初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.1矩形
一、单选题
1．（2020九上·静安月考）在 ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO
C．AO⊥BO D．∠OBC＝∠OBA
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加AO＝BO，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD为矩形，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，判断四边形为矩形即可。
2．（2020九上·福州月考）如图， 是一个中心对称图形的一部分，O点是对称中心，点A和点B是一对对应点， ，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】A
【知识点】矩形的判定；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形，
∴AC′=BC，BC′=AC，
∴四边形ACBC′是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形ACBC′是矩形．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称的性质得出AC′=BC，BC′=AC，利用两组对边分别相等可证四边形ACBC′是平行四边形，由∠C=90°，可证平行四边形ACBC′是矩形．
3．（2021九上·莲湖期末）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，AC，
∵点B的坐标为（2，5），
∴BO=.
∵矩形OABC，
∴.
故答案为：C.
【分析】由点B的坐标，利用勾股定理求出BO的长，再利用矩形的对角线相等，可得到AC的长.
4．（2021九上·和平期末）如图，在矩形 中，两条对角线 与 相交于点 ， ， ，则 的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，
∴BD=2OA=4，
在Rt△ABD中，AD= ,
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，在直角三角形ABD中，用勾股定理计算即可求解.
5．（2020八上·福田期末）如图，长方形ABCD是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD的边长DC为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；矩形的性质
【解析】【解答】解：
设右下方两个相等的正方形的边长为x，根据题意可知，
x+3+x+2=x+x+x+1
2x+5=3x+1
x=4
∴长方形的长为4+4+4+1=13
长方形的宽为4+3+4=11
∴DC的长度为13
故答案为：B.
【分析】根据题意，由矩形的性质列出等量关系，即可得到x的值，计算得到长方形的边长即可。
6．（2020八上·福田期末）如图 ，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在直角三角形中，根据勾股定理可得，阴影部分长方形的长为=5
∴长方形的面积=1×5=5
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出矩形的长，继而由矩形的面积求出答案即可。
7．（2021九上·法库期末）如图所示，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且 ，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A． B．AC，BD互相平分
C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分，
理由如下： 、BD互相平分，
四边形ABCD是平行四边形，
，
ABCD是矩形，
其它三个条件再加上 均不能判定四边形ABCD是矩形.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了矩形的判定方法，理解平行四边形与矩形的联系与区别并熟练掌握矩形的判定是解题的关键.
8．（2020九上·牡丹期中）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC (不与A，C重合)上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB=6，BC=8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
【答案】C
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PM⊥AB ， PN⊥BC ，
∴∠PMB=∠PNB=∠ABC=90°，
∴四边形PMBN是矩形，
∴MN=BP，
∴当BP⊥AC时，BP的值最小，即MN的值最小，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵AB·BC=AC·BP，
∴×6×8=×10×BP，
∴BP=4.8，
∴MN的最小值是4.8.
故答案为：4.8.
【分析】根据题意得出四边形PMBN是矩形，得出MN=BP，求MN的最小值即求BP的最小值，得出当BP⊥AC时，BP的值最小，利用等积法求出BP的长，即可求出MN的最小值.
9．（2020九上·宁化月考）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，
OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=3．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的判定求解即可。
二、填空题
10．（2020八上·陕西月考）杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）.
【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵22+1.52=6.25 2.152，
即：AD2+DC2 AC2，
∴∠D 90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.
11．（2021九下·施秉开学考）如图，对折矩形ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，将纸片展平再一次折叠，使点D落到G，并使折痕经过点A，已知BC=2.则线段EG的长度为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，
则NG=AM，
∴AN=NG，
∴∠2=∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4=∠3,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AE=AD=BC=1，
∴AG=2，
∴EG=，
故答案为：.
【分析】由折叠的性质可得∠MGA=90°，AE=AD=BC=1，AG=AD=2，最后在Rt△AEG中利用勾股定理求出EG长即可.
12．（2021八上·阜新期末）如图，有一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA＝6，OC＝10，如图，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点处，则点E的坐标为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由矩形的性质得：
由翻转变换的性质得：
在 中，
则
设 ，则
在 中， ，即
解得
故点E的坐标为 .
故答案为： .
【分析】由矩形的性质得 ，由翻转变换的性质得CD=OC=10，DE=OE，在 中，利用勾股定理求出BD=8，从而求出AD=2，设OE=x，可得DE=x，AE=6-x，在 中，利用勾股定理建立方程，解出x的值即可.
三、综合题
13．（2021九上·沈北期末）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
【答案】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD.
∵在 DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行可得EC∥BD，EC＝BD，结合已知可得EC∥AD，EC＝AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解.
14．（2020九上·灵璧期中）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ AB＝4 ，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC AB＝4 4＝16 ．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得OA＝OC，OB＝OD，由BM=DN，利用等式性质可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，由AC＝2OM，可得MN＝AC，根据对角线相等的平行四边形是矩形即证；
（2）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD＝4，可得∠BAD+∠ABC＝180°，即得∠ABC＝60°，在Rt△BAC中，可求得AC＝ AB＝4 平行四边形ABCD的面积＝AC AB即可求出结论.
15．（2020八上·西安期中）如图，把矩形 放入直角坐标系 中，使 、 分别落在 轴、 轴的正半轴上，且 .
（1）求过点 、 的直线解析式；
（2）将矩形 折叠，使点 与点 重合， 是折痕，求折叠后重叠部分的面积.
【答案】（1）解： .A点坐标为（2，0），C坐标为（0，1），
过点 、 的直线解析式为：y=kx+b，
A、C两点坐标代入得 ，
解得 ，
，
（2）解：将矩形 折叠，使点 与点 重合， 是折痕，则∠CEF=∠AEF，
∵BC∥AO，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CEF=∠CFE，
CE=CF，
设AE=x,则OE=2-x，
在Rt在Rt△OAE C中,由勾股定理 ，
，
解得 ，
过E作EG⊥BC于G，则四边形OEGC为矩形，EG=OC=1，
折叠后重叠部分的面积S= .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由图易知点A、C的坐标，用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（2）由折叠的性质和等角对等边易得CE=CF，设AE=x，则OE=2-x，在Rt△OAE C中,由勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，过E作EG⊥BC于G，易得四边形OEGC为矩形， 所以EG=OC，则折叠后重叠部分的面积S=CF·EG可求解.
1 / 1初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.1矩形
一、单选题
1．（2020九上·静安月考）在 ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO
C．AO⊥BO D．∠OBC＝∠OBA
2．（2020九上·福州月考）如图， 是一个中心对称图形的一部分，O点是对称中心，点A和点B是一对对应点， ，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
3．（2021九上·莲湖期末）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2021九上·和平期末）如图，在矩形 中，两条对角线 与 相交于点 ， ， ，则 的长为（ ）
A．5 B． C． D．
5．（2020八上·福田期末）如图，长方形ABCD是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD的边长DC为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
6．（2020八上·福田期末）如图 ，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·法库期末）如图所示，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且 ，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A． B．AC，BD互相平分
C． D．
8．（2020九上·牡丹期中）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC (不与A，C重合)上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB=6，BC=8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
9．（2020九上·宁化月考）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
10．（2020八上·陕西月考）杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）.
11．（2021九下·施秉开学考）如图，对折矩形ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，将纸片展平再一次折叠，使点D落到G，并使折痕经过点A，已知BC=2.则线段EG的长度为 .
12．（2021八上·阜新期末）如图，有一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA＝6，OC＝10，如图，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点处，则点E的坐标为 。
三、综合题
13．（2021九上·沈北期末）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
14．（2020九上·灵璧期中）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．
15．（2020八上·西安期中）如图，把矩形 放入直角坐标系 中，使 、 分别落在 轴、 轴的正半轴上，且 .
（1）求过点 、 的直线解析式；
（2）将矩形 折叠，使点 与点 重合， 是折痕，求折叠后重叠部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加AO＝BO，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD为矩形，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，判断四边形为矩形即可。
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形，
∴AC′=BC，BC′=AC，
∴四边形ACBC′是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形ACBC′是矩形．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称的性质得出AC′=BC，BC′=AC，利用两组对边分别相等可证四边形ACBC′是平行四边形，由∠C=90°，可证平行四边形ACBC′是矩形．
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，AC，
∵点B的坐标为（2，5），
∴BO=.
∵矩形OABC，
∴.
故答案为：C.
【分析】由点B的坐标，利用勾股定理求出BO的长，再利用矩形的对角线相等，可得到AC的长.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，
∴BD=2OA=4，
在Rt△ABD中，AD= ,
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，在直角三角形ABD中，用勾股定理计算即可求解.
5．【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；矩形的性质
【解析】【解答】解：
设右下方两个相等的正方形的边长为x，根据题意可知，
x+3+x+2=x+x+x+1
2x+5=3x+1
x=4
∴长方形的长为4+4+4+1=13
长方形的宽为4+3+4=11
∴DC的长度为13
故答案为：B.
【分析】根据题意，由矩形的性质列出等量关系，即可得到x的值，计算得到长方形的边长即可。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在直角三角形中，根据勾股定理可得，阴影部分长方形的长为=5
∴长方形的面积=1×5=5
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出矩形的长，继而由矩形的面积求出答案即可。
7．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分，
理由如下： 、BD互相平分，
四边形ABCD是平行四边形，
，
ABCD是矩形，
其它三个条件再加上 均不能判定四边形ABCD是矩形.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了矩形的判定方法，理解平行四边形与矩形的联系与区别并熟练掌握矩形的判定是解题的关键.
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PM⊥AB ， PN⊥BC ，
∴∠PMB=∠PNB=∠ABC=90°，
∴四边形PMBN是矩形，
∴MN=BP，
∴当BP⊥AC时，BP的值最小，即MN的值最小，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵AB·BC=AC·BP，
∴×6×8=×10×BP，
∴BP=4.8，
∴MN的最小值是4.8.
故答案为：4.8.
【分析】根据题意得出四边形PMBN是矩形，得出MN=BP，求MN的最小值即求BP的最小值，得出当BP⊥AC时，BP的值最小，利用等积法求出BP的长，即可求出MN的最小值.
9．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，
OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=3．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的判定求解即可。
10．【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵22+1.52=6.25 2.152，
即：AD2+DC2 AC2，
∴∠D 90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，
则NG=AM，
∴AN=NG，
∴∠2=∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4=∠3,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AE=AD=BC=1，
∴AG=2，
∴EG=，
故答案为：.
【分析】由折叠的性质可得∠MGA=90°，AE=AD=BC=1，AG=AD=2，最后在Rt△AEG中利用勾股定理求出EG长即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由矩形的性质得：
由翻转变换的性质得：
在 中，
则
设 ，则
在 中， ，即
解得
故点E的坐标为 .
故答案为： .
【分析】由矩形的性质得 ，由翻转变换的性质得CD=OC=10，DE=OE，在 中，利用勾股定理求出BD=8，从而求出AD=2，设OE=x，可得DE=x，AE=6-x，在 中，利用勾股定理建立方程，解出x的值即可.
13．【答案】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD.
∵在 DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行可得EC∥BD，EC＝BD，结合已知可得EC∥AD，EC＝AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解.
14．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ AB＝4 ，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC AB＝4 4＝16 ．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得OA＝OC，OB＝OD，由BM=DN，利用等式性质可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，由AC＝2OM，可得MN＝AC，根据对角线相等的平行四边形是矩形即证；
（2）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD＝4，可得∠BAD+∠ABC＝180°，即得∠ABC＝60°，在Rt△BAC中，可求得AC＝ AB＝4 平行四边形ABCD的面积＝AC AB即可求出结论.
15．【答案】（1）解： .A点坐标为（2，0），C坐标为（0，1），
过点 、 的直线解析式为：y=kx+b，
A、C两点坐标代入得 ，
解得 ，
，
（2）解：将矩形 折叠，使点 与点 重合， 是折痕，则∠CEF=∠AEF，
∵BC∥AO，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CEF=∠CFE，
CE=CF，
设AE=x,则OE=2-x，
在Rt在Rt△OAE C中,由勾股定理 ，
，
解得 ，
过E作EG⊥BC于G，则四边形OEGC为矩形，EG=OC=1，
折叠后重叠部分的面积S= .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由图易知点A、C的坐标，用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（2）由折叠的性质和等角对等边易得CE=CF，设AE=x，则OE=2-x，在Rt△OAE C中,由勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，过E作EG⊥BC于G，易得四边形OEGC为矩形， 所以EG=OC，则折叠后重叠部分的面积S=CF·EG可求解.
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