1.1 集合的概念（第一课时） 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
亲爱的同学：
欢迎来到高中数学课堂！
经历过小学和初中阶段，我们已经学习了不少
数学知识，也能用它们解决一些生活中的问题。
但是，到目前为止，我们能解决的更多是些简单的、孤立的问题。而生活中的问题纷繁复杂、门类众多，该如何高效地解决它们呢？
数学家想到的办法是：先将它们归类，然后一类一类地解决！要学会这种高效的方法，我们得先学习如何用数学语言表达一类一类的事物！
集合，是刻画一类事物的语言和工具，让我们从“集合是什么” 开始学习吧！
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1.1 集合的含义
高中数学/人教A版/必修一
知识篇
素养篇
思维篇
1.1.1 集合的含义
什么是集合？
1
看下面的例子：
(1)1~11之间的所有偶数；
(2)方程 x2-2x-3=0 的所有实数根；
(3)所有的正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有的点；
(5)立德中学今年入学的全体高一学生.
一般地，我们把研究对象统称为元素；
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)
以上例子中，我们研究的对象分别是什么？
抽象与概括
思考
概念
1)确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的.
也就是说，给定一个集合，那么一个元素
在或不在这个集合中就确定了.
“我们班的所有高个子男同学构成一个集合”这个说法对吗？
为什么？
“我们班的所有男同学构成一个集合”这个说法对吗？为什么？
对！ 满足确定性
不对！ 不满足确定性
元素的特性
用数学眼光看问题
集合中元素的特性
2
2)互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的.
也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
下图中不同信号灯颜色组成的集合中，元素的个数是多少？
为什么？
3个 重复的只能算作一个
元素的特性
用数学眼光看问题
集合中元素的特性
2
3)无序性 同一个集合中的元素列举时无需讲究先后顺序.
特别地，只要构成两个集合的元素相同，就称这两个
集合相等，与元素出现顺序无关.
2)单词“eat”所含字母构成的集合与单词“tea”所含字母
构成的集合是否相等？为什么？
1)电话号码“120”所含字符构成的集合与号码“122”所含
字符构成的集合是否相等？为什么？
不相等！元素不完全相同
相等！元素完全相同
元素的特性
用数学眼光看问题
集合中元素的特性
2
微清单
元素的特性
集合相等
两个集合所含元素相同
集合中元素的特性
2
给定集合，它的元素必须是确定的.也就是说给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了.
确定性
互异性
无序性
一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合中的元素没有前后顺序.
练一练
1.判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由.
(1)大于0且小于10的奇数； (2) 我国境内的高山.
（1）是，确定由1，3，5，7，9五个元素组成的集合.
(1)错误！不满足集合元素的互异性．
2.判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)由0，∣ ∣，1 , 0.5 组成的集合包含4个元素；
(2)由3，1，4与1，4，3分别组成的集合是不同的集合.
(2)错误！依据元素的无序性，这两个集合相等．
（2）否，“高山”不具有确定性.
我们通常用大写拉丁字母A、B、C…表示集合；
用小写拉丁字母a、b、c、…表示集合中的元素.
元素、集合的表示及关系
3
如果a是集合A中的元素，就说a属于A.
记作a∈A
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A.
记作a A
练一练
∈


∈
用符号“∈”或“ ”填空：
1）若所有奇数组成集合A,则
2 A， 3 A；
2）若所有小于4的实数组成集合B，则
B, B.
N*
N
Z
Q
R
数学中一些常用的数集及其记法
自然数集 N
正整数集 N* 或 N+
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
venn图
常用数集
4
文字语言
符号语言
图形语言
练一练
用符号“∈”或“ ”填空：
0 N; -3 N; 0.5 Z；
Z； Q; π R .
提醒：0∈N, 但 0 N*.
∈
∈
∈



新知梳理
元素及其表示 研究的对象； 小写拉丁字母
集合及其表示 元素组成的总体; 大写拉丁字母
元素与集合的关系
元素的特性 确定性 互异性 无序性
集合相等 两个集合所含元素相同
知识篇
素养篇
思维篇
1.1.1 集合的含义
1.下列各判断是否正确？为什么？
数集的性质问题解决策略：
1）要否定判断，举一个反例即可；
2）要肯定判断，可对照定义、定理等依据；也可以通过推理
给出证明；
3）注意０等特殊元素的特殊性，利用数学直观作为思考先导.
问
题
分
析
方法总结
(1)若x∈N，y∈N，则(x+y)∈N*；(2) 若xy∈Z，则x∈Z，y∈Z；
(3)若x∈Z，y∈Z，则 ∈Q ； (4) 若x，y均为无理数，则xy Q.
(1)× 反例：x=y=0； (2) × 反例：x=2, y=0.5 ；
(3)× 反例：y=0； (4) × 反例：x=y= .
核心素养 之 直观想象 + 数据分析
元素个数问题常用策略：
1）直接列举；（本题列举过程中用到了数值迭代）
2）通过转化与化归，得到元素的范围后再计数；
3）通过递推等手段，使条件显性化，再确定元素．
问
题
分析
方法总结
2. 设A是一些实数组成的集合，满足条件：
若a∈A，则 ∈A，且2 A.
(1) 若1∈A，则A中元素个数为 .
4
2-a
3
1∈A 4∈A -2∈A 1∈A
核心素养 之 数据分析 + 逻辑递推
这里将元素个数问题转化为方程是否有解的问题．
用到了方程思想．
问
题
分析
方法
总结
不能! 因为方程a= 无实数解.
4
2-a
2. 设A是一些实数组成的集合，满足条件：
若a∈A，则 ∈A，且 2 A.
(2) A能否只包含一个元素？为什么？
4
2-a
核心素养 之 数据分析 + 逻辑递推
5
这里元素个数问题的解决分两步：先确定元素范围，再对照条件列举验证．用到了重要的策略：有序思考.
问
题
分
析
方法
总结
先定量判断：-4≤2-a≤4 且 a≥0
再有序列举：
a=0时，符合； a=1时，符合;
a=2时，无意义； a=3时，符合；
a=4时，符合； a=5时，不符合；
a=6时，符合.
变题 设A是一些实数组成的集合，若a∈A，则
a∈N , 且 ∈Z. 则A中元素最多有 个.
5
核心素养 之 数据分析 + 逻辑递推
知识篇
素养篇
思维篇
1.1.1 集合的含义
当a=0,或a=1,或a=a2时，A只有两个元素0和1，不符!
当a2=0时，a=0,不符！
当a2=1时，a=1或-1
若a=1，不符！
若a=-1，则A中有三个元素0,1,-1,符合条件.
综上所述，得a=-1 .
元素含字母问题常用解决策略：分类讨论
1）有序思考：不重复，不遗漏；
2）分层讨论：先按大类讨论，若需要某一类内部可再讨论；
3）检验互异性：对照已知条件判断合理与否.
问
题
分
析
方法
总结
1. 已知0∈A，1∈A，a∈A, a2∈A，且A是包含三个
元素的集合，求实数a的值.
数学思想 之 分类讨论
U是以C为圆心、以2为半径的圆内(含边界)的点的集合(点集). 由已知及图形分析得：CP= < 2 ，CQ=2.5>2, 故P U、Q U.
点集问题解决策略：数形结合
1）将条件中的符号语言翻译成文字语言和图形语言；
2）结合图形，确定点集对应的区域；
3）点与点集的关系，取决于点到关键点或线的距离.
问
题
分
析
方法
总结
2. 如图，△ABC中，AB=5, BC=4, CA=3; 已知U是△ABC所在平面
内所有满足CM≤2的点M组成的集合. 若点P、Q分别是△ABC的
内心和外心，则P U，Q U.（填“∈”或“ ”）

∈
数学思想 之 数形结合
问
题
分
析
方法
总结
这里同时用到了分拆、递推与循环迭代；
对于选项D的排除，用到了反证法思想 .
3. 已知集合A中的元素都是正整数，且满足条件：
对任意正整数x、y，若x+y∈A，则xy∈A.
已知4∈A，则A中元素个数有可能是 （ ）
A. 2个 B. 3 个 C. 4个 D. 5个.
一方面，可将4逆向拆成1+3，或2+2，或3+1；
由已知1+3∈A，得1×3=3∈A；由3=1+2，得1×2=2∈A；
由2=1+1∈A，得1×1=1∈A. 故A中至少有四个元素.
另一方面，对于选项D，若A中还有第5个元素m，则m≥5，
因为m可拆成2+(m-2), 且2(m-2)-m=m-4≥1，所以2(m-2)∈A，
故A中将会出现第6个元素2(m-2). 与选项D自身矛盾！
数学思想 之 迭代思想 + 反证法
课堂小结
一、本节课学习的新知识：
元素及其表示
集合及其表示
元素与集合的关系
元素的特性
集合相等
课堂小结
二、本节课提升的核心素养：
数学运算
直观想象
逻辑推理（有序思考 分类讨论 反证法）
数据分析
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法：
分类讨论
递推思想
数形结合
方程思想
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
作业
给授课教师的建议：
1. 素养篇与思维篇中的问题，建议以学生分析为主，由
学生思考、探究、讨论，得出解决方案，教师适时点
拨即可;
2. 原PPT上的“分析”文本框内容，仅供教师参考，上
课前建议删除，使问题解决的过程得以原生态呈现.
（此页可以删了）