2023—2024学年北师大版数学八年级上册 第1章勾股定理 自主提升训练 （含解析）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》
单元自主提升训练（附答案）
一、单选题
1．已知a、b、c分别为中，，的对边，下列说法错误的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．总有
2．下面四组数中是勾股数的有（ ）
①，，；②，，；③，，；④，，．
A．组 B．组 C．组 D．组
3．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方是（ ）
A．169 B．169或119 C．13或15 D．15
4．如图，在中，，，，点是上的动点，则的最小值为( )
A．5 B． C． D．6
5．如图，已知中，，，将此三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．中，，，高，则的长为（　　　）
A．4 B．14 C．5 或 9 D．4 或 14
7．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为36，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
8．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺
二、填空题
9．在中，，边上的高为15，则的面积是 ．
10．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树原高为 米．
11．如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为、、．
（1）若，，则 ．
（2）若，则 ．
12．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为 ．
13．如图，一个工人拿一个米长的梯子，底端放在距离墙根点米处，另一头点靠墙，如果梯子的顶部下滑米，那么梯子的底部向外滑 米．
14．如图，在中，，动点从点出发沿射线BC以的速度运动，设运动的时间为 ，为直角三角形时，则的值 ．
15．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为 ．

16．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 （填序号）
三、解答题
17．如下图，在中，，于点，．

(1)求的面积；
(2)求线段的长．
18．如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为．
(1)求，间的距离；
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
19．如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从地沿到达地，为10米，第二条路是从地沿折线到达地，为8米，为6米，第三条路是从地沿折线到达地共行走26米，若刚好在一条直线上．

(1)求证：；
(2)求和的长．
20．根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．

21．已知四边形中，，为中点，且，，．

(1)求的值；
(2)求直线与直线的距离．
22．在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】
小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到M，使，连接，根据______可以判定，得出，这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围．
【方法感悟】
我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等，往往可以考虑做“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，的平分线交边于点D，若，求的长．
【应用提升】
（3）已知：如图3，中，．D、E是三角形边、上两个动点，且，连接，求的最小值．

23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．
参考答案
1．解：由题意可得，
，则，正确不符合题意；
，则，正确不符合题意；
，则，正确不符合题意；
未说明直角，错误，故符合题意；
故选D；
2．解：①，，；②，，；④，，不是整数，故不符合题意；
③三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意；
故选：A．
3．解：当边长为12的边为直角边时，则第三边的长的平方为；
当边长为12的边为斜边时，则第三边的长的平方为；
综上所述，第三边长的平方是169或119，
故选B．
4．解：∵在中，，，，
∴，
当时，取得最小值，
∴，
故选：C．
5．解：∵三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得，
故选：C．
6．解：如图1，当点D在线段上时，
锐角中，，，．
在中，，
由勾股定理得：，则．
在中，，
由勾股定理得：，则，
故的长为；
如图2，当点D在线段的延长线上时，
钝角中，，，边上高．
在中，，
由勾股定理得：，则．
在中，，
由勾股定理得：，则，
故的长为．
综上可得BC的长为4或14．
故选：D．
7．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
∴小正方形的面积等于：，
∵每一个直角三角形的面积为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．解: 设水深为h尺，则芦苇高为尺，
由题意知芦苇距离水池一边的距离为尺，
根据勾股定理得：，
解得，
即水深为12尺，
故选：B．
9．解：①当点D在上时，如图：
由题意，得：，，，
∴
∴，
∴的面积是；
②当点D不在上时，如图：
由题意，得：，，，
∴
∴，
∴的面积是；
综上：的面积是或．
10．解：根据题意得：米，米，，
由勾股定理得， 米，
所以米．
故答案为8．
11．解：（1）当，时，
正方形的边长，正方形的边长，
根据题意，该图形由八个全等的直角三角形拼接而成，
由全等的直角三角的性质可得，，
设，则，，
∴，解得，
∴，，
∴在中，，
∴正方形的面积；
故答案为：13；
（2）设每一个直角三角形面积为，
∴则，，
∵，
∴，
解得．
故答案为：8．
12．解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为，
，
，
，
故答案为：13．
13．解：米，米，
米，
梯子的顶部下滑米，
米，
米，
米，
梯子的底部向外滑出，
米．
故答案是：．
14．解：在中，由勾股定理得：，
，
由题意得：．，
①当为直角时，
如图①，点与点重合，
，
；
②当为直角时，
如图②，．，，
在中，，
在中，，
即，
解得，
故答案为：或．
15．解：如图，，，

∴的面积，
由勾股定理得，
则，
解得，
故答案为：
16．解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，故①正确；
由三角形外角定理，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，故③正确；
∵，
∴在中，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
17．（1）解：在中，， ，
∴，
∴，
∴的面积为．
（2）解：∵在中，，于点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴线段的长为．
18．（1）解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
答：，间的距离为．
（2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下：
，
而，
，
所以这辆小汽车没有超速．
19．（1）证明：∵米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，即；
（2）解：设米，则米，
∴（米），
在中，由勾股定理得：，
解得：，则．
答：的长为17米，的长为9米．
20．解：由题意，设，则．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，即，
解得：．
答：该幼儿园E应该建在距点A为1km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
21．（1）解：延长交的延长线于点，如图，

，
，，
为中点，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）过点作，如图，

，，
，
．
22．解：（1）∵D是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）延长到P，使，连接，

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线为，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过点C向上方作，使，连接，过点M作，交的延长线于点N，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，当点B、E、M在同一直线上时，的值最小，即最小值为，
在中，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即的最小值为10．
23．（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
在中，，
即，
解得，
即，
（千米），
答：新路比原路少0.05千米；
（3）设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：．