2015连线中考数学一轮复习系列专题20圆有关的位置关系

第二十讲 与圆有关的位置关系
基础知识
知识点一、点与圆的位置关系
1. 点和直线有三种位置关系：①点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；②点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；③点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径．
2. 用数量关系表示位置关系：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有
①点P在⊙O外 d＞r；
②点P在⊙O上 d＝r；
③点P在⊙O内 d＜r．
知识点二、直线和圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
（1）相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
（2）相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
（3）相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交．
2、直线和圆的位置关系的性质与判断：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
① 直线和圆相离 d < r
② 直线和圆相切 d = r
③ 直线和圆相交 d > r．
知识点三、切线的判定定理
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
在应用定理时，必须先弄清两个条件：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径，两者缺一不可．
2. 切线的判定方法有以下几种：
①可以直接应用定义：直线与圆有一个公共点时，直线是圆的切线．
②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
③切线的判定定理．
当已知条件中没有指出圆与直线的公共点时，常运用方法②进行判定；当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常运用判定定理进行判定.证题方法“有点连半径，无点作垂线”.
知识点四、切线的性质定理与切线长定理
1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
当已知圆的切线时，常常连接过切点的半径，得两线垂直关系.
2.切线长定理
（1）切线长的定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．
知识点五、三角形的外接圆与外心
1. 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．
2. 三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点.这个点叫做三角形的外心．
3. 三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的；但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．
知识点六、三角形的内切圆与内心
1.三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．任意一个三角形都有且只有一个内切圆．但一个圆的外切三角形有无数个．
2. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等.
常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径 ；
（2）△ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为r，则．
知识点七、正多边形与圆的关系
1. 正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
2. 正多边形与圆的关系可以这样表述：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形.利用这一关系可以判定一个多边形是否是正多边形或作出一个正多边形．这个圆是这个正多边形的外接圆.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
3. 对称性：
①正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
②正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．
③正多边形的旋转对称性：正多边形都是旋转对称图形，最小的旋转角等于中心角．
典型例题解析
例1. 已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则⊙O的半径为 cm．
例2. 已知⊙O的半径长为2cm，如果直线l上有一点P满足PO=2cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交
例3. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是 .
例4. （朝阳）如图，△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，MB=2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
例5. （葫芦岛）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例6. 如图：⊙I是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AC=6，BC=8，则⊙I的半径是 .
例7. （锦州）已知，⊙O为 ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
求证：AG与⊙O相切．
若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．
过点O作OH⊥AB，垂足为H，
例8. （来宾）如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF于点G.连接AE.
(1) 直接写出AE与BC的位置关系；
(2) 求证：△BCG∽△ACE ；
(3) 若∠F=60°，GF=1，求⊙O得半径.
巩固训练
1. （青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）
A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥6
2. 在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为2，点P的坐标为（4，5），那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定
3. 已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4. （天津）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
5. 如下图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．
6. （曲靖）如图,正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是 .
7. （莱芜）如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE,CE交AD于点F，连接BF,下列说法不正确的是（ ）
A. △CDF的周长等于AD＋CD B. FC平分∠BFD
C. AC2＋BF2＝4CD2 D. DE2＝EF·CE
8. （广安）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6，若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
9. （日照）如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切.若反比例函数（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．
10. （德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.
（1）求AC，AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由.
11. （河南）如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为点A、B.
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP= cm时，四边形AOBP是正方形.
12. （抚州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为(0，1)，点D的坐标为(6，－1).
(1)求证：DC＝FC.
(2)判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由.
(3)求直线AD的解析式.
中考预测
1. 在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　）
A．当a=-1时，点B在圆A上 B．当a＜1时，点B在圆A内
C．当a＜-1时，点B在圆A外 D．当-1＜a＜3时，点B在圆A内
2. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A＝30°，则∠C的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．40°
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3, 0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
4. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD. 已知PC=PD=BC. 下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°. 其中正确的个数为（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为　 　．
6. 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ．
7. 已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC只有一个公共点，那么x的取值范围是　 　．
8. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是__________．(结果保留π)
9. 如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为　　．
10. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°.以AB的中点O为圆心、OA长为半径作半圆，交AC于点D.点E为BC的中点，连接DE.
（1）求证：DE是该半圆的切线；
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长.
11．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作，垂足为E.
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.
12. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，与⊙O相切， BD∥AC．
(1)图中∠OCD＝_______°，理由是_____________________；
(2)⊙O的半径为3，AC＝4，求OD的长．
13. 阅读材料：
已知，如图(1)，在面积为S的△ABC中， BC＝a，AC＝b， AB＝c，内切圆O的半径为r.连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵..
∴．
(1)类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图(2)，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径r；
(2)理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.
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