1.1探索勾股定理 自主提升训练 2023—2024学年北师大版数学八年级上册（含解析）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》自主提升训练（附答案）
一、单选题
1．下列各组数不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．2，，3 D．5，12，13
2．如图，，，则四边形的周长为（ ）
A．30 B．32 C．34 D．37
3．如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是( )
A． B． C． D．
4．一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高长（ ）
A． B．3 C．6 D．25
5．如图，在中，将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合， 为折痕，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图是 张直角三角形纸 ，，，，将折叠使点B和点A重合，折痕为，则的长为（ ）
A．9 B．41 C．42 D．44
7．如图，在的网格中，A，都在格点上，以为斜边作，若点也在格点上，这样的能作出（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．三个正整数a，b，c，如果满足，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数_____________．
9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____．
10．直角三角形中一直角边的长为12，另两边长为连续奇数，则直角三角形的周长为_________．
11．如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______．
12．动手操作：如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______．
13．如图，一块形如“”字形的铁皮，每个角都是直角，且，，则______．
14．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．
三、解答题
15．已知中，，，，．
(1)如果，，求c；
(2)如果，，求b．
16．如图，为测量河宽BC，某人选择从点C处横渡，由于受水流的影响，实际上岸地点A与欲到达地点B相距50米，结果发现AC比河宽BC多10米，求该河的宽度BC．（两岸可近似看作平行）
17．如图，在中，，平分交于点，交于点，已知，．
(1)求证：．
(2)求的面积．
18．“献礼二十大，建设新农村”，实施乡村振兴战略是2022年射洪市政府的一项重大举措．如图，射洪到太乙的公路上A、B两点相距，C为牛心村、D为新开发景点3536厂，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个加油站E，使得加油站E到C、D两地的距离相等．
(1)尺规作图确定加油站E的位置．（保留作图痕迹）
(2)加油站E应建在距A多少千米处？并请说明理由．
19．（1）如图①，的斜边比直角边长2cm，另一直角边长为6cm，求的长．
（2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上．
①求的长．
②求的长．
20．请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
(1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
(2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
参考答案
1．解：A、，能构成勾股数，故该选项不合题意；
B、，能构成勾股数，故该选项不合题意；
C、，不是整数，故该选项合题意；
D、，能构成勾股数，故该选项不合题意．
故选：C．
2．解，在直角三角形中，
，
在直角三角形中，
，
四边形的周为：，
故选：B．
3．解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积为．
故选：A．
4．解：如图，
直角三角形两条直角边的长分别为5，12，
，
∵，，
∴，
，
∴其斜边上的高长．
故选：A．
5．解：∵在中，
∴
∵将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合，
∴，
∴
设，则
∴在中，
即，解得
∴
故选：C．
6．解：由折叠性质得，
∵，
∴，
在中，，，由勾股定理得，
∴，解得，
故选：B．
7．解：如图，符合题意的直角三角形有4个，故D正确．
故选：D．
8．解：∵，
∴与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．
故答案为∶6，8，10（答案不唯一）．
9．解：∵△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边．
∵AB=5，
∴．
故答案为：50．
10．解：设另两边长为，依题意．
解得．
∴另两边长分别为与．
∴三角形的周长为．
故答案为：84．
11．解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∵将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，
∴AE=AB=10，BD=ED，
∴CE=AE-AC=10-6=4，
设CD=x，则BD=8-x，
∵∠DCE=90°，
∴CD2+CE2=ED2，
即，
解得x=3，
∴CD=3，
故答案为：3．
12．解：当时，
将沿直线折叠，点A的对应点为F，
，，
，，
，，
，
，
在中，．
，
，
当时，点与点重合时，，
，
，
，
故答案为：或．
13．解：如图所示，延长，交于点，则，
，，
，，，
中，，
故答案为：．
14．解：连接CE，过点C作于点H，如下图，
∵，即，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，
此时．
故答案为：．
15．（1）解：∵中，，，，，
∴，
∵，，
∴，则；
（2）解：∵，，，
∴，则．
16．解：根据题意可知米，米，
设米，由勾股定理得，即，
解得．
答：该河的宽度BC为120米．
17．（1）解： 平分，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，根据，
即，
解得：，
即，
∴，
．
18．解：（1）如图，点E即为所求，
（2）设设，可得，
∵，
∴，
∴，，
即，，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴加油站E应建在距A地千米处．
19．解：（1）设，则，
在中：，即：，
解得：；
∴；
（2）①∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上，
∴，
∴；
②∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上，
∴，
设，则，
在中：，即：，
解得：；
即：．
20．解：（1），证明如下：
将绕A顺时针旋转后成，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴；
故答案为：；
（2）关系式仍然成立．
证明：将沿直线对折，得，连接
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴在中，，
即；
解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）当时，线段能构成一个等腰三角形．
如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取，
可得．
∴．
∴．
若使为等腰三角形，只需，
即，
∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为．