初中数学华师大版八年级下学期 第19章测试卷
一、单选题
1．（2020九上·福田期中）如图，矩形 中，对角线 ， 交于O点.若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
2．（2020九上·太原月考）矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
3．（2020九上·灵璧期中）如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝12，BD＝16，则此菱形的边长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
4．（2020九上·滕州期中）如图，在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
5．（2020九上·温州期末）若一个圆内接正多边形的内角是 ，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
二、填空题
6．（2020九上·灵璧期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE；⑤∠AFB＋∠AEC＝180°，其中正确的有 （填写序号）．
7．（2021八上·方城期末）如图，一张矩形纸片ABCD，沿AF折叠，点B恰好落在CD边上的点E处，已知CD为10cm，DE： ：2，则FC的长度为 cm.
8．（2020九上·南山期中）如图,菱形ABCD对角线AC,BD交于点O,∠BAD=60°,点E是AD的中点,OE=4,则菱形ABCD的面积为
9．（2020九上·成都期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OH⊥AB于H．若菱形ABCD的周长为16，∠BAD=60°，则OH= ．
10．（2020七上·西湖月考）如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，请你计算：
（1）如果标注A、B的正方形边长分别为5，6，则标注G的正方形的边长 ；
（2）如果标注A、B的正方形边长分别为x，y，则标注E的正方形的边长 .（用含x，y的代数式表示）
三、综合题
11．（2020九上·榆林月考）如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F连接CE，EF，CF，得到 .且 ， ， .求CE的长；
12．（2020七上·婺城月考）如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，其中EF=2厘米，最小的正方形的边长为x厘米.
（1）用含x的代数式表示FG= 厘米，DG= 厘米.
（2）若长方形ABCD的周长等于52，求x的值
（3）若FG：DG=2：3，求四边形FGDH（阴影部分）的面积.
13．（2021九上·沈阳期末）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）① cm时，四边形CEDF是矩形.
② cm时，四边形CEDF是菱形.
14．（2020九上·滕州期中）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝ ，求菱形BEDF的面积．
15．（2019七上·哈尔滨月考）如图所示，将 沿直线BC方向平移 的位置，G是DE上一点，连接AG，过点A、D作直线MN．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，判断AG与DE的位置关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC，
∵∠AOB=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AC=8，
∴AB= ，
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质及三角形内角和定理可得OA=OB=OC，∠ACB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得∴AB= ，据此即可求出结论.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选A．
故答案为：A．
【分析】根据矩形、菱形和正方形的对角线的性质逐项判定即可。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA= AC= ×12=6，OB= BD= ×16=8，AC⊥BD，
∴AB= =10．
∴此菱形的边长为10．
故答案为：A．
【分析】根据菱形的性质可得OA= AC= ×12=6，OB= BD= ×16=8，AC⊥BD，利用勾股定理求出AB的长即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是菱形，
∴ 的面积 ；
故答案为：C．
【分析】由勾股定理的逆定理得出 ，即 ，得出 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．
5．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：每个外角=180°-108°=72°，
∴n=360°÷72°=5；
故答案为：A.
【分析】由于正五边形的每个外角相等，先求出每个外角的度数，再利用外角和公式求边数即可.
6．【答案】①②③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；反证法
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠ABF＝∠DAE，AE＝BF，故①符合题意；
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，故②符合题意；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故③符合题意；
假设AO＝OE，连接BE，如图，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以假设不成立，∴AO≠OE，故④不符合题意；
∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFB=∠AED，
∴∠AFB＋∠AEC＝∠AED＋∠AEC＝180°，故⑤符合题意；
综上所述，正确的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【分析】根据SAS可证△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，AE＝BF，由∠DAE+∠BAO＝90°可得
∠AOB＝∠ABF+∠BAO＝90°，据此判断①②；由△ABF≌△DAE，可得S△ABF＝S△DAE，从而可得
S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，据此判断③；假设AO＝OE，连接BE，如图，由②知AE⊥BF，可得AB＝BE，在Rt△BCE中，BE＞BC，可得AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，据此判断④.
7．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是矩形，
， ， ，
根据折叠的性质得： ， ，
： ：2，
， ，
，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
.
故答案为3.
【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出 ， ， ，由勾股定理求出AD，得出BC，设 ，则 ，根据勾股定理得出方程，解方程即可.
8．【答案】32
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，OB=OD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=DE，OB=OD，
∴AB=2OE=8，
∴S菱形ABCD=2 S△ABD= .
故答案是： .
【分析】根据菱形的性质可得AB=AD，OB=OD，由∠BAD=60°，可得△ABD是等边三角形，从而得出AB=2OE=8，利用S菱形ABCD=2 S△ABD即可求出结论.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD， BO=DO，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=AD=4，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=4，∠ABD=60°，
∴BO=DO=2，
在Rt△OBH中，∠ABD=60°，BO =2，
∴ ，
∴OH=2 ．
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质，即可证明得到△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质以及特殊角的三角函数值，求出OH的长度即可。
10．【答案】（1）23
（2）3y-3x
【知识点】列式表示数量关系；正方形的性质
【解析】【解答】（1）∵A、B的正方形边长分别为5，6，
∴正方形C的边长为5+6=11，
∴正方形D的边长为11+6=17，
∴正方形G的边长为17+6=23，
故答案为：23；
（ 2 ）∵A、B的正方形边长分别为x、y，
∴正方形C的边长为x+y，
∴正方形D的边长为x+y+y=x+2y，
∴正方形G的边长为x+2y+y=x+3y，
∴正方形H的边长为x+3y+（y-x）=4y，
∴正方形M的边长为4y-x，
∴正方形E的边长为4y-x-x-（x+y）=3y-3x，
故答案为：3y-3x.
【分析】（1）根据正方形的性质即可解决问题；
（2）根据各个正方形的边的和差关系分别表示出标注C，D，G，H，M的正方形的边长，标注E的正方形的边长＝标注M的正方形的边长 标注A的正方形的边长 标注C的正方形的边长．
11．【答案】解： 四边形 是矩形， ，
， ，
，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得 ，
，
∴矩形 中， ，
是 的中点，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得， .
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得，根据矩形的性质可得 在 中，利用勾股定理求出CE的长.
12．【答案】（1）（x＋2）；（3x－2）
（2）3
（3）解：由题（1）知，
代入 得：
解得：
则
故四边形FGDH的面积为 .
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）由图可知， ，GC等于最小正方形的边长与EF之和
则
由图可知，最大正方形的边长是最小正方形边长的3倍，即为
则 ；
（ 2 ）由图可知， ，
则长方形ABCD的周长为:
由题意得： ，解得： ；
【分析】（1）由图可知， ，GC等于最小正方形的边长与EF之和；因为最大正方形的边长是最小正方形边长的3倍，即为 ，则 .
（2）由图可知， ， ，再利用长方形的周长公式列出方程，求解即可.
（3）由（1）求出的FG和DG的长度，代入比例式，求值，得出x的值，从而得出FG和DG的值，最后利用长方形的面积公式即可得出答案.
13．【答案】（1）证明： 四边形ABCD是平行四边形，
，
， ，
是CD的中点，
，
≌ ，
，而 ，
四边形CEDF是平行四边形
（2）4；2
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：（2）①当 时，四边形CEDF是矩形.
理由：作 于P，
， ，
，
四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
，
，
≌ ，
，
平行四边形CEDF是矩形，
当 时，四边形CEDF是矩形.
故答案为4；②当 时，四边形CEDF是菱形.
理由： ， .
.
， .
是等边三角形.
.
平行四边形CEDF是菱形.
当 时，四边形CEDF是菱形，
故答案为2.
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（1）证 ≌ ，推出 ，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①证明 ≌ ，推出 ，即可得出答案；②证明 是等边三角形，推出 ，即可得出答案.
14．【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴BD＝AC＝ .
∵AE＝CF＝ ，
∴EF＝AC－ ＝ ，
∴S菱形BEDF＝ BD·EF＝ × .
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点O，则由已知易得BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，结合AE=CF可得OE=OF，由此可得四边形BEDF是平行四边形，再结合BD⊥EF即可得到四边形BEDF是菱形；（2）由正方形ABCD的边长为4易得AC=BD= ，结合AE=CF= ，可得EF= ，再由菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得菱形BEDF的面积了.
15．【答案】（1）证明：由平移的性质得：△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴AD∥BF，∠ADG=∠ABC，
∴∠ADG=∠DEF，
∴∠ABC=∠DEF=∠ADG，
∵∠AGE为△ADG的外角，
∴∠AGE=∠DAG+∠ADG=∠GAD+∠ABC；
（2）解：AG⊥DE，理由为：
由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，
∵∠EDF=∠DAG，
∴∠BAC=∠DAG，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠BEG=180°，
∵∠CAG+∠CEG=180°，
∴∠ABC=∠CAG，
∵MN∥BC，∴∠ABC=∠MAB，
∴∠MAB=∠CAG，
∵∠MAB+∠BAC+∠CAG+∠DAG=180°，
∴∠CAG+∠BAC=90°，即∠BAG=90°，
∵AB∥DE，
∴∠BAG+∠AGD=90°，
则AG⊥DE．
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得：△ABC≌△DEF，可得 AB=DE，AB∥DE ，再判断四边形ABED为平行四边形，最后根据三角形的外角进行作答；
（2）根据平移的性质可得∠EDF=∠BAC，再根据平行的性质与判定进行作答即可。
1 / 1初中数学华师大版八年级下学期 第19章测试卷
一、单选题
1．（2020九上·福田期中）如图，矩形 中，对角线 ， 交于O点.若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC，
∵∠AOB=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AC=8，
∴AB= ，
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质及三角形内角和定理可得OA=OB=OC，∠ACB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得∴AB= ，据此即可求出结论.
2．（2020九上·太原月考）矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选A．
故答案为：A．
【分析】根据矩形、菱形和正方形的对角线的性质逐项判定即可。
3．（2020九上·灵璧期中）如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝12，BD＝16，则此菱形的边长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA= AC= ×12=6，OB= BD= ×16=8，AC⊥BD，
∴AB= =10．
∴此菱形的边长为10．
故答案为：A．
【分析】根据菱形的性质可得OA= AC= ×12=6，OB= BD= ×16=8，AC⊥BD，利用勾股定理求出AB的长即可.
4．（2020九上·滕州期中）如图，在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是菱形，
∴ 的面积 ；
故答案为：C．
【分析】由勾股定理的逆定理得出 ，即 ，得出 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．
5．（2020九上·温州期末）若一个圆内接正多边形的内角是 ，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：每个外角=180°-108°=72°，
∴n=360°÷72°=5；
故答案为：A.
【分析】由于正五边形的每个外角相等，先求出每个外角的度数，再利用外角和公式求边数即可.
二、填空题
6．（2020九上·灵璧期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE；⑤∠AFB＋∠AEC＝180°，其中正确的有 （填写序号）．
【答案】①②③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；反证法
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠ABF＝∠DAE，AE＝BF，故①符合题意；
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，故②符合题意；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故③符合题意；
假设AO＝OE，连接BE，如图，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以假设不成立，∴AO≠OE，故④不符合题意；
∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFB=∠AED，
∴∠AFB＋∠AEC＝∠AED＋∠AEC＝180°，故⑤符合题意；
综上所述，正确的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【分析】根据SAS可证△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，AE＝BF，由∠DAE+∠BAO＝90°可得
∠AOB＝∠ABF+∠BAO＝90°，据此判断①②；由△ABF≌△DAE，可得S△ABF＝S△DAE，从而可得
S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，据此判断③；假设AO＝OE，连接BE，如图，由②知AE⊥BF，可得AB＝BE，在Rt△BCE中，BE＞BC，可得AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，据此判断④.
7．（2021八上·方城期末）如图，一张矩形纸片ABCD，沿AF折叠，点B恰好落在CD边上的点E处，已知CD为10cm，DE： ：2，则FC的长度为 cm.
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是矩形，
， ， ，
根据折叠的性质得： ， ，
： ：2，
， ，
，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
.
故答案为3.
【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出 ， ， ，由勾股定理求出AD，得出BC，设 ，则 ，根据勾股定理得出方程，解方程即可.
8．（2020九上·南山期中）如图,菱形ABCD对角线AC,BD交于点O,∠BAD=60°,点E是AD的中点,OE=4,则菱形ABCD的面积为
【答案】32
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，OB=OD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=DE，OB=OD，
∴AB=2OE=8，
∴S菱形ABCD=2 S△ABD= .
故答案是： .
【分析】根据菱形的性质可得AB=AD，OB=OD，由∠BAD=60°，可得△ABD是等边三角形，从而得出AB=2OE=8，利用S菱形ABCD=2 S△ABD即可求出结论.
9．（2020九上·成都期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OH⊥AB于H．若菱形ABCD的周长为16，∠BAD=60°，则OH= ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD， BO=DO，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=AD=4，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=4，∠ABD=60°，
∴BO=DO=2，
在Rt△OBH中，∠ABD=60°，BO =2，
∴ ，
∴OH=2 ．
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质，即可证明得到△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质以及特殊角的三角函数值，求出OH的长度即可。
10．（2020七上·西湖月考）如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，请你计算：
（1）如果标注A、B的正方形边长分别为5，6，则标注G的正方形的边长 ；
（2）如果标注A、B的正方形边长分别为x，y，则标注E的正方形的边长 .（用含x，y的代数式表示）
【答案】（1）23
（2）3y-3x
【知识点】列式表示数量关系；正方形的性质
【解析】【解答】（1）∵A、B的正方形边长分别为5，6，
∴正方形C的边长为5+6=11，
∴正方形D的边长为11+6=17，
∴正方形G的边长为17+6=23，
故答案为：23；
（ 2 ）∵A、B的正方形边长分别为x、y，
∴正方形C的边长为x+y，
∴正方形D的边长为x+y+y=x+2y，
∴正方形G的边长为x+2y+y=x+3y，
∴正方形H的边长为x+3y+（y-x）=4y，
∴正方形M的边长为4y-x，
∴正方形E的边长为4y-x-x-（x+y）=3y-3x，
故答案为：3y-3x.
【分析】（1）根据正方形的性质即可解决问题；
（2）根据各个正方形的边的和差关系分别表示出标注C，D，G，H，M的正方形的边长，标注E的正方形的边长＝标注M的正方形的边长 标注A的正方形的边长 标注C的正方形的边长．
三、综合题
11．（2020九上·榆林月考）如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F连接CE，EF，CF，得到 .且 ， ， .求CE的长；
【答案】解： 四边形 是矩形， ，
， ，
，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得 ，
，
∴矩形 中， ，
是 的中点，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得， .
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得，根据矩形的性质可得 在 中，利用勾股定理求出CE的长.
12．（2020七上·婺城月考）如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，其中EF=2厘米，最小的正方形的边长为x厘米.
（1）用含x的代数式表示FG= 厘米，DG= 厘米.
（2）若长方形ABCD的周长等于52，求x的值
（3）若FG：DG=2：3，求四边形FGDH（阴影部分）的面积.
【答案】（1）（x＋2）；（3x－2）
（2）3
（3）解：由题（1）知，
代入 得：
解得：
则
故四边形FGDH的面积为 .
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）由图可知， ，GC等于最小正方形的边长与EF之和
则
由图可知，最大正方形的边长是最小正方形边长的3倍，即为
则 ；
（ 2 ）由图可知， ，
则长方形ABCD的周长为:
由题意得： ，解得： ；
【分析】（1）由图可知， ，GC等于最小正方形的边长与EF之和；因为最大正方形的边长是最小正方形边长的3倍，即为 ，则 .
（2）由图可知， ， ，再利用长方形的周长公式列出方程，求解即可.
（3）由（1）求出的FG和DG的长度，代入比例式，求值，得出x的值，从而得出FG和DG的值，最后利用长方形的面积公式即可得出答案.
13．（2021九上·沈阳期末）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）① cm时，四边形CEDF是矩形.
② cm时，四边形CEDF是菱形.
【答案】（1）证明： 四边形ABCD是平行四边形，
，
， ，
是CD的中点，
，
≌ ，
，而 ，
四边形CEDF是平行四边形
（2）4；2
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：（2）①当 时，四边形CEDF是矩形.
理由：作 于P，
， ，
，
四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
，
，
≌ ，
，
平行四边形CEDF是矩形，
当 时，四边形CEDF是矩形.
故答案为4；②当 时，四边形CEDF是菱形.
理由： ， .
.
， .
是等边三角形.
.
平行四边形CEDF是菱形.
当 时，四边形CEDF是菱形，
故答案为2.
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（1）证 ≌ ，推出 ，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①证明 ≌ ，推出 ，即可得出答案；②证明 是等边三角形，推出 ，即可得出答案.
14．（2020九上·滕州期中）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝ ，求菱形BEDF的面积．
【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴BD＝AC＝ .
∵AE＝CF＝ ，
∴EF＝AC－ ＝ ，
∴S菱形BEDF＝ BD·EF＝ × .
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点O，则由已知易得BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，结合AE=CF可得OE=OF，由此可得四边形BEDF是平行四边形，再结合BD⊥EF即可得到四边形BEDF是菱形；（2）由正方形ABCD的边长为4易得AC=BD= ，结合AE=CF= ，可得EF= ，再由菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得菱形BEDF的面积了.
15．（2019七上·哈尔滨月考）如图所示，将 沿直线BC方向平移 的位置，G是DE上一点，连接AG，过点A、D作直线MN．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，判断AG与DE的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：由平移的性质得：△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴AD∥BF，∠ADG=∠ABC，
∴∠ADG=∠DEF，
∴∠ABC=∠DEF=∠ADG，
∵∠AGE为△ADG的外角，
∴∠AGE=∠DAG+∠ADG=∠GAD+∠ABC；
（2）解：AG⊥DE，理由为：
由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，
∵∠EDF=∠DAG，
∴∠BAC=∠DAG，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠BEG=180°，
∵∠CAG+∠CEG=180°，
∴∠ABC=∠CAG，
∵MN∥BC，∴∠ABC=∠MAB，
∴∠MAB=∠CAG，
∵∠MAB+∠BAC+∠CAG+∠DAG=180°，
∴∠CAG+∠BAC=90°，即∠BAG=90°，
∵AB∥DE，
∴∠BAG+∠AGD=90°，
则AG⊥DE．
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得：△ABC≌△DEF，可得 AB=DE，AB∥DE ，再判断四边形ABED为平行四边形，最后根据三角形的外角进行作答；
（2）根据平移的性质可得∠EDF=∠BAC，再根据平行的性质与判定进行作答即可。
1 / 1
