2023—2024学年北师大版数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗 自主提升训练 （含解析）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》
自主提升训练（附答案）
一、单选题
1．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
3．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将个全等的小正方形嵌入长方形内部，其中点，，，分别在长方形的边，，和上，若，，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，两个边长为1的正方形整齐地排在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线为半径作圆与数轴有两个交点，其中点Р表示的数是（ ）
A． B． C．2.2 D．
6．如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（ ）米，却踩伤了花草.
A．1 B．2 C．1.5 D．0.5
7．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（ ）
A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺
8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的， ，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为（ ）
A．420 B．440 C．430 D．410
二、填空题
9．如图，数轴上点A所表示的数为a，求 ．
10．如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有 （填“＞”或“＜”或“”）
11．新冠疫情防控过程中，某中学在大门口的正上方处装着一个红外线激光测温仪，离地米（如图所示），一个身高米的学生（米）正对门缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于 ．
12．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、 的面积依次为5、6、20，则正方形的面积是 ．
13．如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是8，底面周长是12，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
14．“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的长是 m．
15．如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ．
16．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为 .
三、解答题
17．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数．
18．一块 的长方形吹塑纸板，按照如图所示的方式设计构图，做新冠疫情防控宣传展板，若在 两点之间贴一条彩色胶带，则彩色胶带的长至少是多少米？
19．将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理．
20．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．
(1)应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是　 　；
(2)应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB推至AC处，它的绳索始终拉直，量得水平距离，求绳索的长．
21．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
参考答案
1．解：A.，且，，故是直角三角形；
B.，且，，，，故不是直角三角形；
C.，，故是直角三角形；
D.，可设，，，，，故是直角三角形．
故选B．
2．解：第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理．
第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理．
第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理．
第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理，
能够验证勾股定理的有4个．
故选：A．
3．解：如图所示，根据赵爽弦图，将小正方形分成4个全等的直角三角形，和一个最小的正方形，
设直角三角形的短直角边长为，长直角边为，则正方形的水平宽度与垂直高度为，
依题意，
解得：
∴小正方形的边长为：，
故选：A．
4．解：由题意得，，
故选B．
5．解：∵，
∴点Р表示的数是．
故选D．
6．解：如图，在中，已知，所以，
所以他们仅仅少走了．
故选：
7．解：设绳索有x尺长，
则，
解得：．
故选：C．
8．解：如图，延长交于P，延长交于Q，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∵图2是由图1放入长方形内得到，
∴，，
∴长方形的面积．
故选：B．
9．解：
解：如图，由勾股定理得
．
∵点C表示-1，
∴点A表示的数是．
故答案为：．
10．解：如图，
∵正方形a，c的边长分别为a和c，
∴，，
由正方形的性质得：，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴正方形b的面积为，
即，
故答案为：．
11．解：如图，
过点作于点，
∵米，米，米，
∴米，
在中，由勾股定理得到：（米）；
故答案是：米．
12．解：由题意：，，
正方形、、的面积依次为5、6、20，
，
．
故答案为：9．
13．解：根据题意，将圆柱展开如下：
∴，
∴，
∴最短路程为10，
故答案为：10．
14．解：∵，，即直角三角形的两直角边长为，
∴小正方形的边长为，
∴．
故答案为：
15．解：过点作交于点，交于点，
在正方形中，
又
∵正方形的面积为25，
或（舍去）
故答案为：
16．解：如图，作于点，则，
四边形、四边形、四边形都是正方形，
，，，
，
，
，，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
①，
，
②，
由①②得，
，
，
故答案为：36．
17．（1）解：如图，即为所求；（答案不唯一）
此时：；
（2）解：如图，即为所求；（答案不唯一）
此时：．
18．解：点C位置如图，
则 ，，
在直角 中， ，
答：彩色胶带的长至少是 ．
19．（1）解：；
理由：∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：连接，，
∵，
∴，，，
∴，
又∵
，
∴ ，
整理得： ．
20．解：（1）在中，OB＝＝＝，
∴，
∴点C表示的数是，
故答案为：；
（2）解：设秋千绳索AC的长度为，
由题意可得AC＝AB＝，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即AC的长度为，
答：绳索AC的长为．
21．（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴
（2），
，
，
即AB边上的高是
（3）解：在中，由勾股定理得
∵，
∴
在中，由勾股定理得
∴，
∴