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课时分层训练(一)数列的概念(第1课时)【xm】
一、基础达标练
1．有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点．其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】数列1，-1，1，- 1，……的通项公式可以是an=(-1)n+1 ，也可以是an=(-1)n+3，故①错误；数列的项与n具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列无通项公式，故②错误；数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；由数列的定义知命题④正确．
故答案为：B．
【分析】由数列的项的性质结合题意，即可得出数列的通项公式由此判断出①错误；由数列通项公式的定义即可判断出②错误；结合数列的概念即可判断出③错误；由数列的定义即可判断出④正确；从而即可得出答案。
2．下列关于数列的说法正确的是（ ）
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
【答案】A,B,C
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，所以D项错误，A，B，C均正确．
故答案为：ABC
【分析】根据题意由数列的概念以及通项公式的定义和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
3．下列说法错误的是（ ）
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，……就是数列{n}
D．数列中的项不能是代数式
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，A正确，不符合题意；同一个数在一个数列中可以重复出现，B错误，符合题意；根据数列的相关概念可知C正确，不符合题意；数列中的项必须是数，不能是其他形式，D正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据题意由数列的定义以及通项公式的定义和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
4．数列1， ， ， ， ……的一个通项公式a，=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据数列可知，奇数项为正值，偶数项为负值，且第一项为 ，第二项为 ，第三项为 ，第四项为 ，第五项为 ，所以an= 1× =(-1)n+1×
故答案为：D
【分析】根据题意由已知条件数列的项的规律，即可整理出数列的通项公式。
5．数列{8n-1}的最小项等于（ ）
A．-1 B．7 C．8 D．不存在
【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】数列{8n-1}的最小项为a1=8×1-1=7．
故答案为：B．
【分析】由已知条件对n赋值，由此计算出结果即可。
6．（2020高二上·河东期末）已知数列 的通项公式为 ＝n2－n－50，则－8是该数列的（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由题意，令 ，解得 或 （舍），即为数列的第7项.
故答案为：C.
【分析】代入数值计算求出n的值即可得出项数的值。
7．已知数列{an}满足a1>0，对一切n∈N*， ，则数列{an}是（ ）．
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定
【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】因为 ，a1>0，则an>0，所以 <1，an+1
故答案为：B．
【分析】根据题意由已知条件数列的递推公式，整理化简即可得出an+18．（2019高二上·洛阳期中）若数列 的通项公式 ，则此数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．以上都不是
【答案】A
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
因此数列 是递增数列.
故答案为：A
【分析】由 ，计算 ，得出 ，即可判断出结果.
9．数列{an}的通项公式是an=-n2+4n+21(n∈N*)，这个数列最大的项是（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意得an=-n2+4n+21=-(n-2)2+25，则当n=2时，数列取得最大项.
故答案为：B
【分析】根据数列的通项公式，结合二次函数的性质求解即可.
二、能力提升练
10．已知an+1-an-3=0，则数列{an}是（ ）
A．递增数列 B．递减数列
C．先递增后递减数列 D．常数列
【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】由已知得an+1-an=3>0，故{an}为递增数列．
故答案为：A
【分析】由已知条件即可得出an+1-an=3>0，由此即可得出数列的单调性。
11．一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是（ ）．
A．an=n ． B．an=n2-6n2-12n+6
C．an= n2- n+1 D．an=
【答案】A,D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】对于 A，若an=n，则a1=1，a2=2，a3=3，符合题意；对于B，若an=n3-6n2- 12n+6，则a1=-11，不符合题意；对于C，若an= n2- n+1，当n=3时，a3=4≠3，不符合题意；对于D，若an= ，则a1=1，a2=2，a3=3，符合题意．
故答案为：AD．
【分析】根据题意由数列的通项公式的概念，结合题意分贝低n赋值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．在数列{an}中每相邻两项间插人3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项（ ）
A．不是原数列的项 B．是原数列的第10项
C．是原数列的第11项 D．是原数列的第12项
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由于每相邻两项间插入3个数，因此原数列中的第n项在新数列中是第1+4(n-1)=4n-3项。由4n-3=41，得n=11，即第41项是原数列的第11项．
故答案为：C．
【分析】根据题意由已知条件即可得出原数列中的第n项在新数列中是第1+4(n-1)=4n-3项，由此代入数值计算出结果即可。
13．已知数列{an}的通项公式为an= ，则该数列的前4项依次为（ ）
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1
C． ，0， ，0 D．2，0，0，2
【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】a1= =1；
a2= =0；
a3= =1；
a4= =0．
故答案为：A．
【分析】根据题意对n赋值，计算出计算即可。
14．已知数列{an}中，an=an+m(a<0，n∈N*)满足a1=2，a2=4，则a3=
【答案】2
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】由题意得 ，∴a2-a=2，
∴a=2或a=-1．
又a<0，∴a=- 1．
又a+m=2，∴m=3．
∴an=(-1)n+3．∴a3=(-1)3+3=2．
【分析】根据题意代入数值结合数列的递推公式，计算出a的取值，由此即可求出m的值，进而求出数列的通项公式，再代入数值计算出结果即可。
15．已知数列{an}中，an= (n∈N*)，则数列{an}的最大项为第 项．
【答案】16
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】因为an=
又n∈N*，所以当n=16时，an最大．
【分析】根据题意整理化简数列的通项公式，再由分式的几何意义计算出结果即可。
16．根据下面的通项公式，写出数列的前5项．
（1）an=
（2）an=(-1)n-1·
【答案】（1）解：当n=1时，a1= =2；当n=2时，a2= ；当n=3时，a3= =2；当n=4时，a4= ；当n=5时，a5=
（2）解：当n=1时，a1=(-1)1-1× ；
当n=2时，a2= ；
当n=3时，a3=
当n=4时，a4= ；
当n=5时，a5=
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【分析】(1)根据题意把数值代入到通项公式，由此计算出结果即可。
(2)根据题意把数值代入到通项公式，由此计算出结果即可。
17．已知数列{an}的通项公式为an=cn+dn-1，且a2= ，a4= ，求an和a10．
【答案】解：由a2= ，a4= ，得
解得
∴an=
∴a10=
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【分析】首先根据题意由数列的递推公式整理化简已知条件，由此得出c与d的取值，从而得出数列的通项公式，然后代入数值计算出结果即可。
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课时分层训练(一)数列的概念(第1课时)【xm】
一、基础达标练
1．有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点．其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列关于数列的说法正确的是（ ）
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
3．下列说法错误的是（ ）
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，……就是数列{n}
D．数列中的项不能是代数式
4．数列1， ， ， ， ……的一个通项公式a，=（ ）
A． B．
C． D．
5．数列{8n-1}的最小项等于（ ）
A．-1 B．7 C．8 D．不存在
6．（2020高二上·河东期末）已知数列 的通项公式为 ＝n2－n－50，则－8是该数列的（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项
7．已知数列{an}满足a1>0，对一切n∈N*， ，则数列{an}是（ ）．
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定
8．（2019高二上·洛阳期中）若数列 的通项公式 ，则此数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．以上都不是
9．数列{an}的通项公式是an=-n2+4n+21(n∈N*)，这个数列最大的项是（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
二、能力提升练
10．已知an+1-an-3=0，则数列{an}是（ ）
A．递增数列 B．递减数列
C．先递增后递减数列 D．常数列
11．一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是（ ）．
A．an=n ． B．an=n2-6n2-12n+6
C．an= n2- n+1 D．an=
12．在数列{an}中每相邻两项间插人3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项（ ）
A．不是原数列的项 B．是原数列的第10项
C．是原数列的第11项 D．是原数列的第12项
13．已知数列{an}的通项公式为an= ，则该数列的前4项依次为（ ）
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1
C． ，0， ，0 D．2，0，0，2
14．已知数列{an}中，an=an+m(a<0，n∈N*)满足a1=2，a2=4，则a3=
15．已知数列{an}中，an= (n∈N*)，则数列{an}的最大项为第 项．
16．根据下面的通项公式，写出数列的前5项．
（1）an=
（2）an=(-1)n-1·
17．已知数列{an}的通项公式为an=cn+dn-1，且a2= ，a4= ，求an和a10．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】数列1，-1，1，- 1，……的通项公式可以是an=(-1)n+1 ，也可以是an=(-1)n+3，故①错误；数列的项与n具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列无通项公式，故②错误；数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；由数列的定义知命题④正确．
故答案为：B．
【分析】由数列的项的性质结合题意，即可得出数列的通项公式由此判断出①错误；由数列通项公式的定义即可判断出②错误；结合数列的概念即可判断出③错误；由数列的定义即可判断出④正确；从而即可得出答案。
2．【答案】A,B,C
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，所以D项错误，A，B，C均正确．
故答案为：ABC
【分析】根据题意由数列的概念以及通项公式的定义和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，A正确，不符合题意；同一个数在一个数列中可以重复出现，B错误，符合题意；根据数列的相关概念可知C正确，不符合题意；数列中的项必须是数，不能是其他形式，D正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据题意由数列的定义以及通项公式的定义和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据数列可知，奇数项为正值，偶数项为负值，且第一项为 ，第二项为 ，第三项为 ，第四项为 ，第五项为 ，所以an= 1× =(-1)n+1×
故答案为：D
【分析】根据题意由已知条件数列的项的规律，即可整理出数列的通项公式。
5．【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】数列{8n-1}的最小项为a1=8×1-1=7．
故答案为：B．
【分析】由已知条件对n赋值，由此计算出结果即可。
6．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由题意，令 ，解得 或 （舍），即为数列的第7项.
故答案为：C.
【分析】代入数值计算求出n的值即可得出项数的值。
7．【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】因为 ，a1>0，则an>0，所以 <1，an+1故答案为：B．
【分析】根据题意由已知条件数列的递推公式，整理化简即可得出an+18．【答案】A
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
因此数列 是递增数列.
故答案为：A
【分析】由 ，计算 ，得出 ，即可判断出结果.
9．【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意得an=-n2+4n+21=-(n-2)2+25，则当n=2时，数列取得最大项.
故答案为：B
【分析】根据数列的通项公式，结合二次函数的性质求解即可.
10．【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】由已知得an+1-an=3>0，故{an}为递增数列．
故答案为：A
【分析】由已知条件即可得出an+1-an=3>0，由此即可得出数列的单调性。
11．【答案】A,D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】对于 A，若an=n，则a1=1，a2=2，a3=3，符合题意；对于B，若an=n3-6n2- 12n+6，则a1=-11，不符合题意；对于C，若an= n2- n+1，当n=3时，a3=4≠3，不符合题意；对于D，若an= ，则a1=1，a2=2，a3=3，符合题意．
故答案为：AD．
【分析】根据题意由数列的通项公式的概念，结合题意分贝低n赋值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由于每相邻两项间插入3个数，因此原数列中的第n项在新数列中是第1+4(n-1)=4n-3项。由4n-3=41，得n=11，即第41项是原数列的第11项．
故答案为：C．
【分析】根据题意由已知条件即可得出原数列中的第n项在新数列中是第1+4(n-1)=4n-3项，由此代入数值计算出结果即可。
13．【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】a1= =1；
a2= =0；
a3= =1；
a4= =0．
故答案为：A．
【分析】根据题意对n赋值，计算出计算即可。
14．【答案】2
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】由题意得 ，∴a2-a=2，
∴a=2或a=-1．
又a<0，∴a=- 1．
又a+m=2，∴m=3．
∴an=(-1)n+3．∴a3=(-1)3+3=2．
【分析】根据题意代入数值结合数列的递推公式，计算出a的取值，由此即可求出m的值，进而求出数列的通项公式，再代入数值计算出结果即可。
15．【答案】16
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】因为an=
又n∈N*，所以当n=16时，an最大．
【分析】根据题意整理化简数列的通项公式，再由分式的几何意义计算出结果即可。
16．【答案】（1）解：当n=1时，a1= =2；当n=2时，a2= ；当n=3时，a3= =2；当n=4时，a4= ；当n=5时，a5=
（2）解：当n=1时，a1=(-1)1-1× ；
当n=2时，a2= ；
当n=3时，a3=
当n=4时，a4= ；
当n=5时，a5=
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【分析】(1)根据题意把数值代入到通项公式，由此计算出结果即可。
(2)根据题意把数值代入到通项公式，由此计算出结果即可。
17．【答案】解：由a2= ，a4= ，得
解得
∴an=
∴a10=
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【分析】首先根据题意由数列的递推公式整理化简已知条件，由此得出c与d的取值，从而得出数列的通项公式，然后代入数值计算出结果即可。
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