初中数学华师大版九年级下学期 第26章 26.2 二次函数的图象与性质
一、单选题
1．（2021九上·嘉兴期末）二次函数y = ax2-2x-3（a<0）的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2020九上·杭州月考）已知 时，二次函数 的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析 的值等于（ ）.
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．（2020九上·交城期中）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为（-1，0），与 轴交点为（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
① ；②当 时， 随 的增大而减小；③当 时， ；④关于 的方程 有两个相等的实数根
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②④
4．（2021九上·和平期末）将抛物线（ ）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为 .
A． B．
C． D．
5．（2021九上·皇姑期末）已知函数 ，则（ ）
A．当 时，y随x的增大而增大
B．当 时，y随x的增大而减小
C．当 时，y随x的增大而增大
D．当 时，y随x的增大而减小
6．（2021九上·沈阳期末）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象和y轴交点的纵坐标为-3
C． 时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线
7．（2020九上·芜湖月考）把抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝－a（x－1）2+4a，若(m－1)a+b+c≤0，则m的最大值是（ ）.
A．6 B．2 C．0 D．－4
8．（2020九上·通榆月考）如图，a<0，b>0，c<0，那么二次函数y=ax2+bx+c的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020九上·嘉祥月考）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc <0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0； ④a-b≥m(am+b) (m为实数)：⑤4ac-b2<0。
其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020九上·江城月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y= 与正比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·嘉兴期末）已知点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，则y1 y2 .（填“>"、“<"或“=”）
12．（2021九上·汝阳期末）在平面直角坐标系内抛物线y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 .
13．（2020九上·江城月考）已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”如图分别是当a=-1，a=0，a=1， a=2时二次函数的图象。它们的顶点在一条直线上， 这条直线的解析式是 。
14．（2020九上·滨海期中）如图，平行四边形ABCD中， ，点 的坐标是 ，以点 为顶点的抛物线经过 轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
三、综合题
15．（2020九上·余杭期中）若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3 4
y 0 3 4 3 0 -5
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当x=﹣2时，y的值.
16．（2021九上·嘉兴期末）已知抛物线 y = x2
+bx + c 经过点（-1， 0）， （3， 0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
17．（2020九上·甘州月考）已知抛物线y＝a（x+4）2经过点M（﹣3，2），请解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式，并说明此抛物线是由哪条抛物线经过平移得到的；
（2）求抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴；
（3）写出y随x的变化规律；
（4）求出函数的最大值或最小值.
18．（2020九上·柯桥月考）已知二次函数图象的对称轴为y轴，且经过点（1，5）和（﹣ ， ）.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若将该二次函数先向下平移4个单位，再沿x轴翻折后与x轴交于A，B两点，设顶点为P，求△AOP的面积.
19．（2020九上·杭州月考）已知二次函数 .
（1）求该二次函数图象的对称轴.
（2）当 时，若该二次函数图象的最高点为P，最低点为Q，点P的纵坐标为10，求点P与点Q的坐标.
（3）对于该二次函数图象上的两点 ， ，设 ，当 时，均有 ，请结合图象求出t的取值范围.
20．（2020九上·通榆月考）如图，二次函数y=ax2+bx的图像经过点A(2，4)与B(6，0)。
（1）求a，b的值；
（2）若点C是该二次函数的最高点，求△OBC的面积。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＜0，b=-2＜0
∴抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∵c=-3＜0
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴抛物线经过第二，三，四象限，不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用a，b同号，根据左同右异，可得到抛物线的对称轴在y轴的左侧且开口向下，再根据c＜0可得到抛物线与y轴的交点在x轴的下方，由此可得答案。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】第一个和第二个图象的对称轴都是y轴，则b=0，因而不是二次函数y=ax2+bx+a2-4的图象；
第三个图象，开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的右侧，则b＜0，函数经过原点，则a2-4=0，则a=2，满足条件；
第四个图象，开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，则b＞0，不满足条件.
故答案为：D.
【分析】（1）（2）根据已知条件b＜0可知，抛物线的对称轴不可能是y轴，所以可知选项A、B不符合题意；
（3）由图可知，a＞0，对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b＜0，符合题意，而抛物线与y轴相交于原点，于是可得a2-4=0，解方程并结合题意即可求解；
（4）由图可知，a＜0，对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b＞0，不符合题意.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当x=-1时，代入得 ，故①符合题意；
根据图象可得：当x＞1时， 随 的增大而减小，故②符合题意；
x=-1关于对称轴对称的点是x=3，当y＜0时，图象在x轴下方，则x＞3或x＜-1，故③不符合题意；
∵ ，∴ ，当y=3时，直线与图象有2个交点，故方程有2个不相等的实数根，故④不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质结合二次函数的图象即可得出结果．
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由题意得：将抛物线 先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后即可得到平移前的抛物线，
∴平移前的函数解析式为： ，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】函数 ，对称轴为直线x＝﹣1，开口方向上，
故当x＜﹣1时，y随x的增大而减小.
故答案为：D
【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、 ，
，
图象的开口向上，故本选项错误；
B、 ，
即图象和y轴的交点的纵坐标为-1，故本选项错误；
C、 对称轴是直线 ，开口向上，
当 时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
C、图象的对称轴是直线 ，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据a=2得出图形开口向上，化成一般式，根据c的值，即可判断图象和y轴的交点坐标，根据对称轴即可判断选项C、D.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】 ∵把抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝－a（x－1）2+4a，
∴原二次函数的顶点为（1，-4a），
∴原二次函数为y＝a（x－1）2-4a，
∴b=-2a，c=-3a，
∵(m-1)a+b+c≤0，
∴(m-1)a-2a-3a≤0，
∵a＞0，∴m-1-2-3≤0，
解得m≤6，
∴m的最大值为6.
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征得出原二次函数的顶点为（1，-4a），从而得出原二次函数为y＝a（x－1）2-4a，从而得出b=-2a，c=-3a，然后将其代入(m-1)a+b+c≤0，即可求出m≤6，从而得出结论.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0
∴二次函数的图象开口向下
∵c＜0
∴二次函数图象与y轴交点在负半轴
∵a＜0，b＞0
∴x=-＞0
二次函数的对称轴，在y轴的右侧
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的a，b和c的值，由函数的开口方向，对称轴位置以及与y轴的交点，判断得到答案即可。
9．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线可知，a＞0，c＜0
对称轴x=-＜0
∴b＞0
∴abc＜0，即①正确；
②根据对称轴可得，-=-1
∴b=2a
∵x=1时，y=a+b+c=0
∴c+3a=0
∴c+2a=-3a+2a=-a＜0，即②正确；
③（1，0）关于x=-1的对称点为（-3，0）
∴x=-3时，y=9a-3b+c=0，即③正确
④当x=-1时，y的最小值为a-b+c
∴x=m时，y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≥a-b+c
即a-b≤m（am+b），即④错误；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点
∴△＞0
∴b2-4ac＞0
∴4ac-b2＜0，即⑤正确
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数的图象可得，a＜0，c＞0
∴反比例函数y=分布在第二、四象限，正比例函数y=cx经过第一、三象限
故答案为：C.
【分析】根据题意，由抛物线的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置，即可得到a，b，c的取值范围，判断得到答案即可。
11．【答案】=
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y= x2-4x + 4
对称轴为直线x=2
∵ 点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，
∴点P和点Q关于直线x=2对称，
∴y1=y2.
故答案为：=.
【分析】利用函数解析式求出抛物线的对称轴，再根据x1 + x2 = 4，可得到点P和点Q关于直线x=2对称，由此可得到y1和y2的大小关系。
12．【答案】y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的图象在坐标平面内向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为y＝（x﹣1+3）2+2+5，即y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11.
故答案为：y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11（两种形式都可以）.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
13．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为（2a，a-1）
设x=2a①，y=a-1②
①-②×2得，x-2y=2
∴y=x-1
【分析】根据抛物线的顶点式，写出顶点坐标，利用x和y代表顶点的横坐标和纵坐标，消去a，得到x和y的关系式即可。
14．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为 ，B点坐标为
设函数解析式为 ，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为 ，即
故答案为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为 ，进而得到A点坐标为 ，B点坐标为 ，利用待定系数法即可求得函数解析式．
15．【答案】（1）解：把（﹣1，0）、（0，3）、（1，4）代入 ，得
，解得： ，
∴这个二次函数的解析式是 ；
（2）解：把x=﹣2代入 ，得 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）从表格中选取三对数值，然后根据待定系数法求解即可；
（2）把x=﹣2代入（1）题中的解析式计算即可.
16．【答案】（1）解：由题意得
解之：
∴此函数解析式为：y=x2-2x-3
∴抛物线的对称轴为直线x=.
（2）解：∵a=1＞0
∴当x≤1时y随x的最大而减小.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将已知两点坐标代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，即可得到函数解析式，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴。
（2）利用a的值，可知抛物线的开口向上，由此可求出y随x的最大而减小时自变量x的取值范围。
17．【答案】（1）解：∵抛物线y＝a（x+4）2经过点M（﹣3，2），
∴a（﹣3+4）2＝2，解得a＝2，
∴抛物线解析式为y＝2（x+4）2，
是由抛物线y＝2x2向左平移4个单位得到；
（2）解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣4；
（3）解：x＜﹣4时，y随x的增大而减小，
x＞﹣4时，y随x的增大而增大；
（4）解： 抛物线的顶点坐标为 ，
当 时，函数有最小值0.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）把 代入函数解析式，求解a的值，再根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得到答案；
（2）由a的符号可确定抛物线的开口方向，再根据顶点式直接得到抛物线的顶点坐标，对称轴方程；（3）由抛物线的开口方向及对称轴方程，确定抛物线的增减性，从而可得答案；
（4）由抛物线的开口方向及顶点的纵坐标，可得函数的最值，从而可得答案.
18．【答案】（1）解：设函数的解析式为y＝ax2+c，
将（1，5）和（﹣ ， ）分别代入函数解析式，得 .
解得 ，
故此二次函数的解析式y＝3x2+2；
（2）解：二次函数先向下平移4个单位得到：y＝3x2﹣2；
然后沿x轴翻折后解析式为：y＝﹣3x2+2.
此时P（0，2），A（ ，0），B（﹣ ，0），
所以S△AOP＝ × ×2＝ .
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用二次函数图象的对称轴为y轴，由此函数的解析式为y＝ax2+c，再将已知两点的坐标代入函数解析式，建立关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，即可得到函数解析式。
（2）利用二次函数的平移规律，先求出平移后的函数解析式，再求出沿x轴翻折后解析式，由y=0建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标，由x=0求出点P的坐标；然后利用三角形的面积公式可求解。
19．【答案】（1）解：
∴该二次函数对称抽为 ；
（2）解：由 配方得：
∵
当 时
时，y取最小值， 时，y取最大值，即P点坐标为 ，
将 ， 代入
得：
∴
∴二次函数为
将 代入
∴
即Q点坐标为 ；
当 时
时，取最小值， 时，y取最大值，
即P点坐标为
将 ， 代入
得：
∴
∴二次函数为
将 代入
得
∴ 点坐标为 ，
∴ 时，所求坐标分别为 ，
时，所求坐标分别为 ， ；
（3）解：∵ ， 时，均满足
∴抛物线开口向下
点B关于二次函数 对称轴 的对称点为
∴
当 时，满足
∴ .
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=可求解；
（2）将已知的二次函数的解析式根据y=a(x+)2+配成顶点式，再结合已知条件根据抛物线的开口方向可分两种情况讨论：①当m＞0时，根据已知的x的范围可求解；②当m＜0时，根据已知的x的范围可求解；
（3） 当t≤x1≤t＋1，x2≥3时，均满足y1≥y2，可知抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，可得t＋1≤3，由此即可求解.
20．【答案】（1）解：将点A(2， 4)与B(6，0)代入y=ax2+bx，
得 ，解得
（2）解：由(1)知，y= x2+3x
= (x-3)2+
∴点C的坐标为（3， ）
∴S△OBC=
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求出a和b的值，即可得到答案；
（2）根据题意，确定顶点的坐标，即可得到△OBC的面积。
1 / 1初中数学华师大版九年级下学期 第26章 26.2 二次函数的图象与性质
一、单选题
1．（2021九上·嘉兴期末）二次函数y = ax2-2x-3（a<0）的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＜0，b=-2＜0
∴抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∵c=-3＜0
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴抛物线经过第二，三，四象限，不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用a，b同号，根据左同右异，可得到抛物线的对称轴在y轴的左侧且开口向下，再根据c＜0可得到抛物线与y轴的交点在x轴的下方，由此可得答案。
2．（2020九上·杭州月考）已知 时，二次函数 的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析 的值等于（ ）.
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】第一个和第二个图象的对称轴都是y轴，则b=0，因而不是二次函数y=ax2+bx+a2-4的图象；
第三个图象，开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的右侧，则b＜0，函数经过原点，则a2-4=0，则a=2，满足条件；
第四个图象，开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，则b＞0，不满足条件.
故答案为：D.
【分析】（1）（2）根据已知条件b＜0可知，抛物线的对称轴不可能是y轴，所以可知选项A、B不符合题意；
（3）由图可知，a＞0，对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b＜0，符合题意，而抛物线与y轴相交于原点，于是可得a2-4=0，解方程并结合题意即可求解；
（4）由图可知，a＜0，对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b＞0，不符合题意.
3．（2020九上·交城期中）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为（-1，0），与 轴交点为（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
① ；②当 时， 随 的增大而减小；③当 时， ；④关于 的方程 有两个相等的实数根
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当x=-1时，代入得 ，故①符合题意；
根据图象可得：当x＞1时， 随 的增大而减小，故②符合题意；
x=-1关于对称轴对称的点是x=3，当y＜0时，图象在x轴下方，则x＞3或x＜-1，故③不符合题意；
∵ ，∴ ，当y=3时，直线与图象有2个交点，故方程有2个不相等的实数根，故④不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质结合二次函数的图象即可得出结果．
4．（2021九上·和平期末）将抛物线（ ）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为 .
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由题意得：将抛物线 先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后即可得到平移前的抛物线，
∴平移前的函数解析式为： ，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解.
5．（2021九上·皇姑期末）已知函数 ，则（ ）
A．当 时，y随x的增大而增大
B．当 时，y随x的增大而减小
C．当 时，y随x的增大而增大
D．当 时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】函数 ，对称轴为直线x＝﹣1，开口方向上，
故当x＜﹣1时，y随x的增大而减小.
故答案为：D
【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案.
6．（2021九上·沈阳期末）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象和y轴交点的纵坐标为-3
C． 时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、 ，
，
图象的开口向上，故本选项错误；
B、 ，
即图象和y轴的交点的纵坐标为-1，故本选项错误；
C、 对称轴是直线 ，开口向上，
当 时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
C、图象的对称轴是直线 ，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据a=2得出图形开口向上，化成一般式，根据c的值，即可判断图象和y轴的交点坐标，根据对称轴即可判断选项C、D.
7．（2020九上·芜湖月考）把抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝－a（x－1）2+4a，若(m－1)a+b+c≤0，则m的最大值是（ ）.
A．6 B．2 C．0 D．－4
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】 ∵把抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝－a（x－1）2+4a，
∴原二次函数的顶点为（1，-4a），
∴原二次函数为y＝a（x－1）2-4a，
∴b=-2a，c=-3a，
∵(m-1)a+b+c≤0，
∴(m-1)a-2a-3a≤0，
∵a＞0，∴m-1-2-3≤0，
解得m≤6，
∴m的最大值为6.
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征得出原二次函数的顶点为（1，-4a），从而得出原二次函数为y＝a（x－1）2-4a，从而得出b=-2a，c=-3a，然后将其代入(m-1)a+b+c≤0，即可求出m≤6，从而得出结论.
8．（2020九上·通榆月考）如图，a<0，b>0，c<0，那么二次函数y=ax2+bx+c的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0
∴二次函数的图象开口向下
∵c＜0
∴二次函数图象与y轴交点在负半轴
∵a＜0，b＞0
∴x=-＞0
二次函数的对称轴，在y轴的右侧
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的a，b和c的值，由函数的开口方向，对称轴位置以及与y轴的交点，判断得到答案即可。
9．（2020九上·嘉祥月考）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc <0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0； ④a-b≥m(am+b) (m为实数)：⑤4ac-b2<0。
其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线可知，a＞0，c＜0
对称轴x=-＜0
∴b＞0
∴abc＜0，即①正确；
②根据对称轴可得，-=-1
∴b=2a
∵x=1时，y=a+b+c=0
∴c+3a=0
∴c+2a=-3a+2a=-a＜0，即②正确；
③（1，0）关于x=-1的对称点为（-3，0）
∴x=-3时，y=9a-3b+c=0，即③正确
④当x=-1时，y的最小值为a-b+c
∴x=m时，y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≥a-b+c
即a-b≤m（am+b），即④错误；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点
∴△＞0
∴b2-4ac＞0
∴4ac-b2＜0，即⑤正确
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可。
10．（2020九上·江城月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y= 与正比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数的图象可得，a＜0，c＞0
∴反比例函数y=分布在第二、四象限，正比例函数y=cx经过第一、三象限
故答案为：C.
【分析】根据题意，由抛物线的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置，即可得到a，b，c的取值范围，判断得到答案即可。
二、填空题
11．（2021九上·嘉兴期末）已知点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，则y1 y2 .（填“>"、“<"或“=”）
【答案】=
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y= x2-4x + 4
对称轴为直线x=2
∵ 点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，
∴点P和点Q关于直线x=2对称，
∴y1=y2.
故答案为：=.
【分析】利用函数解析式求出抛物线的对称轴，再根据x1 + x2 = 4，可得到点P和点Q关于直线x=2对称，由此可得到y1和y2的大小关系。
12．（2021九上·汝阳期末）在平面直角坐标系内抛物线y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 .
【答案】y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的图象在坐标平面内向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为y＝（x﹣1+3）2+2+5，即y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11.
故答案为：y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11（两种形式都可以）.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
13．（2020九上·江城月考）已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”如图分别是当a=-1，a=0，a=1， a=2时二次函数的图象。它们的顶点在一条直线上， 这条直线的解析式是 。
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为（2a，a-1）
设x=2a①，y=a-1②
①-②×2得，x-2y=2
∴y=x-1
【分析】根据抛物线的顶点式，写出顶点坐标，利用x和y代表顶点的横坐标和纵坐标，消去a，得到x和y的关系式即可。
14．（2020九上·滨海期中）如图，平行四边形ABCD中， ，点 的坐标是 ，以点 为顶点的抛物线经过 轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为 ，B点坐标为
设函数解析式为 ，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为 ，即
故答案为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为 ，进而得到A点坐标为 ，B点坐标为 ，利用待定系数法即可求得函数解析式．
三、综合题
15．（2020九上·余杭期中）若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3 4
y 0 3 4 3 0 -5
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当x=﹣2时，y的值.
【答案】（1）解：把（﹣1，0）、（0，3）、（1，4）代入 ，得
，解得： ，
∴这个二次函数的解析式是 ；
（2）解：把x=﹣2代入 ，得 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）从表格中选取三对数值，然后根据待定系数法求解即可；
（2）把x=﹣2代入（1）题中的解析式计算即可.
16．（2021九上·嘉兴期末）已知抛物线 y = x2
+bx + c 经过点（-1， 0）， （3， 0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：由题意得
解之：
∴此函数解析式为：y=x2-2x-3
∴抛物线的对称轴为直线x=.
（2）解：∵a=1＞0
∴当x≤1时y随x的最大而减小.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将已知两点坐标代入函数解析式，建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，即可得到函数解析式，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴。
（2）利用a的值，可知抛物线的开口向上，由此可求出y随x的最大而减小时自变量x的取值范围。
17．（2020九上·甘州月考）已知抛物线y＝a（x+4）2经过点M（﹣3，2），请解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式，并说明此抛物线是由哪条抛物线经过平移得到的；
（2）求抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴；
（3）写出y随x的变化规律；
（4）求出函数的最大值或最小值.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝a（x+4）2经过点M（﹣3，2），
∴a（﹣3+4）2＝2，解得a＝2，
∴抛物线解析式为y＝2（x+4）2，
是由抛物线y＝2x2向左平移4个单位得到；
（2）解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣4；
（3）解：x＜﹣4时，y随x的增大而减小，
x＞﹣4时，y随x的增大而增大；
（4）解： 抛物线的顶点坐标为 ，
当 时，函数有最小值0.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）把 代入函数解析式，求解a的值，再根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得到答案；
（2）由a的符号可确定抛物线的开口方向，再根据顶点式直接得到抛物线的顶点坐标，对称轴方程；（3）由抛物线的开口方向及对称轴方程，确定抛物线的增减性，从而可得答案；
（4）由抛物线的开口方向及顶点的纵坐标，可得函数的最值，从而可得答案.
18．（2020九上·柯桥月考）已知二次函数图象的对称轴为y轴，且经过点（1，5）和（﹣ ， ）.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若将该二次函数先向下平移4个单位，再沿x轴翻折后与x轴交于A，B两点，设顶点为P，求△AOP的面积.
【答案】（1）解：设函数的解析式为y＝ax2+c，
将（1，5）和（﹣ ， ）分别代入函数解析式，得 .
解得 ，
故此二次函数的解析式y＝3x2+2；
（2）解：二次函数先向下平移4个单位得到：y＝3x2﹣2；
然后沿x轴翻折后解析式为：y＝﹣3x2+2.
此时P（0，2），A（ ，0），B（﹣ ，0），
所以S△AOP＝ × ×2＝ .
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用二次函数图象的对称轴为y轴，由此函数的解析式为y＝ax2+c，再将已知两点的坐标代入函数解析式，建立关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，即可得到函数解析式。
（2）利用二次函数的平移规律，先求出平移后的函数解析式，再求出沿x轴翻折后解析式，由y=0建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标，由x=0求出点P的坐标；然后利用三角形的面积公式可求解。
19．（2020九上·杭州月考）已知二次函数 .
（1）求该二次函数图象的对称轴.
（2）当 时，若该二次函数图象的最高点为P，最低点为Q，点P的纵坐标为10，求点P与点Q的坐标.
（3）对于该二次函数图象上的两点 ， ，设 ，当 时，均有 ，请结合图象求出t的取值范围.
【答案】（1）解：
∴该二次函数对称抽为 ；
（2）解：由 配方得：
∵
当 时
时，y取最小值， 时，y取最大值，即P点坐标为 ，
将 ， 代入
得：
∴
∴二次函数为
将 代入
∴
即Q点坐标为 ；
当 时
时，取最小值， 时，y取最大值，
即P点坐标为
将 ， 代入
得：
∴
∴二次函数为
将 代入
得
∴ 点坐标为 ，
∴ 时，所求坐标分别为 ，
时，所求坐标分别为 ， ；
（3）解：∵ ， 时，均满足
∴抛物线开口向下
点B关于二次函数 对称轴 的对称点为
∴
当 时，满足
∴ .
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=可求解；
（2）将已知的二次函数的解析式根据y=a(x+)2+配成顶点式，再结合已知条件根据抛物线的开口方向可分两种情况讨论：①当m＞0时，根据已知的x的范围可求解；②当m＜0时，根据已知的x的范围可求解；
（3） 当t≤x1≤t＋1，x2≥3时，均满足y1≥y2，可知抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，可得t＋1≤3，由此即可求解.
20．（2020九上·通榆月考）如图，二次函数y=ax2+bx的图像经过点A(2，4)与B(6，0)。
（1）求a，b的值；
（2）若点C是该二次函数的最高点，求△OBC的面积。
【答案】（1）解：将点A(2， 4)与B(6，0)代入y=ax2+bx，
得 ，解得
（2）解：由(1)知，y= x2+3x
= (x-3)2+
∴点C的坐标为（3， ）
∴S△OBC=
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求出a和b的值，即可得到答案；
（2）根据题意，确定顶点的坐标，即可得到△OBC的面积。
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