3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(广东省佛山市)
文档属性
| 名称 | 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(广东省佛山市) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 55.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-12-25 09:26:00 | ||
图片预览
文档简介
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（1）
教学目的：
1、了解线性回归模型与函数模型的区别，能根据散点分布特点，建立回归模型；
2、体会统计方法的应用，了解回归分析的实际应用。
教学重点：
1、了解线性回归模型与函数模型的区别；
2、建立的回归模型拟合好坏的刻画——相关指数和残差分析。
教学难点：
残差变量的解释；偏差平方和分解的思想。
教学过程：
1、 复习
1、相关关系
（1）相关关系是一种不确定性关系；
（2）对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。
2、回归直线方程
所求直线方程叫做回归直 ---线方程；其中
称为样本点的中心。
3、相应的直线叫做回归直线。对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
二、讲解新课
例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y．作散点图。
由散点图可看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
得到回归方程是
所以，对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为（kg）
思考：如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？
1.用相关系数 r 来衡量
2.公式：
2、引申
探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？
体重不一定是60.316，可以认为体重接近于60.316。由图形观察可以看出，样本点和回归直线的相互位置就可说明。
由于所有的样本点不共线，只是散布在某一条直线的附近，所以身高与体重的关系就用下面的线性回归模型来表示：
ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ
3、定义
线性回归模型ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e是y与 之间的误差,通常ｅ称为随机误差。
在线性回归模型中，随机误差e的方差越小，通过回归直线预报真实值y的精度越高。
思考：产生随机误差项e的原因是什么？
假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了。
体重除了受身高的影响外，还受如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等影响。
4、随机误差e的来源(可以推广到一般）：
（1）其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；
（2）用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；
（3）身高 y 的观测误差。
问题：在线性回归模型中，e是随机误差，它是不可观测的量，那应该怎样研究随机误差？如何衡量预报的精度？
随机误差是随机变量，用随机误差的均值和方差来刻画它的总体特征，而E(e)=0,就用方差来衡量随机误差的大小。而e隐含在预报变量y中，无法精确地把它从y中分离出来，解决问题的途径是通过样本的估计值来估计。
5、残差分析与残差图的定义：
在研究两个变量间的关系时，
（1）要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关
（2）是否可以用回归模型来拟合数据。
（3）我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
6、残差图的制作及作用。
坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。
对于远离横轴的点，要特别注意。
7、几点说明：
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。
另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
还可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：
由公式知，R2（相关指数）的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。
在含有一个解释变量的线性模型中R2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2
在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
在例1中，R2=0.64，表明”学生身高解释了64%的体重变化“，或者说“学生的体重差异有64%是有身高引起的”。
所以，解析变量对总效应约贡献64%，而随机误差贡献了剩余的36%。身高对体重的贡献比随机误差的效应大得多。
用身高预报体重时，需要注意下列问题：
1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；
2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；
3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；
4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。
三、小结
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
四、练习
Ｐ１０3 1、2
五、作业
Ｐ１０４习题３．１ 第１题
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（2）
教学目的：
1、能根据散点分布特点，建立不同的回归模型；知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型
2、会通过散点图及相关指数比较判断不同模型的拟合效果，体会统计方法的应用及“转化”的思想。
3、了解回归分析的实际应用，感受数学“源于生活，用于生活” ，激发好奇心、求知欲，培养探索精神和创新精神，以及转化能力题。
教学重点：
根据散点分布特点，建立不同的回归模型，知道有些非线性模型可以运用等量变换、对数变换转化为线性回归模型。
教学难点：
如何运用等量变换、对数变换，转化非线性模型为线性回归模型。
教学过程：
一、创设情景
1．建立回归模型的基本步骤是什么
选变量→ 画散点图 → 选模型 → 估计参数分析和预测
1953年，18省发生红铃虫大灾害，受灾面积300万公顷，损失皮棉约二十万吨。红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为25一32C，相对湿度为80％一100％，低20C和高于35C卵不能孵化，相对湿度60％ 以下成虫不产卵。冬季月平均气温低于一4.8 ℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死。
二、讲授新课
例2、现收集了一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表：
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。
（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
探究：
方案1（学生实施）：
（1）选择变量，画散点图。
（2）通过计算器求得线性回归方程:=19.87x-463.73
（3）进行回归分析和预测：
R2=r2≈0.8642=0.7464
预测当气温为28 时，产卵数为92个。这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化。
困惑：随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28 时，估计产卵数应该低于66个，但是从推算的结果来看92个比66个却多了26个，是什么原因造成的呢？
方案2：
（1）找到变量t=x 2，将y=bx2+a转化成y=bt+a；
（2）利用计算器计算出y和t的线性回归方程：y=0.367t-202.54
（3）转换回y和x的模型：y=0.367x2 -202.54
（4）计算相关指数R2≈0.802这个回归模型中温度解释了80.2%产卵数的变化。
预测：当气温为28 时，产卵数为85个。
困惑：比66还多19个，是否还有更适合的模型呢？
方案3：指数函数曲线的
（1）作变换令z=lny,则变换后样本点分布在一条直线z=bx+a(a=lnc1,b=lnc2)的周围
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
（2）利用计算器计算出z和x的线性回归方程：
（3）转换回y和x的模型：
（4）计算相关指数R2≈0.985这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数的变化。
预测：当气温为28 时，产卵数为4 2个。
2、比较三个模型的以合效果，
函数模型 相关指数R2
线性回归模型 0.7464
二次函数模型 0.802
指数函数模型 0.985
指数函数模型比较好。
三、小结:
（1）如何发现两个变量的关系？
（2）如何选用、建立适当的非线性回归模型 ？
（3）如何比较不同模型的拟合效果？
四、练习 Ｐ１０3 3
五、作业 Ｐ１０４习题３．１ 第3题
身高与体重残差图
温度xoC
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
温度
21
23
25
27
29
32
35
温度的平方t
441
529
625
729
841
1024
1225
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
产卵数
气温
产卵数
气温
教学目的：
1、了解线性回归模型与函数模型的区别，能根据散点分布特点，建立回归模型；
2、体会统计方法的应用，了解回归分析的实际应用。
教学重点：
1、了解线性回归模型与函数模型的区别；
2、建立的回归模型拟合好坏的刻画——相关指数和残差分析。
教学难点：
残差变量的解释；偏差平方和分解的思想。
教学过程：
1、 复习
1、相关关系
（1）相关关系是一种不确定性关系；
（2）对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。
2、回归直线方程
所求直线方程叫做回归直 ---线方程；其中
称为样本点的中心。
3、相应的直线叫做回归直线。对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
二、讲解新课
例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y．作散点图。
由散点图可看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
得到回归方程是
所以，对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为（kg）
思考：如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？
1.用相关系数 r 来衡量
2.公式：
2、引申
探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？
体重不一定是60.316，可以认为体重接近于60.316。由图形观察可以看出，样本点和回归直线的相互位置就可说明。
由于所有的样本点不共线，只是散布在某一条直线的附近，所以身高与体重的关系就用下面的线性回归模型来表示：
ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ
3、定义
线性回归模型ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e是y与 之间的误差,通常ｅ称为随机误差。
在线性回归模型中，随机误差e的方差越小，通过回归直线预报真实值y的精度越高。
思考：产生随机误差项e的原因是什么？
假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了。
体重除了受身高的影响外，还受如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等影响。
4、随机误差e的来源(可以推广到一般）：
（1）其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；
（2）用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；
（3）身高 y 的观测误差。
问题：在线性回归模型中，e是随机误差，它是不可观测的量，那应该怎样研究随机误差？如何衡量预报的精度？
随机误差是随机变量，用随机误差的均值和方差来刻画它的总体特征，而E(e)=0,就用方差来衡量随机误差的大小。而e隐含在预报变量y中，无法精确地把它从y中分离出来，解决问题的途径是通过样本的估计值来估计。
5、残差分析与残差图的定义：
在研究两个变量间的关系时，
（1）要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关
（2）是否可以用回归模型来拟合数据。
（3）我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
6、残差图的制作及作用。
坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。
对于远离横轴的点，要特别注意。
7、几点说明：
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。
另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
还可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：
由公式知，R2（相关指数）的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。
在含有一个解释变量的线性模型中R2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2
在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
在例1中，R2=0.64，表明”学生身高解释了64%的体重变化“，或者说“学生的体重差异有64%是有身高引起的”。
所以，解析变量对总效应约贡献64%，而随机误差贡献了剩余的36%。身高对体重的贡献比随机误差的效应大得多。
用身高预报体重时，需要注意下列问题：
1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；
2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；
3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；
4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。
三、小结
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
四、练习
Ｐ１０3 1、2
五、作业
Ｐ１０４习题３．１ 第１题
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（2）
教学目的：
1、能根据散点分布特点，建立不同的回归模型；知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型
2、会通过散点图及相关指数比较判断不同模型的拟合效果，体会统计方法的应用及“转化”的思想。
3、了解回归分析的实际应用，感受数学“源于生活，用于生活” ，激发好奇心、求知欲，培养探索精神和创新精神，以及转化能力题。
教学重点：
根据散点分布特点，建立不同的回归模型，知道有些非线性模型可以运用等量变换、对数变换转化为线性回归模型。
教学难点：
如何运用等量变换、对数变换，转化非线性模型为线性回归模型。
教学过程：
一、创设情景
1．建立回归模型的基本步骤是什么
选变量→ 画散点图 → 选模型 → 估计参数分析和预测
1953年，18省发生红铃虫大灾害，受灾面积300万公顷，损失皮棉约二十万吨。红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为25一32C，相对湿度为80％一100％，低20C和高于35C卵不能孵化，相对湿度60％ 以下成虫不产卵。冬季月平均气温低于一4.8 ℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死。
二、讲授新课
例2、现收集了一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表：
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。
（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
探究：
方案1（学生实施）：
（1）选择变量，画散点图。
（2）通过计算器求得线性回归方程:=19.87x-463.73
（3）进行回归分析和预测：
R2=r2≈0.8642=0.7464
预测当气温为28 时，产卵数为92个。这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化。
困惑：随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28 时，估计产卵数应该低于66个，但是从推算的结果来看92个比66个却多了26个，是什么原因造成的呢？
方案2：
（1）找到变量t=x 2，将y=bx2+a转化成y=bt+a；
（2）利用计算器计算出y和t的线性回归方程：y=0.367t-202.54
（3）转换回y和x的模型：y=0.367x2 -202.54
（4）计算相关指数R2≈0.802这个回归模型中温度解释了80.2%产卵数的变化。
预测：当气温为28 时，产卵数为85个。
困惑：比66还多19个，是否还有更适合的模型呢？
方案3：指数函数曲线的
（1）作变换令z=lny,则变换后样本点分布在一条直线z=bx+a(a=lnc1,b=lnc2)的周围
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
（2）利用计算器计算出z和x的线性回归方程：
（3）转换回y和x的模型：
（4）计算相关指数R2≈0.985这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数的变化。
预测：当气温为28 时，产卵数为4 2个。
2、比较三个模型的以合效果，
函数模型 相关指数R2
线性回归模型 0.7464
二次函数模型 0.802
指数函数模型 0.985
指数函数模型比较好。
三、小结:
（1）如何发现两个变量的关系？
（2）如何选用、建立适当的非线性回归模型 ？
（3）如何比较不同模型的拟合效果？
四、练习 Ｐ１０3 3
五、作业 Ｐ１０４习题３．１ 第3题
身高与体重残差图
温度xoC
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
温度
21
23
25
27
29
32
35
温度的平方t
441
529
625
729
841
1024
1225
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
产卵数
气温
产卵数
气温