上从 ( http: / / www.21cnjy.com )点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
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巩固练习
1、下列函数中，不是二次函数的是(　 　)
A．y＝1－x2 B． ( http: / / www.21cnjy.com )y＝2(x－1)2＋4 C.y=(x－1)(x＋4) D．y＝(x－2)2－x2
2、二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图11-4，则m的值是(　 　)
A．－8 B．8 C．±8 D．6
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3、在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是(　 　)
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A B C D
4、（2014 孝感，第12题3分）抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图11-5，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；
④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5、抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．
6、已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象交于点A(－1，m)．
(1)求m，c的值； (2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
7、（2014 武汉201 ( http: / / www.21cnjy.com )4 武汉，第29题10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
8、（ 2014 安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
中考预测
1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图11-6，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是(　 　)
A．有最小值－5、最大值0
B．有最小值－3、最大值6
C．有最小值0、 最大值6
D．有最小值2、 最大值6
2、二次函数的图象如图11-7所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
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3、(2014年天津市，第12 题3分 ( http: / / www.21cnjy.com ))已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图11-8，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（）
　 A． 0 B． 1 C．2 D．3
4、（2014 邵阳，第26题10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
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5、我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是
（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时，=__________；
当顶点坐标为（，），时，与之间的关系式是____________________
（2）继续探究，如果，且过原点的抛物线顶点在直线上，请用含的代数式表示；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点，，…，在直线上，横坐标依次为1，2，…，（为正整数，且≤12），分别过每个顶点作轴的垂线，垂足记为，，…，，以线段为边向右作正方形，若这组抛物线中有一条经过，求所有满足条件的正方形边长。
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5.4
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中考预测
B
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D
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D
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4.解：（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），
∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m＞n，且点A位于点B的右侧，
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5.
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图11-7