2015连线中考数学一轮复习系列专题5分式与分式方程

第五讲 分式与分式方程
基础知识
知识点一、分式的概念、有意义及分式的值
1. 分式的概念
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B表示成的形式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．
2．分式的意义
对于分式而言，当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义.
3. 分式的值
求分式的值，就是把字母的值代入分式即可求 ( http: / / www.21cnjy.com )得分式的值. 特别地，当分式的值为0时，先根据分子为零，求出字母所有的值，再将所求字母的值代入分母，检验分母的值是否等于0，若字母的值使分母不等于0，即为所求的值．
知识点二. 分式的基本性质
1．分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：，（A、B、C为整式，B、C≠0）
分式的基本性质由六部分构成：①分式的分子与分母；②都乘以（或除以）；③同一个；④不等于0的；⑤整式；⑥分式的值不变．（2）弄懂分式的基本性质是为了运用它．运用这一性质主要是解决“确定分式的符号”“约分”“通分”问题．
2．最简分式
一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
知识点三、分式的运算
1．分式的加减、乘除与乘方法则
运算 法则 数学表达式
加减法 同分母相加减：分母不变，分子相加减． ±＝．
异分母相加减：先通分，同乘以各分母的最小公倍数，再按同分母相加减法则运算． ．
乘法 两分式相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘． ．
除法 分式A÷B则A·，然后用分式乘法进行运算． ．
乘方 分式的乘方等于分子、分母分别乘方．
2．混合运算顺序
（1）在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减.
（2）有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分.
注意：最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
知识点四、分式方程的概念及其解法
1．分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程，这是分式方程与整式方程的根本区别．
2．解分式方程
解分式方程的一般步骤是：①去分母，将分式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程化为整式方程；②解这个整式方程，得未知数的值；③检验，将所得整式方程的解代入去分母时方程两边所乘的整式中，使这个整式的值不为0的未知数的值即为分式方程的解，否则便不是，此分式方程无解．（有的书上也称为原方程的增根）．
知识点五、.列分式方程解应用题的一般步骤
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①审清题意．弄清题中涉及哪些量？已知量和未知量各有几个？弄清量与量之间的基本关系
②找题目中的相等关系.有的题目不止一个等量关系，根据这些等量关系，合理地设出未知数，用含有未知数的代数式表示其他未知量．
③列方程，根据题目中的等量关系，列出方程.
④解方程.
⑤检验. 检验解的合理性（包括检验是否是方程的解，是否符合实际），写出答案．
典型例题解析
例1. （温州）要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A．x >2 B．x≠－1 C．x≠2 D．x=－1
例2.（凉山州）分式的值为零，则x的值为( )
A.3 B.－3 C. ±3 D.任意实数
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例3.（绥化）化简的结果是____________．
例4. （抚州）先化简：(x－，再任选一个你喜欢的数x代入求值.
解析：本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简是解题的关键，但在选择X的值时，应注意题目中设计的陷阱，要保证X的取值使得分式有意义。
例5. （龙岩）解方程
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例6. （凉山州）关于的方程的解是正数，则的取值范围是
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例7．（哈尔滨）荣庆公司计 ( http: / / www.21cnjy.com )划从商店购买同一种品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．
（1）求购买该品牌的一个台灯、一个手电筒各需要多少元；
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个 ( http: / / www.21cnjy.com )该品牌的台灯赠送一个该品牌的手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可以购买多少个该品牌的台灯？
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送的手电筒的金额≤670元”列 一元一次不等式，解之即可得到答案．
巩固练习
1. （宜昌）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠-1
2. （河北）化简：（ ）
A．0 B．1 C．x D．
3. （杭州）若，则w＝（ ）
A．a＋2（a≠－2） B．－a＋2（a≠2）
C．a－2（a≠2） D．－a－2（a≠－2）
4. （德州）分式方程的解是（ ）
A．x＝1 B． C．x＝2 D．无解
5. （营口）分式 的值为0，则x的值是　
6. （泰州）已知则代数式的值等于________.
7.（齐齐哈尔）关于x的分式方程的解为正数，则字母a的取值范围为 ( )
A.a ≥ -1 B．a > -1 C．a ≤ -1 D．a < -1
8. （临沂）某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为元，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A B
C 　　　　　　　 　D
9. （荆门）先化简，再求值：，
其中a，b满足＋|b－|＝0．
10. （日照）为了进一步落实“节 ( http: / / www.21cnjy.com )能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？
11. （汕尾）某校为美化校园，计划对面积为1800的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400区域的绿化时，甲队比乙队少用4天
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
中考预测
1. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
2. 下列式子从左到右的变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3. 当时，的结果是（ ）
A B C D
4. 已知a2-3a+1=0，则的值为( )
A． B．1 C．-1 D．-5
5. 已知：点P(1－2a，a－2)关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．不能确定
.
6. 已知，则代数式的值为 ．
7. 先化简: ,然后从中选一个合适的整数作为的值代入求值.
8. 小军家距学校5千米，原来他骑 ( http: / / www.21cnjy.com )自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度的2倍，现在小军乘班车上学可以从家晚出发10分钟，结果与原来到校的时间相同.设小军骑车的速度为x千米/时，则所列方程正确的为( )
A.﹢= B. ﹣= C.﹢10= D.﹣10=
9. “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用 ( http: / / www.21cnjy.com )3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
10.为弘扬中华民族传统文 ( http: / / www.21cnjy.com )化，某校举办了“古诗文大赛”，并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品．1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔记本共13.5元．
（1）求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？
（2）为了激发学生的学习热情，学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类图书，如果给每名获奖同学都买一本图书，需要花费720元；书店出台如下促销方案：购买图书总数超过50本可以享受8折优惠．学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同．问学校获奖的同学有多少人？