2023-2024学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》
自主提升训练(附答案)
一、单选题
1.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍,问小鸟至少要飞行( )
A.6米 B.8米 C.10米 D.14米
2.如图,从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳,则处到电线杆底部处的距离为( )
A. B. C. D.
3.如图,一木杆在离地面处折断,木杆顶端落在离木杆底端处,则木杆折断之前的高度是( )
A. B. C. D.
4.如图,为修铁路需凿通隧道,测得,,,若每天凿,则把隧道凿通需要( )
A.天 B.天 C.天 D.天
5.如图是楼梯的示意图,楼梯的宽为5米,米,米,若在楼梯上铺设防滑材料,则所需防滑材料的面积至少为( )
A.65 B.85 C.90 D.150
6.如图所示,将一根的筷子,置于底面直径为,高的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度,则h的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高二丈,末折抵地,去根九尺,问折高者几何?意思是一根竹子,原高两丈(一丈尺),一阵风将竹子折断,其竹稍恰好抵地,抵地处离竹子底部9尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断后垂直地面的竹子高度为尺,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为,梯子顶端到地面的距离为,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离为,则小巷的宽为( )
A.2m B. C. D.
二、填空题
9.一般轮船A以16海里/时的速度从港口P出发向东北方向航行,同时轮船B以30海里时的速度从港口P出发向东南方向航行,2小时后,两船相距 海里.
10.圆柱的底面圆的周长是12,高是8,蚂蚁从下底面的点沿侧面爬到点,最短路径的长是 .
11.如图,在中,,,,是的平分线,若M、N分别是和上的动点,则的最小值是 .
12.如图,供给船要给C岛运送物资,从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛.测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向.若A,B两港口之间的距离为65nmile,则C岛到港口B的距离是 nmile.
13.在一个长为 米, 宽为 米的长方形草地 上, 如图堆放着一根正三棱柱的木块,它的侧棱长平行且大于场地宽,木块的主视图是边长为 米的正三角形, 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是 米.
14.如图,在笔直的公路旁有一个城市书房C,C到公路的距离为80米,为100米,为300米.一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶,若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响,那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响.
15.如图,在四边形中,对角线分别为,,且于点,若,,则 .
16.如图是某滑雪场U型池的示意图,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆,其边缘,点在上,.一名滑雪爱好者从点滑到点时,他滑行的最短路程约为 (取3).
三、解答题
17.“村村通”是我国的一项重要民生工程,如图,、、三个村都分别修建了一条互通的公路,其中,现要在公路边修建一个景点,(、、在同一直线上),为方便村村民到达景点,又修建了一条公路,测得:,,.
(1)判断的形状,并说明理由;
(2)求公路的长.
18.如图,某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡,由于受水流的影响,实际沿着航行,上岸地点C与欲到达地点A相距70米,结果发现比河宽多10米.
(1)求该河的宽度;(两岸可近似看作平行)
(2)设实际航行时,速度为每秒5米,从C回到A时,速度为每秒4米,求航行总时间.
19.如图,一架梯子长13米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙5米.
(1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端下滑了5米,那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米?
20.如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,两村庄的距离为a千米,,它们到河CD的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题,乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A,B两村输送水.
(1)在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.(只需作图,不需要证明)
(2)经预算,修建水厂需20万元,铺设水管的所有费用平均每千米为3万元,其他费用需5万元,求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.
21.我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”(史称“赵爽弦图”) .
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为,较短的直角边为,斜边长为,结合图1,试验证勾股定理;
(2)如图2,将四个全等的直角三角形紧密地拼接,形成“勾股风车”,已知外围轮廊(粗线)的周长为24,,求该“勾股风车”图案的面积;
(3)如图3,将八个全等的直角三角形(外围四个和内部四个)紧密地拼接,记图中正方形,正方形,正方形的面积分别为,若,则 .
参考答案
1.解:如图,设大树高为,
小树高为,
过点作于,则是矩形,
连接,
,,,
在中,,
故小鸟至少飞行,
故选C.
2.解:如图:
在中,,,
,
故选:.
3.解:∵一木杆在离地面处折断,木杆顶端落在离木杆底端处,
∴折断的部分长为:,
∴折断前高度为.
故选:C.
4.解:∵,
∴.
在中,,,
∴,
∴隧道凿通需要(天),
∴天才能把隧道凿通.
故选:.
5.解: 由图可知:,
∵米,米,
∴米,
由平移的性质可得:水平的防滑毯的长度(米),铅直的防滑毯的长度(米),
∴至少需防滑毯的长为:(米),
∵防滑毯宽为5米
∴至少需防滑毯的面积为:(平方米).
故选:.
6.解:如图,当筷子的底端在点时,筷子露在外面的长度最长,
∴,
当筷子的底端在点时,筷子露在杯子外面的长度最短,
在中,,,
∴,
此时,
所以取值范围是,
故选:D.
7.解:如图,设折断处离地面的高度为x尺,则,,
在中,,即,故C正确.
故选:C.
8.解:在中,
,
∴,
在中,
,
∴,
故选:D.
9.解:∵一般轮船以16海里/时的速度从港口P出发向东北方向航行,同时轮船B以30海里时的速度从港口P出发向东南方向航行,
∴,海里,海里,
∴海里,
∴故答案为:.
10.解:根据题意得出:蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长,
在中,,.
由勾股定理得:,
答:蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是10.
故答案为:10.
11.解:如图,作N关于的对称点E,连接
在中,,,,
是的平分线,
与关于轴对称,
当时最小,
由
即
解得
故答案为:.
12.解:根据题意可知,
∴.
在中,,,
∴(nmile).
故答案为:25.
13.解:如图,将木块展开,相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长,
长方形的长为米,
长方形的宽为3米,
一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线,
米,
故答案为.
14.解:如图,设米,
∵,米,
∴(米),
∵米,米,
∴(米),
∴(米),
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为(秒),
故答案为:70.
15.解:在中和中,,,
故答案为:40.
16.解:将半圆面展开可得,如图所示:
∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆
∴,
∵, ,
∴,
在中,
.
故答案为:15.
17.(1)解: 是直角三角形,
理由如下:在中,
∵,,,
∴,,
∴,
∴是直角三角形且;
(2)设,则,
在中,
由勾股定理得 ,
即,解得,
答:公路的长为.
18.(1)解:设米,则米,
在中,根据勾股定理得:
,
解得:,
答:河宽240米.
(2)解:(秒),
(秒),
(秒),
答:航行总时间为67.5秒.
19.(1)解:根据勾股定理:所以梯子距离地面的高度为:(米);
答:这个梯子的顶端距地面有12米高;
(2)解:梯子下滑了5米即梯子距离地面的高度为(米),
根据勾股定理:(米),
米
答:当梯子的顶端下滑5米时,梯子的底端在水平方向后移了米.
20.(1)解:如图,作点A关于直线的对称点,连接,交于M点,即M为所求.
(2)解:如图,连接交于H点,过点B作,
由题意可知:,,,
∴,
∴在中,,
∴在中,,
由对称性质可知:,
水管长,
完成这项工程乡政府投入的资金至少为(万元)
21.(1)证明:由图①可知,
∵,
∴,
即.
(2)解:四个全等的直角三角形,外围轮廊(粗线)的周长为24,,设,
∴,即,
∴,
在中,,,,
∴,解方程得,,即,
∴,,
∴,
∴“勾股风车”图案的面积是.
(3)解:设,,
∴,,,
∴,
∴.