2023—2024学年北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用 自主提升训练（含解析）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》
自主提升训练（附答案）
一、单选题
1．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．14米
2．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，则木杆折断之前的高度是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（　　　）
A．天 B．天 C．天 D．天
5．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）

A．65 B．85 C．90 D．150
6．如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）
A．2m B． C． D．
二、填空题
9．一般轮船A以16海里/时的速度从港口P出发向东北方向航行，同时轮船B以30海里时的速度从港口P出发向东南方向航行，2小时后，两船相距 海里．
10．圆柱的底面圆的周长是12，高是8，蚂蚁从下底面的点沿侧面爬到点，最短路径的长是 .
11．如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
12．如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile．
13．在一个长为 米, 宽为 米的长方形草地 上, 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是 米．
14．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
15．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 ．
16．如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为 （取3）．
三、解答题
17．“村村通”是我国的一项重要民生工程，如图，、、三个村都分别修建了一条互通的公路，其中，现要在公路边修建一个景点，（、、在同一直线上），为方便村村民到达景点，又修建了一条公路，测得：，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求公路的长．
18．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米．
(1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
19．如图，一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．

(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
20．如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
21．我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ．
参考答案
1．解：如图，设大树高为，
小树高为，
过点作于，则是矩形，
连接，
，，，
在中，，
故小鸟至少飞行，
故选C．
2．解：如图：

在中，，，
，
故选：．
3．解：∵一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，
∴折断的部分长为：，
∴折断前高度为．
故选：C．
4．解：∵，
∴.
在中，，，
∴，
∴隧道凿通需要（天），
∴天才能把隧道凿通．
故选：．
5．解： 由图可知：，
∵米，米，
∴米，
由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米），
∴至少需防滑毯的长为：（米），
∵防滑毯宽为5米
∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）．
故选：．
6．解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，
∴，
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
∴，
此时，
所以取值范围是，
故选：D．
7．解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则，，
在中，，即，故C正确．
故选：C．
8．解：在中，
，
∴，
在中，
，
∴，
故选：D．
9．解：∵一般轮船以16海里/时的速度从港口P出发向东北方向航行，同时轮船B以30海里时的速度从港口P出发向东南方向航行，
∴，海里，海里，
∴海里，
∴故答案为：．
10．解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
在中，，．
由勾股定理得：，
答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是10．
故答案为：10．
11．解：如图，作N关于的对称点E，连接
在中，，，，
是的平分线，
与关于轴对称，
当时最小，
由
即
解得
故答案为：．
12．解：根据题意可知，
∴．
在中，，，
∴（nmile）．
故答案为：25．
13．解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
长方形的长为米，
长方形的宽为3米，
一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，
米，
故答案为．
14．解：如图，设米，
∵，米，
∴（米），
∵米，米，
∴（米），
∴（米），
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒），
故答案为：70．
15．解：在中和中，，，
故答案为：40．
16．解：将半圆面展开可得，如图所示：
∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆
∴，
∵， ，
∴，
在中，
．
故答案为：15．
17．（1）解： 是直角三角形，
理由如下：在中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形且；
（2）设，则，
在中，
由勾股定理得 ，
即，解得，
答：公路的长为．
18．（1）解：设米，则米，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
答：河宽240米．
（2）解：（秒），
（秒），
（秒），
答：航行总时间为67.5秒．
19．（1）解：根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：（米）；
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）解：梯子下滑了5米即梯子距离地面的高度为（米），
根据勾股定理：（米），
米
答：当梯子的顶端下滑5米时，梯子的底端在水平方向后移了米．
20．（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.
（2）解：如图，连接交于H点，过点B作，
由题意可知：，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
由对称性质可知：，
水管长，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）
21．（1）证明：由图①可知，
∵，
∴，
即．
（2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廊（粗线）的周长为24，，设，
∴，即，
∴，
在中，，，，
∴，解方程得，，即，
∴，，
∴，
∴“勾股风车”图案的面积是．
（3）解：设，，
∴，，，
∴，
∴．