2015连线中考数学一轮复习系列专题22图形的变换（平移、旋转、轴对称）

基础知识
知识点一、图形的平移
1. 定义：一个图形沿着一定的方向平行移动，叫作平移变换，简称平移．平移的两个要素：①平移的方向；②平移的距离.
2.性质：①平移前后两个图形的全等；②对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；③对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
知识点二、轴对称与轴对称图形
1. 轴对称：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
2. 轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴垂直平分任意一对对应点的连线；③对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上．
3. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴．轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条，甚至是无数条；
知识点三、两个简单的轴对称图形及其性质
线段的垂直平分线
⑴定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
⑵性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．
⑶判定：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2. 角平分线
（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫作角的平分线．
（2）性质：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
（3）判定：在角的内部，且到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
知识点四、图形的旋转
1. 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转．这个定点叫旋转中心．旋转的角度称为旋转角。图形旋转后的位置是由旋转中心、旋转方向和旋转的角度决定；
2.性质：①旋转前、后的图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等；③每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等；④图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度．
知识点五、中心对称与中心对称图形
1.定义：如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与另一个图形重合，那么这两个图形就叫做关于这个点中心对称，简称为中心对称．这个点叫做这两个图形的对称中心.
2.性质：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等；③关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；④如果连结两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．
3.中心对称图形：一个图形绕着中心点旋转1800后能与自身重合，我们就把这种图形叫做中心对称图形, 这个中心点叫做对称中心．
4.中心对称与中心对称图形的联系和区别．
中心对称 中心对称图形
区别 （1）是针对2个图形而言（2）是指两个图形的（位置）关系（3）成中心对称图形的对称点分别在两个图形上（4）对称中心在两个图形之间 （1）是指1个图形而言（2）是指该图形所具有的特性（3）中心对称图形的对称点在一个图形上（4）对称中心在图形本身上
联系 把成中心对称的两个图形视为一个整体，则成为中心对称图形． 把中心对称图形的两部分看作两个图形，则它们成中心对称．
知识点六、平面直角坐标系下的图形变换
1. 平移： ①在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a,y）（或（x-a,y））；将点（x,y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y+b）（或（x,y-b））．
2. 轴对称：关于x轴对称点的坐标特征：横坐标相等,纵坐标互为相反数．
关于y轴对称点的坐标特征：横坐标互为相反数,纵坐标相等．
3. 关于原点中心对称：③关于原点对称的点的坐标的特点是：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P′（x，y）关于原点对称的对称点为P（－x，－y）．两个点关于原点对称，可理解为它们的横坐标与纵坐标分别互为相反数，第一象限的点关于原点对称的点在第三象限，第二象限的点关于原点对称的点在第四象限．
典型例题解析
例1. （德州）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
例2. (毕节) 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为______．
答案：
解析：本题以轴对称为背景考查了三角形中线段长度的计算问题，解题的关键是根据题意列出合适的方程．先根据勾股定理在Rt△ABC中求出BC的长；再利用折叠后产生的直角三角形B′EC，使用勾股定理列方程求解B′E的长，这里用了两次勾股定理．当然本题还可以使用相似法和等积法来求解.
例3. （广元）如图，在四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB边上一点E的位置，则∠1+∠2=（ ）
A.90° B.100° C.110° D.120°
例4. （贵州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0）、B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值 .
例5. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=．
（1）△AFB与△FEC有什么关系？试证明你的结论．
（2）求矩形ABCD的周长．
例6. （山西）阅读下列材料，按要求完成相应的任务．
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形—筝形，所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似．
定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD．
判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形．
②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．
显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点．
如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：
(1)请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；
(2)请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等酌菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；
②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；
③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．
例7. 如图，固定一块三角板，另一块三角板按图示开始平移至两条较大直角边重合时停止．（两个同学为一组，利用30°角的三角板作图形的平移运动）
（1）观察平移过程中的重叠部分是什么图形？你能把它画出来吗？
（2）分别求出平移距离为4cm或10cm时，重叠部分的面积．
（3）若平移的距离为x，当x ≤7cm时，重叠部分为三角形；当x ≥7cm时，重叠部分为五边形．
（4）若重叠部分的面积为Scm3，请写出S关于x的函数关系式．
∴S△OAA′= ×42=4（cm2）；
解析：本题以平移为背景，考查了平移的性质，三角形、多边形面积的计算等，同时也通过运动考查了同学们的空间想象能力，分类讨论思想，转化思想等.
例8．（抚顺）已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
巩固练习：
1. （烟台）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2. （邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图(六)所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( )
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
3. （四川）如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（ ）
A．4 B． 3 C． 2 D．1
4. 如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60 ，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为(　　).
A.4，30 　　 B.2，60 　 C.1，30 D.3，60
5. （泰安）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°. 把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△，如图②. 连接，则∠的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 7.5° D. 15°
6. （绵阳）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（－1，4）的对应点为（4，7），则点Q
（－3，1）的对应点F的坐标为 .
7. （桂林）如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′是度数 .
8. 如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长等于　　 cm．
9. (江西) 如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形.若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为______.
10. （哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
11. （襄阳）如图，点E，C在BF上，BE=FC，∠ABC=∠DEF=45°，∠A=∠D=90°．
（1）求证：AB=DE；
（2）若AC交DE于M，且AB=，ME=，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．
12. (天津) 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
中考预测
1. 顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图所示的图形，该图形（　　）
A.既是轴对称图形也是中心对称图形
B.是轴对称图形但并不是中心对称图形
C.是中心对称图形但并不是轴对称图形
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
2. 将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（　　）
3. 在等边△ABC中， D是AC上一点，连结BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连结ED，若BC＝5， BD＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．AE∥BC B．∠ADE＝∠BDC
C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9
4. 如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
则点P的坐标是（ ）
A.（1，2） B. （1，1） C.（1，3） D.（1，4）
5. 如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A’处。如果∠A’EC=70°，那么∠A’DE的度数为 。
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1,2）点C的坐标为（-3,0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C对应点的坐标为 .
7. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有 种。
8.如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点（5，3）在边上，
以为中心，把△旋转90°，则旋转后点的对应点的坐标是 .
9. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径的长；
（3）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积．
10. 先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，请分别在图1和图2中求出点B和点C的坐标．
（备选数据：sin30°=，cos30°=）
11. 在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形.王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告.
名 称 四等分圆的面积
方 案 方案一 方案二 方案三
选用的工具 带刻度的三角板
画出示意图
简述设计方案 作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份.
指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形
12.如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
(2)将图1中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△CAN为等腰直角三角形；
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．
（图1） （图2） （图3）
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