人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·莲湖期末）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，AC，
∵点B的坐标为（2，5），
∴BO=.
∵矩形OABC，
∴.
故答案为：C.
【分析】由点B的坐标，利用勾股定理求出BO的长，再利用矩形的对角线相等，可得到AC的长.
2．（2021九上·和平期末）如图，在矩形 中，两条对角线 与 相交于点 ， ， ，则 的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，
∴BD=2OA=4，
在Rt△ABD中，AD= ,
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，在直角三角形ABD中，用勾股定理计算即可求解.
3．（2020八上·福田期末）如图 ，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在直角三角形中，根据勾股定理可得，阴影部分长方形的长为=5
∴长方形的面积=1×5=5
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出矩形的长，继而由矩形的面积求出答案即可。
4．（2020九上·福田期中）如图，矩形 中，对角线 ， 交于O点.若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC，
∵∠AOB=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AC=8，
∴AB= ，
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质及三角形内角和定理可得OA=OB=OC，∠ACB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得∴AB= ，据此即可求出结论.
5．（2020九上·静安月考）在 ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO
C．AO⊥BO D．∠OBC＝∠OBA
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加AO＝BO，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD为矩形，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，判断四边形为矩形即可。
6．（2021九上·法库期末）如图所示，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且 ，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A． B．AC，BD互相平分
C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分，
理由如下： 、BD互相平分，
四边形ABCD是平行四边形，
，
ABCD是矩形，
其它三个条件再加上 均不能判定四边形ABCD是矩形.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了矩形的判定方法，理解平行四边形与矩形的联系与区别并熟练掌握矩形的判定是解题的关键.
7．（2020九上·深圳期中） ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（ ）
A．AB⊥BC B．AC=BD C．∠A=∠B D．BC= CD
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB⊥BC，
∴平行四边形ABCD为矩形，A正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，B正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠A+∠B=180°
∵∠A=∠B
∴∠A=∠B=90°
∴平行四边形ABCD为矩形，C正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，BC=CD，
∴平行四边形ABCD为菱形，D错误。
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理，计算得到答案即可。
8．（2020九上·牡丹期中）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC (不与A，C重合)上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB=6，BC=8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
【答案】C
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PM⊥AB ， PN⊥BC ，
∴∠PMB=∠PNB=∠ABC=90°，
∴四边形PMBN是矩形，
∴MN=BP，
∴当BP⊥AC时，BP的值最小，即MN的值最小，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵AB·BC=AC·BP，
∴×6×8=×10×BP，
∴BP=4.8，
∴MN的最小值是4.8.
故答案为：4.8.
【分析】根据题意得出四边形PMBN是矩形，得出MN=BP，求MN的最小值即求BP的最小值，得出当BP⊥AC时，BP的值最小，利用等积法求出BP的长，即可求出MN的最小值.
9．（2020八上·厦门期中）如图，已知点P为长方形 内一点（不含边界），设 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵ABCD是长方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAP＝90°﹣θ1，∠DCP＝90°﹣θ3，
在△ABP中，∵90°﹣θ1+θ2+80°＝180°，∴θ2﹣θ1＝10°①，
在△DCP中，∵90°﹣θ3+θ4+50°＝180°，∴θ4﹣θ3＝40°②，
由②﹣①可得：（θ4﹣θ3）﹣（θ2﹣θ1）＝30°，
即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°．
故答案为：A．
【分析】依据矩形的性质和角的和差可得∠BAP＝90°﹣θ1，∠DCP＝90°﹣θ3，在△ABP和△DCP中，根据三角形内角和定理可得θ2﹣θ1＝10°，θ4﹣θ3＝40°，两式相减即可得到答案．
10．（2020九上·宝鸡期中）如图，点P是 中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB=6；BC=8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
【答案】C
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BP
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠PMB=∠ABC=∠PNB=90°
∴四边形MBNP为矩形
∴BP必过MN的中点O，且BO=
∴当BP⊥AC时，BP最小，即BO最小
根据勾股定理AC=
即当BP⊥AC时， = AB·BC= AC·BP
即 ×6×8= ×10BP
解得：BP=4.8
∴BO最小为 =2.4
故答案为：C.
【分析】连接BP，根据矩形的判定可知四边形MBNP为矩形，从而得出BP必过MN的中点O，且BO= ，根据垂线段最短可得当BP⊥AC时，BP最小，即BO最小，利用勾股定理求出AC，然后利用三角形的面积公式求出BP，从而求出结论.
二、填空题
11．（2020八上·陕西月考）杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）.
【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵22+1.52=6.25 2.152，
即：AD2+DC2 AC2，
∴∠D 90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.
12．（2020九上·顺德月考）如下图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积 与矩形QCNK的面积 的大小关系是 （填“＞”或“＜”或“=”）.
【答案】=
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PQ∥AB，MN∥AD，
∴四边形AMDN、PQCD、AMKP、QCNK、MBQK均是矩形，
∴S△MKB=S△BKQ，S△PDK=S△NDK，S△ADB=S△CDB，
∴S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK
∴S1=S2．
故答案为：=．
【分析】 根据已知可知图中所有的四边形都是矩形，利用矩形的对角线将矩形分成面积相等的两部分，由S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK，即可得出结论．
13．（2020九上·子洲期中）如图，矩形 中， ， ，点P是 边上动点，则 的最小值为 .
【答案】3
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO ，BO=DO= ，AC=BD，∠ADC=90°，
∴OD=OC，
∵∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADB=30°，
由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，
此时 .
故答案为：3.
【分析】根据矩形的性质可推出OD=OC，由∠BOC=120°可得∠DOC=60°，进而可得△DOC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和角的和差可得∠ADB=30°，由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，再根据30°角的直角三角形的性质即可求得答案.
14．（2020九上·晋州期中）如图，矩形 的对角线 与 交于点 ，过点 作 的垂线分别交 于 两点．若 ，则 的长度为 ， 等于 ．
【答案】1；
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，
∴∠DEO=60°，∠EDO=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°-30°=30°，
∴OF=CF，
又∵Rt△BOF中，BO= BD= AC= ，
∴OF=tan30°×BO=1，
∴CF=1，
过H点O作OH⊥BC于点H，
则OH= ，
∴
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AO=CO
∴∠EAO=∠FCO
又∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴
故答案为：1， ．
【分析】利用30度角的直角三角形求CF；再利用三角形的面积计算公式求三角形的面积即可。
三、解答题
15．（2020九上·榆林月考）如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F连接CE，EF，CF，得到 .且 ， ， .求CE的长；
【答案】解： 四边形 是矩形， ，
， ，
，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得 ，
，
∴矩形 中， ，
是 的中点，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得， .
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得，根据矩形的性质可得 在 中，利用勾股定理求出CE的长.
16．（2021九上·沈北期末）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
【答案】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD.
∵在 DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行可得EC∥BD，EC＝BD，结合已知可得EC∥AD，EC＝AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解.
17．（2020九上·长春期中）如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连结点A、E．求证：四边形AEBF为矩形．
【答案】证明：∵在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，
∴AB = BC，∠ADB = ∠AFB= 90°，∠DBC=30°，
∠BAD = ∠ABF = 60°
∴△ABF≌△ABD，
∴BD = AF．
∵△BDE是等边三角形，
∴BD = BE，∠EBD = 60°．
∴AF = BE，∠EBF = ∠EBD + ∠DBC = 90°．
∴∠AFC = ∠EBF．
∴AF∥BE．
∴四边形AEBF是平行四边形．
∵∠EBF=90°，
∴平行四边形AEBF是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据等边三角形的性质证明△ABF≌△ABD，得到BD = AF，再证明四边形AEBF是平行四边形，再根据∠EBF=90°即可求解．
四、综合题
18．（2020九上·灵璧期中）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ AB＝4 ，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC AB＝4 4＝16 ．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得OA＝OC，OB＝OD，由BM=DN，利用等式性质可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，由AC＝2OM，可得MN＝AC，根据对角线相等的平行四边形是矩形即证；
（2）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD＝4，可得∠BAD+∠ABC＝180°，即得∠ABC＝60°，在Rt△BAC中，可求得AC＝ AB＝4 平行四边形ABCD的面积＝AC AB即可求出结论.
19．（2020九上·静安月考）如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足．
（1）求证：AN＝CM；
（2）如果AN＝MN＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC，
∴△DAN≌△BCM，
∴AN＝CM．
（2）解：连接BD交AC于点O．
∵AN＝NM＝2，
∴AC＝BD＝6，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝DO＝3，
在△ODN中，OD＝3，ON＝1，∠OND＝90°，
∴DN＝ ，
∴矩形ABCD的面积＝ ，
答：矩形ABCD的面积是12 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，证明得到△DAN≌△BCM，由全等三角形的行贿，求出AN=CM即可；
（2）根据四边形ABCD为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理求出DN，根据矩形的面积公式求出答案即可。
1 / 1人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·莲湖期末）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（2021九上·和平期末）如图，在矩形 中，两条对角线 与 相交于点 ， ， ，则 的长为（ ）
A．5 B． C． D．
3．（2020八上·福田期末）如图 ，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·福田期中）如图，矩形 中，对角线 ， 交于O点.若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
5．（2020九上·静安月考）在 ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO
C．AO⊥BO D．∠OBC＝∠OBA
6．（2021九上·法库期末）如图所示，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且 ，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A． B．AC，BD互相平分
C． D．
7．（2020九上·深圳期中） ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（ ）
A．AB⊥BC B．AC=BD C．∠A=∠B D．BC= CD
8．（2020九上·牡丹期中）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC (不与A，C重合)上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB=6，BC=8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
9．（2020八上·厦门期中）如图，已知点P为长方形 内一点（不含边界），设 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020九上·宝鸡期中）如图，点P是 中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB=6；BC=8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
二、填空题
11．（2020八上·陕西月考）杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）.
12．（2020九上·顺德月考）如下图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积 与矩形QCNK的面积 的大小关系是 （填“＞”或“＜”或“=”）.
13．（2020九上·子洲期中）如图，矩形 中， ， ，点P是 边上动点，则 的最小值为 .
14．（2020九上·晋州期中）如图，矩形 的对角线 与 交于点 ，过点 作 的垂线分别交 于 两点．若 ，则 的长度为 ， 等于 ．
三、解答题
15．（2020九上·榆林月考）如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F连接CE，EF，CF，得到 .且 ， ， .求CE的长；
16．（2021九上·沈北期末）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
17．（2020九上·长春期中）如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连结点A、E．求证：四边形AEBF为矩形．
四、综合题
18．（2020九上·灵璧期中）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．
19．（2020九上·静安月考）如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足．
（1）求证：AN＝CM；
（2）如果AN＝MN＝2，求矩形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，AC，
∵点B的坐标为（2，5），
∴BO=.
∵矩形OABC，
∴.
故答案为：C.
【分析】由点B的坐标，利用勾股定理求出BO的长，再利用矩形的对角线相等，可得到AC的长.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，
∴BD=2OA=4，
在Rt△ABD中，AD= ,
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，在直角三角形ABD中，用勾股定理计算即可求解.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在直角三角形中，根据勾股定理可得，阴影部分长方形的长为=5
∴长方形的面积=1×5=5
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出矩形的长，继而由矩形的面积求出答案即可。
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC，
∵∠AOB=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AC=8，
∴AB= ，
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质及三角形内角和定理可得OA=OB=OC，∠ACB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得∴AB= ，据此即可求出结论.
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加AO＝BO，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD为矩形，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，判断四边形为矩形即可。
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分，
理由如下： 、BD互相平分，
四边形ABCD是平行四边形，
，
ABCD是矩形，
其它三个条件再加上 均不能判定四边形ABCD是矩形.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了矩形的判定方法，理解平行四边形与矩形的联系与区别并熟练掌握矩形的判定是解题的关键.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB⊥BC，
∴平行四边形ABCD为矩形，A正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，B正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠A+∠B=180°
∵∠A=∠B
∴∠A=∠B=90°
∴平行四边形ABCD为矩形，C正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，BC=CD，
∴平行四边形ABCD为菱形，D错误。
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理，计算得到答案即可。
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PM⊥AB ， PN⊥BC ，
∴∠PMB=∠PNB=∠ABC=90°，
∴四边形PMBN是矩形，
∴MN=BP，
∴当BP⊥AC时，BP的值最小，即MN的值最小，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵AB·BC=AC·BP，
∴×6×8=×10×BP，
∴BP=4.8，
∴MN的最小值是4.8.
故答案为：4.8.
【分析】根据题意得出四边形PMBN是矩形，得出MN=BP，求MN的最小值即求BP的最小值，得出当BP⊥AC时，BP的值最小，利用等积法求出BP的长，即可求出MN的最小值.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵ABCD是长方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAP＝90°﹣θ1，∠DCP＝90°﹣θ3，
在△ABP中，∵90°﹣θ1+θ2+80°＝180°，∴θ2﹣θ1＝10°①，
在△DCP中，∵90°﹣θ3+θ4+50°＝180°，∴θ4﹣θ3＝40°②，
由②﹣①可得：（θ4﹣θ3）﹣（θ2﹣θ1）＝30°，
即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°．
故答案为：A．
【分析】依据矩形的性质和角的和差可得∠BAP＝90°﹣θ1，∠DCP＝90°﹣θ3，在△ABP和△DCP中，根据三角形内角和定理可得θ2﹣θ1＝10°，θ4﹣θ3＝40°，两式相减即可得到答案．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BP
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠PMB=∠ABC=∠PNB=90°
∴四边形MBNP为矩形
∴BP必过MN的中点O，且BO=
∴当BP⊥AC时，BP最小，即BO最小
根据勾股定理AC=
即当BP⊥AC时， = AB·BC= AC·BP
即 ×6×8= ×10BP
解得：BP=4.8
∴BO最小为 =2.4
故答案为：C.
【分析】连接BP，根据矩形的判定可知四边形MBNP为矩形，从而得出BP必过MN的中点O，且BO= ，根据垂线段最短可得当BP⊥AC时，BP最小，即BO最小，利用勾股定理求出AC，然后利用三角形的面积公式求出BP，从而求出结论.
11．【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵22+1.52=6.25 2.152，
即：AD2+DC2 AC2，
∴∠D 90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.
12．【答案】=
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PQ∥AB，MN∥AD，
∴四边形AMDN、PQCD、AMKP、QCNK、MBQK均是矩形，
∴S△MKB=S△BKQ，S△PDK=S△NDK，S△ADB=S△CDB，
∴S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK
∴S1=S2．
故答案为：=．
【分析】 根据已知可知图中所有的四边形都是矩形，利用矩形的对角线将矩形分成面积相等的两部分，由S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK，即可得出结论．
13．【答案】3
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO ，BO=DO= ，AC=BD，∠ADC=90°，
∴OD=OC，
∵∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADB=30°，
由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，
此时 .
故答案为：3.
【分析】根据矩形的性质可推出OD=OC，由∠BOC=120°可得∠DOC=60°，进而可得△DOC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和角的和差可得∠ADB=30°，由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，再根据30°角的直角三角形的性质即可求得答案.
14．【答案】1；
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，
∴∠DEO=60°，∠EDO=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°-30°=30°，
∴OF=CF，
又∵Rt△BOF中，BO= BD= AC= ，
∴OF=tan30°×BO=1，
∴CF=1，
过H点O作OH⊥BC于点H，
则OH= ，
∴
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AO=CO
∴∠EAO=∠FCO
又∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴
故答案为：1， ．
【分析】利用30度角的直角三角形求CF；再利用三角形的面积计算公式求三角形的面积即可。
15．【答案】解： 四边形 是矩形， ，
， ，
，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得 ，
，
∴矩形 中， ，
是 的中点，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得， .
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得，根据矩形的性质可得 在 中，利用勾股定理求出CE的长.
16．【答案】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD.
∵在 DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行可得EC∥BD，EC＝BD，结合已知可得EC∥AD，EC＝AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解.
17．【答案】证明：∵在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，
∴AB = BC，∠ADB = ∠AFB= 90°，∠DBC=30°，
∠BAD = ∠ABF = 60°
∴△ABF≌△ABD，
∴BD = AF．
∵△BDE是等边三角形，
∴BD = BE，∠EBD = 60°．
∴AF = BE，∠EBF = ∠EBD + ∠DBC = 90°．
∴∠AFC = ∠EBF．
∴AF∥BE．
∴四边形AEBF是平行四边形．
∵∠EBF=90°，
∴平行四边形AEBF是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据等边三角形的性质证明△ABF≌△ABD，得到BD = AF，再证明四边形AEBF是平行四边形，再根据∠EBF=90°即可求解．
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ AB＝4 ，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC AB＝4 4＝16 ．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得OA＝OC，OB＝OD，由BM=DN，利用等式性质可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，由AC＝2OM，可得MN＝AC，根据对角线相等的平行四边形是矩形即证；
（2）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD＝4，可得∠BAD+∠ABC＝180°，即得∠ABC＝60°，在Rt△BAC中，可求得AC＝ AB＝4 平行四边形ABCD的面积＝AC AB即可求出结论.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC，
∴△DAN≌△BCM，
∴AN＝CM．
（2）解：连接BD交AC于点O．
∵AN＝NM＝2，
∴AC＝BD＝6，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝DO＝3，
在△ODN中，OD＝3，ON＝1，∠OND＝90°，
∴DN＝ ，
∴矩形ABCD的面积＝ ，
答：矩形ABCD的面积是12 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，证明得到△DAN≌△BCM，由全等三角形的行贿，求出AN=CM即可；
（2）根据四边形ABCD为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理求出DN，根据矩形的面积公式求出答案即可。
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