课件23张PPT。 洛阳外国语学校
马娜娜人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修42.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
Physical Background & Meaning of
the Dot Product of Vectors 问题：物理中力（Force）对物体所
做的功（Work）是什么？学习目标(Learning?Objectives )：1.理解平面向量数量积的概念及几何意义；2.掌握向量数量积的性质，会用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角；3.掌握向量数量积的运
算律.记作叫做与数量积(Dot Product)的概念：已知两个非零向量与，我们把数量的数量积(Dot Product)，即
为 与 的夹角 We take the componentof that lies alongside . where the shadow lies . Like shining a light to see 投影（Projection）： 叫做向量 在
方向上的投影. 叫做向量 在
方向上的投影.什么时候为正（Positive），
什么时候为负（Negative）？Task 1Task 2投影与数量积的结果都是数量.投影与数量积与的乘积. 数量积
几何意义数量积的性质（Property）1.当与反向时，3.或4.5.探究：什么情况下取等号？数量积的运算律1.2.3.已知向量和实数，则2.O3. 数量积
性质与运算律1.或，对吗？，对吗？或例2.我们知道，对任意恒有对任意向量是否也有类似的结论？自主探究：例3.已知与的夹角为60°，求解：自主探究： =-72例4.何值时，向量互相垂直？与即即当时，自主探究： 已知且不共线.与为解：已知向量夹角为且则即夹角为45°解得（舍去）合作探究 （Groupwork）：练习（Quiz Yourself）：Part 1课本Who reacts fast?直角三角形练习（Quiz Yourself）：Part 21.向量的夹角为60°，则2.在中，若则的形状为____________=_______课堂小结（summary）：Share your gains!1.数量积的概念，几何意义及物理意义；
2.数量积的性质；
3.数量积的运算律；
4.类比、数形结合的数学思想方法.作业（homework）：课本P 108 T 2、3、6思考题：已知向量与夹角为45°，当向量与夹角为锐角时，求实数的取值范围.Thank you!课件28张PPT。洛阳外国语学校
马娜娜 平面向量数量积的物理背景及其含义洛外“三三式”有效课堂“三三式” 有效课堂背景分析教学目标设计教学媒体设计课堂结构设计教学过程设计教学评价设计课前三问1.为何教？ 本节课的主要学习任务是由物理中的“做功”问题引入数学中的平面向量的数量积，研究数量积的概念、几何意义，在此基础上探究数量积的性质与运算律。学习过程中使学生体会类比、数形结合的数学思想方法，进一步培养学生推理论证和自主学习的能力。课前三问2.教给谁？ 学生已熟知实数的运算体系，理解了向量的概念及其线性运算，具备了“功”等物理知识，具有了一定的英语听、说、读、写的能力。但在理论知识层面，易受向量的线性运算及实数乘法运算的影响，在数量积概念及几何意义的理解上存在困惑，在数量积运算律的理解和推导上存在困难。教学目标：知识与技能
1.理解平面向量数量积的概念及几何意义；掌握平面向量数量积的性质与运算律；
2.会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
3.了解数学专业术语的英语表示。过程与方法
在有效问题的驱动下对概念进行
研究，并通过自主探究与合作交流进
行性质与运算律的学习。情感态度与价值观
加深对数学知识之间联系的认识，体会类比与数形结合的数学思想方法，培养自主学习的能力。课前三问3.怎样教？ 将重点问题放手交给学生，设置问题引导学生思考，促使其主动学习、探究，从中感悟数学思想方法，提高分析、解决问题的能力，难点问题师生合作共同完成。课堂结构探究性质与运算律运用所学解决问题课中三段第一段：教学导入问题1：
物理中力(Force)对物体所做的功(Work)是什么？问题2：
给出图示，如何计算“功”？学习目标(Learning?Objectives )：1.理解平面向量数量积的概念及几何意义；2.掌握向量数量积的性质，会用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角；3.掌握向量数量积的运
算律。课中三段第二段：学习新知集体朗读
平面向量数量积(dot product)定义 We take the componentof that lies alongside . where the shadow lies . Like shining a light to see 课中三段第二段：学习新知问题5：
向量的数量积和投影都是数量，
它们什么时候为正(positive),
什么时候为负(negative),是否
可能为零呢？课中三段第二段：学习新知问题6：
你从表格中还发现了什么？
你发现数量积 与 在 方向
上的投影有什么关系吗？课中三段第二段：学习新知问题7：
利用数量积的定义推导以下问题的答案.1.4.(何时取等号)5.课中三段第二段：学习新知问题8：
数量积是一种运算，那么类比实数乘
法，数量积能满足那些运算律？你能
推导出向量数量积的下列运算律吗？课中三段第二段：学习新知O3.课中三段第二段：学习新知课中三段第二段：学习新知课中三段第三段：归纳总结 课堂练习(exercise)
一、基础练习 P106 T1,2,3课中三段第三段：归纳总结课堂小结(summary)教学评价分析1.与学生平等交流，及时发现问题并引导,
构建和谐的课堂氛围；
2.对于学生的回答，及时作出评价（表扬或
鼓励），让学生不断获得前进的动力，增
强自信心；
3.观察学生的反应，了解双语教学是否调动
学生双思维的积极性；
4.通过作业批改，获得反馈信息，有针对性
地解决存在的问题。课后三思1.思想有高度(high)吗？2.知识丰富(rich)了吗？3.统帅课堂全局(integration)了吗？敬请指导!人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
《2.4.1平面向量数量积的
物理背景及其含义》
教学设计
洛阳外国语学校
马娜娜
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E-mail: lymana@sina.com
2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计
一、教材分析
1.地位与作用
本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
2.学情分析
学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。
二、教学目标
1.知识与技能
⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律；
⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业
术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。
2.过程与方法
本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。
3.情感态度与价值观
通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。
三、教学重难点
重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的垂直关系。
难点：平面向量数量积概念与运算律的理解，平面向量数量积的应用。
四、教学准备
实物投影仪，多媒体课件，数学专业术语词汇表。
五、教学基本流程
六、教学过程（三三式）
（Ⅰ）第一段
提出问题
问题1：物理中力对物体所做的功是什么？
功是力与力的方向上位移的乘积.
问题2：给出图示，如何计算“功”？
【设计意图】由学生所熟悉的“功”开始这节课，以物理问题为背景，使学生初步认识向量的数量积，为引入向量数量积的概念做铺垫。
2.引入新课
既然功的大小只与力的大小，位移的大小及它们的夹角有关，而力与位移都是矢量，在数学中叫做向量，那么我们可以引入一种新的运算，用来替代，这就是平面向量的数量积，从而引入本节课——2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。
3.出示目标
⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
⑵掌握平面向量数量积的性质，会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角；
⑶掌握平面向量数量积的运算律。
【设计意图】学习目标的展示让学生明确本节课的学习任务，从而做到心中有数。
（Ⅱ）第二段
概念明晰
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（inner product/dot product）（或内积），记作，即
问题3：向量的夹角的范围；
问题4：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响向量的数量积大小的因素是什么？
【设计意图】引导学生分析定义中的要点内容，明确数量积这一种新运算与之前所学的向量的线性运算的区别，运算结果是一个数量。
之后利用课件向学生介绍投影（projection）的内容.
在方向上的投影为，在方向上的投影为.
问题5：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正(positive)，什么时候为负(negative)，是否可能为零呢？
学生分为两大组分别完成例1中的任务一与任务二：
例1：计算以及在方向上的投影（为与的夹角）.
0°
30°
90°
120°
180°
投影
数量积
0°
60°
90°
150°
180°
投影
数量积
当时，；当时，；当时，.
问题6：你从表格中还发现了什么？你发现数量积与在方向上的投影有什么关系吗？
数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
物理中“功”的数学本质是力与位移的数量积.
【设计意图】通过例1,一方面让学生练习计算数量积与投影，巩固所学新知；另一方面让学生通过自己的动手动脑总结归纳出问题6的答案，进而教师又提出新的问题，引导学生观察并发现数量积与投影之间的关系，从而得出数量积的几何意义，再联系课前引入得出“功”的数学本质.
探究数量积的性质与运算律
教师通过多媒体出示问题，让学生联系数量积的定义进行自主探究寻找答案，之后由学
生回答，教师点评，并说明这就是数量积的性质。
问题7：① ②当与同向时，=？ 当与反向时，=？
③ 或 ④ ⑤（什么时候取等号？）
问题8：我们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，数量积是一种运算，那么类比实数乘法，数量积能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列运算律吗？
①；②；③.
的证明较为简单，学生可以完成；对于②，若按照数量积的定义展开会出现困难
教师给学生提示，可以结合数量积的定义及向量的数乘运算对和两种情况下分别证明；③的证明有难度，由师生共同完成。
问题9：⑴与相等吗？⑵如果，那么或，对吗？
⑶如果，，那么能得出吗？为什么？
【设计意图】学习过数量积的概念，学生有能力完成性质的探究，因此要发挥学生的主观能动性进行自主学习；对于数量积的运算律，教师先给出它所满足的运算律，由学生小组讨论试着进行证明，学生展示过程中出现的问题及时指出，学生证明有困难时，师生合作共同完成。问题9的设置让学生体会向量的数量积与实数乘法运算的区别，强化对数量积的理解。
3. 运用所学，解决问题
活动一（自主探究）：学生自主学习课本105页，例2、例3、例4
问题10：⑴例2研究后补充两题：①；②.
⑵例3后给出变式题：已知，，，求与的夹角？
【设计意图】使学生体会解题中运算律的作用，学会如何应用数量积解决夹角问题与垂直问题。
活动二（合作探究）：
已知向量夹角为且则_________
解：
即
夹角为45°
解得，（舍去）
【设计意图】小组合作探究题能激发学生钻研探索的欲望，提高学生的合作意识，让学生有更多的机会论及自己的思想，学会如何应用数量积解决向量的模的问题。
（Ⅲ）第三段
课堂练习
基础练习：课本106页 1、2、3题 (1,2题进行口答，3题由学生在黑板上作图)
综合练习：
⑴向量的夹角为60°，则___________ 答案：
⑵在中，若则的形状为___________ 答案：直角三角形
课堂小结
⑴学生谈收获
⑵教师总结：本节课共学习三个内容①平面向量数量积的定义与物理意义、几何意义；②平面向量数量积的性质；③平面向量数量积的运算律。在学习新知的过程中还渗透着数学思想方法的学习，如数形结合，类比等。
布置作业
课本108页 2、3、6题
思考题：已知向量与夹角为45°，当向量与夹角为锐角
时，求实数的取值范围.
【设计意图】课堂练习中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此先让学生练习课后题目，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了使学生所学知识得到拓展，我又安排了两道综合题目，难度适中，供学生练习。课堂作业选用课后习题中的三道题，进而通过作业的批改发现学生还存在的问题，进行针对性解决，再给出一道思考题，供学生课下研究讨论。
板书设计：
教学设计说明
洛阳外国语学校 马娜娜
本课内容的本质、地位、作用分析
本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4，第二章《平面向量》的第4节《平面向量的数量积》的第一课时《平面向量数量积的物理背景及其含义》。数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富，包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。
它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量。数量积为解决有关几何问题提供了方便，可以利用平面向量的数量积求解向量的模及向量的夹角，解决线段的垂直问题。
教学目标分析
《普通高中课程标准（实验）》对本节课确立的目标有三条：
通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
由此可看出，数量积的概念是本节课的重点。为了让学生能够接受并理解重点内容，首先，让学生回忆所熟悉的物理中的做功问题，启发、引导学生将其看做两个向量的运算，从而引入平面向量的数量积的定义。其次，数量积是一种向量间的新的运算，学习它的性质及运算律，不仅能够让学生更加深刻理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。第三，学习一种新的运算，不仅要理解概念，还要运用它解决数学问题。最后，本节课是一节双语课，双语教学是我校的外语特色，体现了教育要面向世界，面向未来的理念，双语教学培养学生的跨文化意识与双思维，有助于学生理解该学科的新理念，接受世界文化的熏陶，使学生的综合素质全方面的提高，成为双语复合型人材。
综上所述，结合“课标”要求和我对本节课的认识，将教学目标确定为：
理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
掌握平面向量数量积的性质与运算律；
会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。
教学问题诊断及解决策略
课堂教学要充分考虑到课堂可能出现的问题，即备课很重要的一点就是"备学生"。本节课是第二章的第4节内容，在此之前学生们已经理解了向量的概念，对向量的加法、减法与向量的数乘运算应该比较熟练，并且熟知物理中的“功”的内容。因此由做功问题引入平面向量的数量积有利于学生接受这一新的概念。
在本节课的学习过程中，我分析学生可能会在以下几方面存在问题或困难：
1.投影的概念部分学生可以明白，但在具体计算投影时会分不清楚用哪个向量的模乘以夹角的余弦值，因此在课件中展示“灯光照射”的图片，便于学生理解记忆；
2.数量积的性质的最后一条⑤（等号什么时候取得？）学生可能会把左边部分读作模，因此我在点评时会突出数量积的结果是一个数量，要读作绝对值，而右边对于向量而言读作模。
3.数量积的运算律是在学生的合作探究活动中完成，①较容易证明；但②，③的证明有难度，我在巡视中会对学生进行引导，让学生联系本节课所学的新知识（数量积的定义与它的几何意义）。活动后由学生讲解完成①②的证明，③由师生共同完成。
4.在例题学习后的合作探究活动中，部分同学会想不出求解的方法，我在巡视过程中可以给学生提示并引导，由学生讲解，然后我点评时会归纳这一类问题的求解方法。
教法特点及预期效果分析
教法特点：数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交流互动与共同发展的过程。本节课我不断设置问题，步步推进教学过程，使学生在有效问题的驱动下进行积极思考、探究，调动了学生的积极性。学生在自主探究与合作探究中动手动脑，获取知识，感悟数学，充分体现学生的主体地位，教师成为课堂活动的组织者、引导者与合作者。
课堂教学中，我制作了课件，合理地利用多媒体，及实物投影仪，提高了教学的效率与质量。
预期效果分析：通过本节课的学习，学生理解了数量积的定义、投影的定义与数量积的几何意义，并掌握数量积的性质与运算律，能够利用数量积求解向量的模与夹角问题，并会利用数量积判断向量或线段的垂直。
同时，本节课是一节双语课，在学生学会数学知识的同时，了解了相关的英语专业词汇，并且在新知学习的过程中使用，学生的英语理解能力得到提高。
《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》说课稿
洛阳外国语学校 马娜娜
说课内容：人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4，第二章第4节《平面向量的数量积》的第1课时——《平面向量数量积的物理背景及其含义》
基于“以学生为主体，促进学生全面发展” 的理念，结合我校的外语特色，本节课运用双语教学，采用我校的“三三式”有效课堂教学模式。
下面我以“课前三问，课中三段，课后三思”为思路，从背景、教学目标、教学媒体、课堂结构、教学过程及教学评价六个方面谈一谈我对本节课的思考与设计。
课前三问——为何教？
平面向量的数量积是继向量的线性运算后的又一种运算，也是高中数学的一个重要概念，它能有效解决长度、夹角、垂直等几何问题，在数学、物理学科中应用广泛。本节内容教材共安排两个课时，第一课时主要研究平面向量数量积的概念，第二课时主要研究平面向量数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是研究平面向量数量积的概念、几何意义，在此基础上探究数量积的性质与运算律。在学习过程中，使学生体会类比，数形结合的数学思想方法，进一步培养学生的推理论证和自主学习的能力。其中，数量积的概念是研究其性质与运算律的基础，而且从它的概念可以看出它与几何、代数、三角都有交汇，因此，数量积的概念是本节课教学的重点。
课前三问——教给谁？
在此之前，学生已熟知实数的运算体系，理解了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，具有了一定的英语听、说、读、写的能力，这为本节课的学习奠定了基础。但在理论知识层面，学生易受向量的线性运算及实数乘法运算的影响，在数量积概念及几何意义的理解上存在困惑，在数量积运算律的理解和推导上存在困难。因此，数量积的概念及运算律的理解是本节课教学的难点。
从以上分析可以看出平面向量数量积的概念是本节课的核心内容，而性质与运算律是数量积概念的延伸，是进行相关计算和判断的理论依据。结合课标要求，我将本节课的教学目标确定为：
知识与技能：
理解平面向量数量积的概念及几何意义，掌握平面向量数量积的性质与运算律；
会用平面向量数量积表示向量的模与夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系；
了解数学专业术语的英语表示。
过程与方法：
在有效问题的驱动下对概念进行研究，并通过自主探究与合作交流进行性质与运算律的学习。
情感态度与价值观：
加深对数学知识之间联系的认识，体会类比与数形结合的数学思想方法，培养自主学习能力。
课前三问——怎样教？
本节课中我将重点问题放手交给学生，设置问题引导学生思考，促使其主动学习、探究，从中感悟数学思想方法，提高分析、解决问题的能力，难点问题师生合作共同完成。
在语言使用上，我的设计是：一般课堂用语及概念学习部分以英语为主，培养学生的中英双思维，而性质与运算律部分，由于专业性较强，以汉语为主，这样不影响学生对数学专业知识的学习。
制作双语词汇表，课中展示在黑板上，利于学生在学习过程中及时了解并使用。
另外，使用多媒体辅助教学，使课堂成为高效课堂，具体设计为：
制作课件，使重点更突出，难点直观化，利于学生理解；
使用实物投影仪，给学生提供展示的平台，增强其自信心。
根据知识发生、发展的过程，结合我校的课堂模式，我将本节课的课堂结构设计为三段：
课中三段
第一段：
设置围绕“功”的两个问题：
问题1：物理中力对物体所做的功是什么？
问题2：给出图示，如何计算“功”？
学生回答后，我直接引入这一记法。由于学生已熟知实数的运算体系，并学习了向量的加法与减法，心中自然会与实数运算比较，产生“向量之间有没有乘法运算”的疑问。当看到这一记法后，学生对新知识有了初步的感受和浅层的理解——“今天要学的是向量的乘法”，从而降低学生对新知识的畏难情绪。之后展示课题，中英文对照，出示学习目标，让学生明确本节课的学习内容与学习任务，做到“心中有数”。
第二段：
第二段是课堂的核心，为了能使学生快速进入学习状态，我设置学生集体朗读定义这一活动，调动学生多种感官的参与，促使其感悟、体会数量积概念。紧接着提出问题：
问题3：向量的夹角的范围；
问题4：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响向量的数量积大小的因素是什么？
设计意图是激发学生思考，使学生在对比中明确向量的数量积运算结果与线性运算的结果发生了本
质的改变。
我再使用英语讲解，引导学生从英语思维出发，关注专业词汇dot product（点乘），使学生牢固记忆向量的数量积记法中的那一个点不能省略，用中英双思维引领学生理解掌握定义中的重点。
对于平面向量的数量积，学生不仅要从数的角度研究，还要从形的角度再进一步认识。首先要知道什么是投影，为了使学生更加直观地感受，我引入一张图片，配合英语解释，这样做不仅锻炼了学生的英语理解能力，易于学生理解投影概念，为数量积几何意义的得出做好铺垫。
然后我提出问题：
问题5：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正(positive)，什么时候为负(negative)，是
否可能为零呢？
将课本中例1设计为概念检测活动，让学生分组完成任务一与二，再选取若干列学生逐个回答：
例1. 计算以及在方向上的投影（为与的夹角）.
0°
30°
90°
120°
180°
投影
数量积
0°
60°
90°
150°
180°
投影
数量积
学生广泛参与活动，通过观察、分析得出问题5的答案，我从活动中获取学生对概念理解程度的反
馈信息，及时调整教学。之后提出问题;
问题6：你从表格中还发现了什么？你发现数量积与在方向上的投影有什么关系吗？
设计意图为通过此题，使学生在教师的引导下，主动思考感知数量积的几何意义，培养学生的观察、
分析、概括的能力，体会探究的乐趣，增强数学学习的兴趣。
平面向量数量积的性质与运算律的探究部分，我设计两个学生活动。提出问题：
问题7：① ②当与同向时，=？ 当与反向时，=？
③ 或 ④ ⑤（什么时候取等号？）
我将数量积性质以填空形式给出，并增加两个问题，学生进行自主探究。设计意图为以此培养学生自我获取知识，自我探索真理的能力，更好地完成数量积性质的学习，进一步理解数量积的概念。
之后设计小组合作交流活动进行数量积的运算律的探究。
问题8：我们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，数量积是一种运算，那么类比实数乘法，数
量积能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列运算律吗？
①；②；③.
运算律①与②的证明由小组讨论完成，其中运算律②的推导中，学生容易忽略对的讨论，我在巡视中进行引导。由于运算律③的证明对学生来说是比较困难的，因此借助多媒体，与学生共同完成证明过程。
此时学生虽然通过类比实数乘法完成了数量积运算律的学习，但由于实数乘法及运算律在学生们的头脑中根深蒂固，我紧接着设置疑问：
问题9：⑴，为什么？⑵如果，那么我们可以得到什么结论？
⑶如果，，那么能得出吗？为什么？我们可以得出什么结论？
设计意图为让学生通过对问题的思考、研究、解答，明确数量积运算律与实数乘法运算律的异同，实现进一步深化对数量积概念及运算律的理解。
对于例题，我设计为两部分：首先让学生自主学习课本中的例2、例3、例4。
问题10：⑴例2研究后补充两题：①；②.
⑵例3后给出变式题：已知，，，求与的夹角？
在例2后追加两题，对例3进行变式训练，例4让学生谈方法，通过以上活动使学生体会解题中运算律的作用，学会如何应用数量积解决夹角问题与垂直问题。
然后设计合作探究题目，展开小组活动，让学生有更多的机会论及自己的思想，之后由学生讲解，我做点评。
合作探究：已知向量夹角为且则_________
第三段：
课堂练习分为两部分：一是基础练习，二是综合练习。
基础练习：课本106页 1、2、3题
综合练习：⑴向量的夹角为60°，则___________
⑵在中，若则的形状为___________
设计意图为检测学生对于本节课知识点的掌握程度，进一步感受数量积的应用价值。
之后由学生从知识与思想方法两方面谈一谈对本节课的认识与感想，促使其将知识形成体系，学会求知，学会学习。
作业题目选取课本习题中的3道题：课本108页 2、3、6题，让学生继续加深对数量积的概念、性质、运算律的理解，并应用其解决问题。
思考题：已知向量与夹角为45°，当向量与夹角为锐角时，求实数的取值范围.
设计意图为供学生在课下研究讨论，培养学生的钻研精神。
教学评价设计
课堂是学生思考、探究，获取新知的主阵地，及时有效的教学评价能使学生对所学知识进行落实，从而形成能力，对课堂教学发挥着积极地推动作用，也利于促进学生各方面的发展。我对本节课的教学评价设计为：
与学生平等交流，及时发现问题并引导，构建和谐的课堂氛围；
对于学生的回答及时作出评价（表扬或鼓励），让学生不断获得前进的动力，增强自信心；
观察学生的反应，了解双语教学是否调动学生中英双思维的积极性；
通过作业批改，获得反馈信息，有针对性地解决存在的问题。
课后三思
教学反思是教师提高与自我完善的必要环节，本节课后我将从思想的高度，知识的丰富程度及教育
的技巧三方面对本节课进行反思，总结成功与不足，使自己不断进步。
以上就是我说课的内容，敬请各位专家、评委批评指正，谢谢！
